En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , los módulos simples sobre un anillo R son los módulos (izquierdo o derecho) sobre R que no son cero y no tienen submódulos propios no cero . De manera equivalente, un módulo M es simple si y solo si cada submódulo cíclico generado por un elemento no cero de M es igual a M. Los módulos simples forman bloques de construcción para los módulos de longitud finita , y son análogos a los grupos simples en la teoría de grupos .
En este artículo , se asumirá que todos los módulos son módulos unitarios rectos sobre un anillo R.
Los módulos Z son lo mismo que los grupos abelianos , por lo que un módulo Z simple es un grupo abeliano que no tiene subgrupos propios distintos de cero. Estos son los grupos cíclicos de orden primo .
Si I es un ideal recto de R , entonces I es simple como un módulo recto si y solo si I es un ideal recto minimal distinto de cero: Si M es un submódulo propio distinto de cero de I , entonces también es un ideal recto, por lo que I no es minimal. A la inversa , si I no es minimal, entonces hay un ideal recto distinto de cero J propiamente contenido en I . J es un submódulo recto de I , por lo que I no es simple.
Si I es un ideal recto de R , entonces el módulo cociente R / I es simple si y solo si I es un ideal recto maximal : Si M es un submódulo propio distinto de cero de R / I , entonces la preimagen de M bajo la función cociente R → R / I es un ideal recto que no es igual a R y que contiene propiamente a I . Por lo tanto, I no es maximal. A la inversa, si I no es maximal, entonces existe un ideal recto J que contiene propiamente a I . La función cociente R / I → R / J tiene un núcleo distinto de cero que no es igual a R / I , y por lo tanto R / I no es simple.
Todo R -módulo simple es isomorfo a un cociente R / m donde m es un ideal recto maximal de R . [1] Por el párrafo anterior, cualquier cociente R / m es un módulo simple. A la inversa, supongamos que M es un R -módulo simple. Entonces, para cualquier elemento distinto de cero x de M , el submódulo cíclico xR debe ser igual a M . Fijemos tal x . La afirmación de que xR = M es equivalente a la sobreyectividad del homomorfismo R → M que envía r a xr . El núcleo de este homomorfismo es un ideal recto I de R , y un teorema estándar afirma que M es isomorfo a R / I . Por el párrafo anterior, encontramos que I es un ideal recto maximal. Por lo tanto, M es isomorfo a un cociente de R por un ideal recto maximal.
Si k es un cuerpo y G es un grupo , entonces una representación de grupo de G es un módulo izquierdo sobre el anillo de grupo k [ G ] (para más detalles, consulte la página principal sobre esta relación ). [2] Los k [ G ]-módulos simples también se conocen como representaciones irreducibles . Un objetivo principal de la teoría de la representación es comprender las representaciones irreducibles de los grupos.
Los módulos simples son precisamente los módulos de longitud 1; esto es una reformulación de la definición.
Todo módulo simple es indescomponible , pero lo inverso en general no es cierto.
Cada módulo simple es cíclico , es decir, es generado por un elemento.
No todos los módulos tienen un submódulo simple; considere, por ejemplo, el módulo Z a la luz del primer ejemplo anterior.
Sean M y N módulos (izquierdo o derecho) sobre el mismo anillo, y sea f : M → N un homomorfismo de módulo. Si M es simple, entonces f es el homomorfismo cero o inyectivo porque el núcleo de f es un submódulo de M . Si N es simple, entonces f es el homomorfismo cero o sobreyectivo porque la imagen de f es un submódulo de N . Si M = N , entonces f es un endomorfismo de M , y si M es simple, entonces las dos afirmaciones anteriores implican que f es el homomorfismo cero o un isomorfismo. En consecuencia, el anillo de endomorfismo de cualquier módulo simple es un anillo de división . Este resultado se conoce como lema de Schur .
El recíproco del lema de Schur no es cierto en general. Por ejemplo, el módulo Z Q no es simple, pero su anillo de endomorfismo es isomorfo al cuerpo Q .
Si M es un módulo que tiene un submódulo propio N distinto de cero , entonces existe una secuencia exacta corta
Un enfoque común para demostrar un hecho sobre M es demostrar que el hecho es cierto para el término central de una secuencia exacta corta cuando es cierto para los términos izquierdo y derecho, y luego demostrar el hecho para N y M / N . Si N tiene un submódulo propio distinto de cero, entonces este proceso se puede repetir. Esto produce una cadena de submódulos
Para probar el hecho de esta manera, se necesitan condiciones sobre esta secuencia y sobre los módulos M i / M i + 1 . Una condición particularmente útil es que la longitud de la secuencia sea finita y cada módulo cociente M i / M i + 1 sea simple. En este caso, la secuencia se llama serie de composición para M . Para probar un enunciado inductivamente usando series de composición, primero se prueba el enunciado para módulos simples, que forman el caso base de la inducción, y luego se prueba que el enunciado sigue siendo verdadero bajo una extensión de un módulo por un módulo simple. Por ejemplo, el lema de ajuste muestra que el anillo de endomorfismo de un módulo indecomponible de longitud finita es un anillo local , de modo que se cumple el teorema fuerte de Krull-Schmidt y la categoría de módulos de longitud finita es una categoría de Krull-Schmidt .
El teorema de Jordan-Hölder y el teorema de refinamiento de Schreier describen las relaciones entre todas las series de composición de un solo módulo. El grupo de Grothendieck ignora el orden en una serie de composición y considera cada módulo de longitud finita como una suma formal de módulos simples. Sobre anillos semisimples , esto no es una pérdida ya que cada módulo es un módulo semisimple y por lo tanto una suma directa de módulos simples. La teoría de caracteres ordinarios proporciona un mejor control aritmético y utiliza módulos C G simples para comprender la estructura de los grupos finitos G . La teoría de la representación modular utiliza caracteres de Brauer para ver los módulos como sumas formales de módulos simples, pero también está interesada en cómo esos módulos simples se unen dentro de las series de composición. Esto se formaliza estudiando el functor Ext y describiendo la categoría del módulo de varias maneras, incluyendo carcajs (cuyos nodos son los módulos simples y cuyos bordes son series de composición de módulos no semisimples de longitud 2) y la teoría de Auslander-Reiten donde el grafo asociado tiene un vértice para cada módulo indecomponible.
Un avance importante en la teoría de módulos simples fue el teorema de densidad de Jacobson . El teorema de densidad de Jacobson establece:
En particular, cualquier anillo primitivo puede verse como (es decir, isomorfo a) un anillo de operadores D -lineales en algún D -espacio.
Una consecuencia del teorema de densidad de Jacobson es el teorema de Wedderburn, es decir, que cualquier anillo simple artiniano recto es isomorfo a un anillo matricial completo de matrices n por n sobre un anillo de división para algún n . Esto también puede establecerse como un corolario del teorema de Artin-Wedderburn .
