Matriz de Cartan

Matrices que llevan el nombre de Élie Cartan

En matemáticas , el término matriz de Cartan tiene tres significados. Todos ellos reciben su nombre del matemático francés Élie Cartan . Curiosamente, las matrices de Cartan en el contexto de las álgebras de Lie fueron investigadas por primera vez por Wilhelm Killing , mientras que la forma de Killing se debe a Cartan. ^{[ cita requerida ]}

Álgebras de Lie

Una matriz de Cartan generalizada (simetrizable) es una matriz cuadrada con entradas enteras tales que ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. Para entradas diagonales, . ${\displaystyle a_{ii}=2}$
2. Para entradas no diagonales, . ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$Si y sólo si ${\displaystyle a_{ji}=0}$
4. ${\displaystyle A}$se puede escribir como , donde es una matriz diagonal , y es una matriz simétrica . ${\displaystyle DS}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$

Por ejemplo, la matriz de Cartan para G 2 se puede descomponer de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}$

La tercera condición no es independiente sino que es en realidad una consecuencia de la primera y la cuarta condición.

Siempre podemos elegir una D con entradas diagonales positivas. En ese caso, si S en la descomposición anterior es definida positiva , entonces se dice que A es una matriz de Cartan .

La matriz de Cartan de un álgebra de Lie simple es la matriz cuyos elementos son los productos escalares

${\displaystyle a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}}$^[1]

(a veces llamados enteros de Cartan ) donde r _i son las raíces simples del álgebra. Las entradas son integrales a partir de una de las propiedades de las raíces . La primera condición se desprende de la definición, la segunda del hecho de que para es una raíz que es una combinación lineal de las raíces simples r _i y r _j con un coeficiente positivo para r _j y, por lo tanto, el coeficiente para r _i tiene que ser no negativo. La tercera es verdadera porque la ortogonalidad es una relación simétrica. Y, por último, sean y . Debido a que las raíces simples abarcan un espacio euclidiano , S es definida positiva. ${\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}$ ${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$ ${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$

Por el contrario, dada una matriz de Cartan generalizada, se puede recuperar su álgebra de Lie correspondiente. (Ver álgebra de Kac-Moody para más detalles).

Clasificación

Una matriz A es descomponible si existe un subconjunto propio no vacío tal que siempre que y . A es indescomponible si no es descomponible. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j\notin I}$

Sea A una matriz de Cartan generalizada indecomponible. Decimos que A es de tipo finito si todos sus menores principales son positivos, que A es de tipo afín si sus menores principales propios son positivos y A tiene determinante 0, y que A es de tipo indefinido en caso contrario.

Las matrices indecomponibles de tipo finito clasifican las álgebras de Lie simples de dimensión finita (de tipos ), mientras que las matrices indecomponibles de tipo afín clasifican las álgebras de Lie afines (por ejemplo, sobre algún campo algebraicamente cerrado de característica 0). ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

Determinantes de las matrices de Cartan de las álgebras de Lie simples

Los determinantes de las matrices de Cartan de las álgebras de Lie simples se dan en la siguiente tabla (junto con A ₁ =B ₁ =C ₁ , B ₂ =C ₂ , D ₃ =A ₃ , D ₂ =A ₁ A ₁ , E ₅ =D ₅ , E ₄ =A ₄ y E ₃ =A ₂ A ₁ ). ^[2]

Otra propiedad de este determinante es que es igual al índice del sistema de raíces asociado, es decir, es igual a donde P, Q denotan la red de pesos y la red de raíces, respectivamente. ${\displaystyle |P/Q|}$

Representaciones de álgebras de dimensión finita

En la teoría de la representación modular , y más generalmente en la teoría de representaciones de álgebras asociativas A de dimensión finita que no son semisimples , una matriz de Cartan se define considerando un conjunto (finito) de módulos principales indecomponibles y escribiendo series de composición para ellos en términos de módulos irreducibles , produciendo una matriz de números enteros que cuenta el número de ocurrencias de un módulo irreducible.

Matrices de Cartan en la teoría M

En la teoría M , se puede considerar una geometría con dos ciclos que se intersecan entre sí en un número finito de puntos, en el límite donde el área de los dos ciclos tiende a cero. En este límite, aparece un grupo de simetría local . Se conjetura que la matriz de números de intersección de una base de los dos ciclos es la matriz de Cartan del álgebra de Lie de este grupo de simetría local. ^[3]

Esto se puede explicar de la siguiente manera. En la teoría M, hay solitones que son superficies bidimensionales llamadas membranas o 2-branas . Una 2-brana tiene una tensión y, por lo tanto, tiende a encogerse, pero puede envolverse en un ciclo de dos que le impide encogerse hasta cero.

Se puede compactar una dimensión que es compartida por todos los dos ciclos y sus puntos de intersección, y luego tomar el límite donde esta dimensión se encoge a cero, obteniendo así una reducción dimensional sobre esta dimensión. Entonces se obtiene la teoría de cuerdas de tipo IIA como un límite de la teoría M, con 2-branas envolviendo un dos ciclos ahora descrito por una cuerda abierta estirada entre D-branas . Hay un grupo de simetría local U(1) para cada D-brana, que se asemeja al grado de libertad de moverlo sin cambiar su orientación. El límite donde los dos ciclos tienen área cero es el límite donde estas D-branas están una encima de la otra, de modo que se obtiene un grupo de simetría local mejorado.

Ahora bien, una cuerda abierta estirada entre dos D-branas representa un generador de álgebra de Lie, y el conmutador de dos de estos generadores es un tercero, representado por una cuerda abierta que se obtiene pegando los bordes de dos cuerdas abiertas. La última relación entre diferentes cuerdas abiertas depende de la forma en que las 2-branas pueden intersecarse en la teoría M original, es decir, en los números de intersección de dos ciclos. Por lo tanto, el álgebra de Lie depende completamente de estos números de intersección. La relación precisa con la matriz de Cartan se debe a que esta última describe los conmutadores de las raíces simples , que están relacionadas con los dos ciclos en la base que se elige.

Los generadores en la subálgebra de Cartan están representados por cuerdas abiertas que se estiran entre una D-brana y ella misma.

Véase también

• Diagrama de Dynkin
• Álgebra de Jordan excepcional
• Representación fundamental
• Forma de matar
• Grupo de mentiras simples

Notas

1. Georgi, Howard (22 de octubre de 1999). Álgebras de Lie en física de partículas (2.ª edición). Westview Press. pág. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
2. Determinantes de Cartan-Gram para los grupos de Lie simples Alfred CT Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, noviembre de 1982
3. Sen, Ashoke (1997). "Una nota sobre simetrías de calibración mejoradas en la teoría de cuerdas y de M". Journal of High Energy Physics . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th/9707123 . doi :10.1088/1126-6708/1997/09/001. S2CID  15444381.

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 129. Springer-Verlag. p. 334. ISBN 0-387-97495-4.
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 9. Springer-Verlag. págs. 55-56. doi :10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN. 0-387-90052-7.
• Kac, Victor G. (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6..

Enlaces externos

• "Matriz de Cartan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Matriz de Cartan". MathWorld .