En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un módulo cíclico o módulo monógeno [1] es un módulo sobre un anillo que es generado por un elemento. El concepto es una generalización de la noción de un grupo cíclico , es decir, un grupo abeliano (es decir, Z -módulo) que es generado por un elemento.
Definición
Un R -módulo izquierdo M se llama cíclico si M puede ser generado por un solo elemento, es decir, M = ( x ) = Rx = { rx | r ∈ R } para algún x en M . De manera similar, un R -módulo derecho N es cíclico si N = yR para algún y ∈ N .
Ejemplos
- 2 Z como módulo Z es un módulo cíclico.
- De hecho, cada grupo cíclico es un módulo Z cíclico .
- Todo módulo R simple M es un módulo cíclico ya que el submódulo generado por cualquier elemento distinto de cero x de M es necesariamente el módulo entero M . En general, un módulo es simple si y solo si es distinto de cero y es generado por cada uno de sus elementos distintos de cero. [2]
- Si se considera el anillo R como módulo izquierdo sobre sí mismo, entonces sus submódulos cíclicos son exactamente sus ideales principales izquierdos como anillo. Lo mismo se aplica a R como módulo derecho , mutatis mutandis .
- Si R es F [ x ], el anillo de polinomios sobre un cuerpo F , y V es un R -módulo que también es un espacio vectorial de dimensión finita sobre F , entonces los bloques de Jordan de x que actúan sobre V son submódulos cíclicos. (Los bloques de Jordan son todos isomorfos a F [ x ] / ( x − λ ) n ; también puede haber otros submódulos cíclicos con diferentes aniquiladores ; véase más abajo).
Propiedades
- Dado un módulo R cíclico M que es generado por x , existe un isomorfismo canónico entre M y R / Ann R x , donde Ann R x denota el aniquilador de x en R .
Véase también
Referencias
- ^ Bourbaki, Álgebra I: Capítulos 1–3, pág. 220
- ^ Anderson y Fuller 1992, Justo después de la Proposición 2.7.
- Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Graduate Texts in Mathematics , vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr. 1245487
- B. Hartley ; TO Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman y Hall. pp. 77, 152. ISBN 0-412-09810-5.
- Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, págs. 147-149, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl0848.13001
