Álgebra de Lie simple

En álgebra, un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie que no es abeliana y no contiene ideales propios distintos de cero . La clasificación de álgebras de Lie simples reales es uno de los principales logros de Wilhelm Killing y Élie Cartan .

Una suma directa de álgebras de Lie simples se llama álgebra de Lie semisimple .

Un grupo de Lie simple es un grupo de Lie conexo cuyo álgebra de Lie es simple.

Álgebras de Lie complejas y simples

Un álgebra de Lie compleja simple de dimensión finita es isomorfa a cualquiera de las siguientes: , , ( álgebras de Lie clásicas ) o una de las cinco álgebras de Lie excepcionales . ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

A cada álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita existe un diagrama correspondiente (llamado diagrama de Dynkin ) donde los nodos denotan las raíces simples, los nodos están unidos (o no) por un número de líneas dependiendo de los ángulos entre las raíces simples y las flechas se colocan para indicar si las raíces son más largas o más cortas. ^[2] El diagrama de Dynkin de es conexo si y solo si es simple. Todos los diagramas de Dynkin conexos posibles son los siguientes: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

donde n es el número de nodos (las raíces simples). La correspondencia de los diagramas y las álgebras de Lie simples complejas es la siguiente: ^[2]

( _Un ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C} }$

( _Bn ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C} }$

( _Cn ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

(D _n ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C} }$

El resto, álgebras de Lie excepcionales .

Álgebras de Lie realmente simples

Si es un álgebra de Lie simple real de dimensión finita, su complejización es (1) simple o (2) un producto de un álgebra de Lie compleja simple y su conjugado . Por ejemplo, la complejización de considerada como un álgebra de Lie real es . Por lo tanto, un álgebra de Lie simple real se puede clasificar mediante la clasificación de álgebras de Lie simples complejas y alguna información adicional. Esto se puede hacer mediante diagramas de Satake que generalizan los diagramas de Dynkin . Consulte también la Tabla de grupos de Lie#Álgebras de Lie reales para obtener una lista parcial de álgebras de Lie simples reales. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$

Notas

1. Fulton y Harris 1991, Teorema 9.26.
2. Fulton y Harris 1991, § 21.1.
3. Fulton y Harris 1991, § 21.2.

Véase también

• Grupo de mentiras simples
• Avión de Vogel

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Jacobson, Nathan, Álgebras de Lie , Republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4 ; ​​El capítulo X considera una clasificación de álgebras de Lie simples sobre un campo de característica cero. 

• "Álgebra de Lie, semisimple", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Álgebra de Lie simple en el laboratorio n