Sistema raíz

Disposiciones geométricas de puntos, fundamentales para la teoría de Lie.

En matemáticas , un sistema de raíces es una configuración de vectores en un espacio euclidiano que satisface ciertas propiedades geométricas. El concepto es fundamental en la teoría de grupos de Lie y álgebras de Lie , especialmente la teoría de clasificación y representación de álgebras de Lie semisimples . Dado que los grupos de Lie (y algunos análogos, como los grupos algebraicos ) y las álgebras de Lie han adquirido importancia en muchas partes de las matemáticas durante el siglo XX, la naturaleza aparentemente especial de los sistemas de raíces contradice el número de áreas en las que se aplican. Además, el esquema de clasificación de los sistemas de raíces, mediante diagramas de Dynkin , ocurre en partes de las matemáticas sin conexión abierta con la teoría de Lie (como la teoría de la singularidad ). Finalmente, los sistemas de raíces son importantes por sí mismos, como en la teoría de grafos espectrales . ^[1]

Definiciones y ejemplos

Los seis vectores del sistema radicular A ₂

Como primer ejemplo, considere los seis vectores en el espacio euclidiano bidimensional , R ² , como se muestra en la imagen de la derecha; llámalos raíces . Estos vectores abarcan todo el espacio. Si consideramos la línea perpendicular a cualquier raíz, digamos β , entonces la reflexión de R ² en esa línea envía cualquier otra raíz, digamos α , a otra raíz. Además, la raíz a la que se envía es igual a α + nβ , donde n es un número entero (en este caso, n es igual a 1). Estos seis vectores satisfacen la siguiente definición y por tanto forman un sistema raíz; éste se conoce como A ₂ .

Definición

Sea E un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita , con el producto interno euclidiano estándar denotado por . Un sistema de raíces en E es un conjunto finito de vectores distintos de cero (llamados raíces ) que satisfacen las siguientes condiciones: ^{[2] [3]} ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. Las raíces abarcan E .
2. Los únicos múltiplos escalares de una raíz que pertenecen a son ella misma y . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$
3. Para cada raíz , el conjunto está cerrado bajo reflexión a través del hiperplano perpendicular a . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$
4. ( Integralidad ) Si y son raíces en , entonces la proyección de sobre la línea que pasa es un múltiplo entero o semientero de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Una forma equivalente de escribir las condiciones 3 y 4 es la siguiente:

3. Para dos raíces cualesquiera , el conjunto contiene el elemento ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. Para dos raíces cualesquiera , el número es un número entero . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$

Algunos autores solo incluyen las condiciones 1 a 3 en la definición de sistema raíz. ^[4] En este contexto, un sistema de raíces que también satisface la condición de integralidad se conoce como sistema de raíces cristalográficas . ^[5] Otros autores omiten la condición 2; entonces llaman a los sistemas de raíces que satisfacen la condición 2 reducidos . ^[6] En este artículo, se supone que todos los sistemas de raíces son reducidos y cristalográficos.

En vista de la propiedad 3, la condición de integralidad equivale a afirmar que β y su reflexión σ _α ( β ) difieren en un múltiplo entero de  α . Tenga en cuenta que el operador

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$

El rango de un sistema de raíces Φ es la dimensión de E. Se pueden combinar dos sistemas de raíces considerando los espacios euclidianos que abarcan como subespacios mutuamente ortogonales de un espacio euclidiano común. Un sistema de raíces que no surge de tal combinación, como los sistemas A ₂ , B ₂ y G ₂ que se muestran a la derecha, se dice que es irreducible .

Dos sistemas de raíces ( E ₁ , Φ ₁ ) y ( E ₂ , Φ ₂ ) se llaman isomórficos si hay una transformación lineal invertible E ₁  →  E ₂ que envía Φ ₁ a Φ ₂ tal que para cada par de raíces, el número se conserva. ^[7] ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

ElLa red de raíces de un sistema de raíces Φ es elsubmóduloZEgenerado por Φ. Es unareden E.

grupo weyl

El grupo Weyl del sistema radicular es el grupo de simetría de un triángulo equilátero. ${\displaystyle A_{2}}$

El grupo de isometrías de  E generadas por reflexiones a través de hiperplanos asociados a las raíces de Φ se denomina grupo Weyl de Φ. Como actúa fielmente sobre el conjunto finito Φ, el grupo de Weyl es siempre finito. Los planos de reflexión son los hiperplanos perpendiculares a las raíces, indicados con líneas discontinuas en la figura siguiente. El grupo Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, que tiene seis elementos. En este caso, el grupo Weyl no es el grupo de simetría completa del sistema de raíces (por ejemplo, una rotación de 60 grados es una simetría del sistema de raíces pero no un elemento del grupo Weyl). ${\displaystyle A_{2}}$

Clasifique un ejemplo

Sólo hay un sistema de raíces de rango 1, que consta de dos vectores distintos de cero . Este sistema de raíces se llama . ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

Clasifica dos ejemplos

En el rango 2 existen cuatro posibilidades, correspondientes a , donde . ^[8] La figura de la derecha muestra estas posibilidades, pero con algunas redundancias: es isomorfo a y es isomorfo a . ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$ ${\displaystyle n=0,1,2,3}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Tenga en cuenta que un sistema de raíces no está determinado por la red que genera: y ambos generan una red cuadrada mientras que y ambos generan una red hexagonal . ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Siempre que Φ es un sistema de raíces en E , y S es un subespacio de E abarcado por Ψ = Φ ∩  S , entonces Ψ es un sistema de raíces en  S. Por tanto, la lista exhaustiva de cuatro sistemas de raíces de rango 2 muestra las posibilidades geométricas para dos raíces cualesquiera elegidas de un sistema de raíces de rango arbitrario. En particular, dos de esas raíces deben encontrarse en un ángulo de 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 o 180 grados.

Sistemas de raíces que surgen de álgebras de Lie semisimples

Si es un álgebra de Lie semisimple compleja y una subálgebra de Cartan , podemos construir un sistema de raíces de la siguiente manera. Decimos que es una raíz de relativo a si y existe algo tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$

^[9] ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Historia

El concepto de sistema raíz fue introducido originalmente por Wilhelm Killing alrededor de 1889 (en alemán, Wurzelsystem ^[10] ). ^[11] Los usó en su intento de clasificar todas las álgebras de Lie simples en el campo de números complejos . Killing originalmente cometió un error en la clasificación, enumerando dos sistemas de raíces excepcionales de rango 4, cuando en realidad solo hay uno, ahora conocido como F ₄ . Cartan luego corrigió este error, mostrando que los dos sistemas de raíces de Killing eran isomórficos. ^[12]

Killing investigó la estructura de un álgebra de Lie , considerando lo que ahora se llama subálgebra de Cartan . Luego estudió las raíces del polinomio característico , donde . Aquí una raíz se considera como una función o incluso como un elemento del espacio vectorial dual . Este conjunto de raíces forma un sistema de raíces en su interior , como se definió anteriormente, donde el producto interior es la forma Killing . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \det(\operatorname {ad} _{L}x-t)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

Consecuencias elementales de los axiomas del sistema radicular.

La condición de integralidad para se cumple sólo para β en una de las líneas verticales, mientras que la condición de integralidad para se cumple sólo para β en uno de los círculos rojos. Cualquier β perpendicular a α (en el eje Y ) cumple trivialmente ambos con 0, pero no define un sistema de raíces irreducible. Reflexión de módulo, para un α dado , solo hay 5 posibilidades no triviales para β y 3 ángulos posibles entre α y β en un conjunto de raíces simples. Las letras del subíndice corresponden a la serie de sistemas de raíces para los cuales la β dada puede servir como primera raíz y α como segunda raíz (o en F ₄ como las 2 raíces del medio). ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$

El coseno del ángulo entre dos raíces está obligado a ser la mitad de la raíz cuadrada de un número entero positivo. Esto se debe a que y son ambos números enteros, por supuesto, y ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}\\&=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$$

Dado que , los únicos valores posibles para son y , correspondientes a ángulos de 90°, 60° o 120°, 45° o 135°, 30° o 150° y 0° o 180°. La condición 2 dice que ningún múltiplo escalar de α distinto de 1 y −1 puede ser raíz, por lo que 0 o 180°, que corresponderían a 2 α o −2 α , están fuera. El diagrama de la derecha muestra que un ángulo de 60° o 120° corresponde a raíces de igual longitud, mientras que un ángulo de 45° o 135° corresponde a una relación de longitud y un ángulo de 30° o 150° corresponde a una relación de longitud de . ${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle 0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

En resumen, aquí están las únicas posibilidades para cada par de raíces. ^[13]

• Ángulo de 90 grados; en ese caso, la relación de longitud no está restringida.
• Ángulo de 60 o 120 grados, con una relación de longitud de 1.
• Ángulo de 45 o 135 grados, con una relación de longitud de . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Ángulo de 30 o 150 grados, con una relación de longitud de . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Raíces positivas y raíces simples.

Las raíces etiquetadas son un conjunto de raíces positivas para el sistema radicular, siendo y las raíces simples. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Dado un sistema de raíces siempre podemos elegir (de muchas maneras) un conjunto de raíces positivas . Este es un subconjunto de tal que ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$

• Para cada raíz , exactamente una de las raíces está contenida en . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$
• Para dos tales distintos que sean una raíz, . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$

Si se elige un conjunto de raíces positivas , los elementos de se denominan raíces negativas . Se puede construir un conjunto de raíces positivas eligiendo un hiperplano que no contenga ninguna raíz y estableciendo que sean todas las raíces que se encuentran en un lado fijo de . Además, todo conjunto de raíces positivas surge de esta manera. ^[14] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle -\Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$

Un elemento de se llama raíz simple (también raíz fundamental ) si no puede escribirse como la suma de dos elementos de . (El conjunto de raíces simples también se conoce como base para .) El conjunto de raíces simples es una base con las siguientes propiedades especiales adicionales: ^[15] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$

• Cada raíz es una combinación lineal de elementos con coeficientes enteros . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$
• Para cada uno , los coeficientes del punto anterior son todos no negativos o no positivos. ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

Para cada sistema de raíces hay muchas opciones diferentes del conjunto de raíces positivas (o, de manera equivalente, de las raíces simples), pero dos conjuntos cualesquiera de raíces positivas difieren por la acción del grupo de Weyl. ^[dieciséis] ${\displaystyle \Phi }$

Sistema radicular dual, raíces y elementos integrales.

El sistema de raíces duales.

Si Φ es un sistema de raíces en E , la coroot α ^∨ de una raíz α se define por

$${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

El conjunto de raíces también forma un sistema de raíces Φ ^∨ en E , llamado sistema de raíces dual (o a veces sistema de raíces inverso ). Por definición, α ^{∨ ∨} = α, de modo que Φ es el sistema de raíces dual de Φ ^∨ . La red en E atravesada por Φ ^∨ se llama red coroot . Tanto Φ como Φ ^∨ tienen el mismo grupo Weyl W y, para s en W ,

$${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

Si Δ es un conjunto de raíces simples para Φ, entonces Δ ^∨ es un conjunto de raíces simples para Φ ^∨ . ^[17]

En la clasificación que se describe a continuación, los sistemas de raíces de tipo y, junto con los sistemas de raíces excepcionales, son todos autoduales, lo que significa que el sistema de raíces dual es isomorfo al sistema de raíces original. Por el contrario, los sistemas de raíces y son duales entre sí, pero no isomórficos (excepto cuando ). ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n=2}$

Elementos integrales

Un vector en E se llama integral ^[18] si su producto interno con cada coroot es un número entero: ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$

${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

El conjunto de elementos integrales se denomina red de pesos asociada al sistema de raíces dado. Este término proviene de la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples , donde los elementos integrales forman los posibles pesos de representaciones de dimensión finita.

La definición de sistema radicular garantiza que las raíces mismas son elementos integrales. Por tanto, toda combinación lineal entera de raíces también es integral. Sin embargo, en la mayoría de los casos, habrá elementos integrales que no son combinaciones enteras de raíces. Es decir, en general la red de pesos no coincide con la red de raíces.

Clasificación de sistemas radiculares mediante diagramas de Dynkin.

Imágenes de todos los diagramas Dynkin conectados.

Un sistema raíz es irreducible si no se puede dividir en la unión de dos subconjuntos propios , de modo que para todos y . ${\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )=0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \beta \in \Phi _{2}}$

Los sistemas de raíces irreducibles corresponden a ciertos gráficos , los diagramas de Dynkin que llevan el nombre de Eugene Dynkin . La clasificación de estos gráficos es una simple cuestión de combinatoria e induce una clasificación de sistemas de raíces irreducibles.

Construyendo el diagrama de Dynkin

Dado un sistema de raíces, seleccione un conjunto Δ de raíces simples como en la sección anterior. Los vértices del diagrama de Dynkin asociado corresponden a las raíces en Δ. Las aristas se dibujan entre los vértices de la siguiente manera, según los ángulos. (Tenga en cuenta que el ángulo entre raíces simples es siempre de al menos 90 grados).

• Sin arista si los vectores son ortogonales,
• Un solo borde no dirigido si forman un ángulo de 120 grados,
• Un doble filo dirigido si forman un ángulo de 135 grados, y
• Un triple filo dirigido si forman un ángulo de 150 grados.

El término "borde dirigido" significa que los bordes dobles y triples están marcados con una flecha que apunta hacia el vector más corto. (Pensar en la flecha como un signo de "mayor que" deja claro hacia dónde se supone que apunta la flecha).

Tenga en cuenta que, según las propiedades elementales de las raíces mencionadas anteriormente, las reglas para crear el diagrama de Dynkin también se pueden describir de la siguiente manera. Sin arista si las raíces son ortogonales; para raíces no ortogonales, un borde simple, doble o triple según si la relación de longitud del más largo al más corto es 1, , . En el caso del sistema de raíces, por ejemplo, hay dos raíces simples en un ángulo de 150 grados (con una relación de longitud de ). Así, el diagrama de Dynkin tiene dos vértices unidos por una triple arista, con una flecha apuntando desde el vértice asociado a la raíz más larga hacia el otro vértice. (En este caso, la flecha es un poco redundante, ya que el diagrama es equivalente en cualquier dirección que vaya la flecha). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Clasificación de los sistemas de raíces.

Aunque un sistema de raíces dado tiene más de un conjunto posible de raíces simples, el grupo de Weyl actúa transitivamente sobre tales elecciones. ^[19] En consecuencia, el diagrama de Dynkin es independiente de la elección de raíces simples; está determinado por el propio sistema raíz. Por el contrario, dados dos sistemas de raíces con el mismo diagrama de Dynkin, se pueden hacer coincidir las raíces, comenzando con las raíces de la base, y demostrar que los sistemas son, de hecho, los mismos. ^[20]

Así, el problema de clasificar sistemas de raíces se reduce al problema de clasificar posibles diagramas de Dynkin. Un sistema raíz es irreducible si y sólo si sus diagramas de Dynkin están conexos. ^[21] Los posibles esquemas conectados son los indicados en la figura. Los subíndices indican el número de vértices en el diagrama (y por tanto el rango del correspondiente sistema de raíces irreducible).

Si es un sistema de raíces, el diagrama de Dynkin para el sistema de raíces dual se obtiene del diagrama de Dynkin manteniendo los mismos vértices y aristas, pero invirtiendo las direcciones de todas las flechas. Por tanto, podemos ver en sus diagramas de Dynkin que y son duales entre sí. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Cámaras Weyl y el grupo Weyl

La región sombreada es la cámara de Weyl fundamental para la base. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Si es un sistema de raíces, podemos considerar el hiperplano perpendicular a cada raíz . Recordemos que denota la reflexión sobre el hiperplano y que el grupo de Weyl es el grupo de transformaciones de generadas por todos los 's. El complemento del conjunto de hiperplanos está desconectado, y cada componente conectado se denomina cámara de Weyl . Si hemos fijado un conjunto particular Δ de raíces simples, podemos definir la cámara de Weyl fundamental asociada a Δ como el conjunto de puntos tales que para todos . ${\displaystyle \Phi \subset E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Dado que las reflexiones preservan , también preservan el conjunto de hiperplanos perpendiculares a las raíces. Así, cada elemento del grupo Weyl permuta las cámaras de Weyl. ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

La figura ilustra el caso del sistema raíz. Los "hiperplanos" (en este caso, unidimensionales) ortogonales a las raíces se indican con líneas discontinuas. Los seis sectores de 60 grados son las cámaras de Weyl y la región sombreada es la cámara de Weyl fundamental asociada a la base indicada. ${\displaystyle A_{2}}$

Un teorema general básico sobre las cámaras de Weyl es el siguiente: ^[22]

Teorema : El grupo Weyl actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. Por tanto, el orden del grupo Weyl es igual al número de cámaras de Weyl.

En el caso, por ejemplo, el grupo Weyl tiene seis elementos y hay seis cámaras Weyl. ${\displaystyle A_{2}}$

Un resultado relacionado es este: ^[23]

Teorema : arreglar una cámara de Weyl . Entonces, para todos , la órbita de Weyl de contiene exactamente un punto en el cierre de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Sistemas de raíces y teoría de la mentira

Los sistemas de raíces irreducibles clasifican una serie de objetos relacionados en la teoría de Lie, en particular los siguientes:

• álgebras de Lie complejas simples (consulte la discusión anterior sobre sistemas de raíces que surgen de álgebras de Lie semisimples),
• grupos de Lie complejos simplemente conectados que son centros de módulo simples, y
• Grupos de Lie compactos simplemente conectados que son centros de módulo simples.

En cada caso, las raíces son pesos distintos de cero de la representación adjunta .

Ahora damos una breve indicación de cómo los sistemas de raíces irreducibles clasifican las álgebras de Lie simples sobre , siguiendo los argumentos de Humphreys. ^[24] Un resultado preliminar dice que un álgebra de Lie semisimple es simple si y sólo si el sistema de raíces asociado es irreducible. ^[25] Por lo tanto, restringimos la atención a los sistemas de raíces irreducibles y a las álgebras de Lie simples. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Primero, debemos establecer que para cada álgebra simple existe sólo un sistema de raíces. Esta afirmación se deriva del resultado de que la subálgebra de Cartan es única hasta el automorfismo, ^[26] de lo que se deduce que dos subálgebras de Cartan cualesquiera dan sistemas de raíces isomorfas. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• A continuación, debemos demostrar que para cada sistema de raíces irreducible, puede haber como máximo un álgebra de Lie, es decir, que el sistema de raíces determina el álgebra de Lie hasta el isomorfismo. ^[27]
• Finalmente, debemos demostrar que para cada sistema de raíces irreducible, existe un álgebra de Lie simple asociada. Esta afirmación es obvia para los sistemas de raíces de tipo A, B, C y D, para los cuales las álgebras de Lie asociadas son las álgebras de Lie clásicas . Entonces es posible analizar las álgebras excepcionales caso por caso. Alternativamente, se puede desarrollar un procedimiento sistemático para construir un álgebra de Lie a partir de un sistema de raíces, utilizando las relaciones de Serre . ^[28]

Para las conexiones entre los sistemas de raíces excepcionales y sus grupos de Lie y álgebras de Lie, consulte E 8 , E 7 , E 6 , F 4 y G 2 .

Propiedades de los sistemas radiculares irreducibles.

Los sistemas de raíces irreducibles se denominan según sus correspondientes diagramas de Dynkin conectados. Hay cuatro familias infinitas (A _n , B _n , C _n y D _n , llamadas sistemas de raíces clásicos ) y cinco casos excepcionales (los sistemas de raíces excepcionales ). El subíndice indica el rango del sistema raíz.

En un sistema de raíces irreducible puede haber como máximo dos valores para la longitud ( α , α ) ^1/2 , correspondientes a raíces cortas y largas . Si todas las raíces tienen la misma longitud, se consideran largas por definición y se dice que el sistema de raíces está simplemente entrelazado ; esto ocurre en los casos A, D y E. Dos raíces cualesquiera de la misma longitud se encuentran en la misma órbita del grupo Weyl. En los casos B, C, G y F que no son simplemente entrelazados, la red de raíces está atravesada por las raíces cortas y las raíces largas abarcan una subred, invariante bajo el grupo de Weyl, igual a r ² /2 veces la red de coroot, donde r es la longitud de una raíz larga.

En la tabla adyacente, | Φ ^< | denota el número de raíces cortas, I denota el índice en la red de raíces de la subred generada por raíces largas, D denota el determinante de la matriz de Cartan y | W | denota el orden del grupo Weyl .

Construcción explícita de los sistemas de raíces irreductibles.

Un​

Modelo del sistema raíz en el sistema Zometool. ${\displaystyle A_{3}}$

Sea E el subespacio de R ^{n +1} para el cual las coordenadas suman 0, y sea Φ el conjunto de vectores en E de longitud √ 2 y que son vectores enteros, es decir, tienen coordenadas enteras en R ^{n +1} . Tal vector debe tener todas menos dos coordenadas iguales a 0, una coordenada igual a 1 y otra igual a −1, por lo que hay n ² + n raíces en total. Una elección de raíces simples expresadas en la base estándar es α _i = e _i − e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n .

La reflexión σ _i a través del hiperplano perpendicular a α _i es lo mismo que la permutación de las coordenadas i -ésima y ( i  + 1)ésima adyacentes . Tales transposiciones generan el grupo de permutación completo . Para raíces simples adyacentes, σ _i ( α _{i +1} ) = α _{i +1}  +  α _i =  σ _{i +1} ( α _i ) =  α _i  +  α _{i +1} , es decir, la reflexión equivale a sumar un múltiplo de 1; pero la reflexión de una raíz simple perpendicular a una raíz simple no adyacente la deja sin cambios, diferenciándose en un múltiplo de 0.

La red de raíces _{de An} , es decir, la red generada por las raíces _de An , se describe más fácilmente como el conjunto de vectores enteros en R ^{n +1} cuyos componentes suman cero.

La red de raíces A ₂ es la disposición de los vértices del mosaico triangular .

Los cristalógrafos conocen la red de raíces A _{3 como red} cúbica centrada en las caras (o cúbica compacta ). ^[29] Es la disposición de los vértices del panal tetraédrico-octaédrico .

El sistema de raíces A ₃ (así como los otros sistemas de raíces de rango tres) se pueden modelar en el juego de construcción Zometool . ^[30]

En general, la red _{de raíces An} es la disposición de los vértices del panal simpléctico de n dimensiones .

B n.

Sea E = R ⁿ , y sea Φ compuesto por todos los vectores enteros en E de longitud 1 o √ 2 . El número total de raíces es 2 n ² . Una elección de raíces simples es _α i ₌ e i _– e i _{+1 para} 1 ≤ i ≤ n – 1 (la elección anterior de raíces simples para An ₋₁ ), y la raíz más corta α _n = e _n .

La reflexión σ _n a través del hiperplano perpendicular a la raíz corta α _n es, por supuesto, simplemente una negación de la n- ésima coordenada. Para la raíz simple larga α _{n −1} , σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + α _{n −1} , pero para la reflexión perpendicular a la raíz corta, σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + 2 α _n , una diferencia por un múltiplo de 2 en lugar de 1.

La red de raíces de B _n , es decir, la red generada por las raíces de B _n , consta de todos los vectores enteros.

B ₁ es isomorfo a A ₁ mediante escalamiento por √ 2 y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto.

c norte

Sistema de raíces B ₃ , C ₃ y A ₃ = D ₃ como puntos dentro de un cubo y un octaedro

Sea E = R ⁿ , y sea Φ formado por todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 junto con todos los vectores de la forma 2 λ , donde λ es un vector entero de longitud 1. El número total de raíces es 2 n ² . Una elección de raíces simples es: α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ n − 1 (la elección anterior de raíces simples para _{An −1} ) _, y la raíz más larga α _n = 2 e _n . La reflexión σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _n , pero σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1} .

La red de raíces C _n , es decir, la red generada por las raíces C _n , consta de todos los vectores enteros cuyos componentes suman un número entero par.

C ₂ es isomorfo a B ₂ mediante escalamiento de √ 2 y una rotación de 45 grados y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto.

re n

Sea E = R ⁿ , y sea Φ formado por todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 . El número total de raíces es 2 n ( n − 1 ) . Una elección de _raíces simples es α _i = e _i − e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n − 1 (la elección anterior de raíces simples para An ₋₁ ) junto con α _n = e _{n −1} + e _n .

La reflexión a través del hiperplano perpendicular a α _n es lo mismo que transponer y negar las coordenadas n -ésimas y ( n − 1) -ésimas adyacentes. Cualquier raíz simple y su reflexión perpendicular a otra raíz simple se diferencian por un múltiplo de 0 o 1 de la segunda raíz, no por ningún múltiplo mayor.

La red de raíces D _n , es decir, la red generada por las raíces D _n , consta de todos los vectores enteros cuyos componentes suman un número entero par. Esto es lo mismo que la red de raíces C _n .

Las raíces D _n se expresan como los vértices de un n - ortoplex rectificado , diagrama de Coxeter-Dynkin :.... Los 2 n ( n − 1 ) vértices existen en el medio de los bordes del n -ortoplex.

D ₃ coincide con A ₃ y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto. Los doce vectores raíz D ₃ se expresan como los vértices de, una construcción de menor simetría del cuboctaedro .

D ₄ tiene simetría adicional llamada trialidad . Los veinticuatro vectores raíz D ₄ se expresan como los vértices de, una construcción de simetría más baja de 24 celdas .

mi6 , mi7 , mi8​​​

• El sistema de raíces E ₈ es cualquier conjunto de vectores en R ⁸ que sea congruente con el siguiente conjunto:
  $${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

El sistema radicular tiene 240 raíces. El conjunto que acabamos de enumerar es el conjunto de vectores de longitud √ 2 en la red de raíces E8, también conocida simplemente como red E8 o Γ ₈ . Este es el conjunto de puntos en R ⁸ tales que:

1. todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son semienteros (no se permite una mezcla de números enteros y semienteros), y
2. la suma de las ocho coordenadas es un número entero par .

De este modo,

$${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• El sistema de raíces E ₇ es el conjunto de vectores en E ₈ que son perpendiculares a una raíz fija en E ₈ . El sistema radicular E ₇ tiene 126 raíces.
• El sistema de raíces E ₆ no es el conjunto de vectores en E ₇ que son perpendiculares a una raíz fija en E ₇ , de hecho, se obtiene D ₆ de esa manera. Sin embargo, E ₆ es el subsistema de E _{8 perpendicular a dos raíces de} E ₈ adecuadamente elegidas . El sistema radicular E ₆ tiene 72 raíces.

Una descripción alternativa de la red E ₈ que a veces resulta conveniente es como el conjunto Γ' ₈ de todos los puntos en R ⁸ tal que

• todas las coordenadas son números enteros y la suma de las coordenadas es par, o
• todas las coordenadas son semienteros y la suma de las coordenadas es impar.

Las redes Γ ₈ y Γ' ₈ son isomorfas ; se puede pasar de uno a otro cambiando los signos de cualquier número impar de coordenadas. La red Γ ₈ a veces se llama sistema de coordenadas pares para E _8, mientras que la red Γ' ₈ se llama sistema de coordenadas impares .

Una opción de raíces simples para E ₈ en el sistema de coordenadas pares con filas ordenadas por orden de nodos en los diagramas de Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es:

α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ 6, y

α ₇ = mi ₇ + mi ₆

(la elección anterior de raíces simples para D ₇ ) junto con

$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

Una elección de raíces simples para E ₈ en el sistema de coordenadas impares con filas ordenadas por orden de nodos en diagramas de Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es

α _yo = mi _yo − mi _{yo +1} , para 1 ≤ yo ≤ 7

(la elección anterior de raíces simples para A ₇ ) junto con

α ₈ = β ₅ , donde

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

(Usar β ₃ daría un resultado isomorfo. Usar β _1,7 o β _2,6 simplemente daría A ₈ o D _8. En cuanto a β ₄ , sus coordenadas suman 0, y lo mismo ocurre con α _{1. .7} , por lo que abarcan solo el subespacio de 7 dimensiones para el cual las coordenadas suman 0, de hecho −2 β ₄ tiene coordenadas (1,2,3,4,3,2,1) en la base ( α _i ) .)

Dado que la perpendicularidad a α ₁ significa que las dos primeras coordenadas son iguales, E ₇ es entonces el subconjunto de E ₈ donde las dos primeras coordenadas son iguales, y de manera similar E ₆ es el subconjunto de E ₈ donde las tres primeras coordenadas son iguales. Esto facilita definiciones explícitas de E ₇ y E ₆ como

mi ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2 ) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

mi ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2 ) ⁶  : Σ α _yo ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _yo + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

Tenga en cuenta que al eliminar α ₁ y luego α ₂ se obtienen conjuntos de raíces simples para E ₇ y E ₆ . Sin embargo, estos conjuntos de raíces simples se encuentran en subespacios E ₇ y E _{6 de} E ₈ diferentes a los escritos anteriormente, ya que no son ortogonales a α ₁ o α ₂ .

F 4

Vectores de 48 raíces de F4, definidos por los vértices de las 24 celdas y su dual, vistos en el plano de Coxeter

Para F ₄ , sea E = R ⁴ , y sea Φ el conjunto de vectores α de longitud 1 o √ 2 tales que las coordenadas de 2α son todas enteras y todas pares o impares. Hay 48 raíces en este sistema. Una elección de raíces simples es: la elección de raíces simples dada anteriormente para B ₃ , más . ${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$

La red de raíces F ₄ , es decir, la red generada por el sistema de raíces F ₄ , es el conjunto de puntos en R ⁴ tal que todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son semienteros (una mezcla de números enteros y semienteros). -números enteros no están permitidos). Esta red es isomorfa a la red de cuaterniones de Hurwitz .

G 2

El sistema de raíces G ₂ tiene 12 raíces, que forman los vértices de un hexagrama . Vea la imagen de arriba.

Una elección de raíces simples es ( α ₁ , β = α ₂ − α ₁ ) donde α _i = e _i − e _{i +1} para i = 1, 2 es la elección anterior de raíces simples para A ₂ .

La red de raíces G ₂ , es decir, la red generada por las raíces G ₂ , es la misma que la red de raíces A _{2 .}

El poset raíz

Diagrama de Hasse del poset raíz E6 con etiquetas de borde que identifican la posición de raíz simple agregada

El conjunto de raíces positivas se ordena naturalmente diciendo que si y sólo si es una combinación lineal no negativa de raíces simples. Este poset está clasificado por y tiene muchas propiedades combinatorias notables, una de ellas es que se pueden determinar los grados de las invariantes fundamentales del grupo Weyl correspondiente a partir de este poset. ^[31] El gráfico de Hasse es una visualización del ordenamiento del poset raíz. ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\textstyle \deg \left(\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha \right)=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$

Ver también

• clasificación ADE
• Sistema de raíces afines
• Diagrama de Coxeter-Dynkin
• grupo coxeter
• matriz de coxeter
• diagrama de dinkin
• dato raíz
• Álgebra de mentira semisimple
• Pesos en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples
• Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple
• grupo weyl

Notas

1. Cvetković, Dragoš (2002). "Gráficos con menor valor propio −2; un estudio histórico y desarrollos recientes en gráficos excepcionales máximos". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 356 (1–3): 189–210. doi : 10.1016/S0024-3795(02)00377-4 .
2. Bourbaki, capítulo VI, sección 1
3. Humphreys 1972, pag. 42
4. Humphreys 1992, pag. 6
5. Humphreys 1992, pag. 39
6. Humphreys 1992, pag. 41
7. Humphreys 1972, pag. 43
8. Propuesta 8.8 del Salón 2015
9. Salón 2015, Sección 7.5
10. Matar 1889
11. Bourbaki 1998, pág. 270
12. Coleman 1989, pag. 34
13. Propuesta 8.6 del Salón 2015
14. Salón 2015, Teoremas 8.16 y 8.17
15. Salón 2015, Teorema 8.16
16. Salón 2015, Proposición 8.28
17. Salón 2015, Proposición 8.18
18. Salón 2015, Sección 8.7
19. Esto se desprende del Salón 2015, Proposición 8.23
20. Salón 2015, Proposición 8.32
21. Salón 2015, Proposición 8.23
22. Salón 2015, Proposiciones 8.23 ​​y 8.27
23. Salón 2015, Proposición 8.29
24. Véanse varias partes de los capítulos III, IV y V de Humphreys 1972, que culminan en la sección 19 del capítulo V.
25. Salón 2015, Teorema 7.35
26. Humphreys 1972, sección 16
27. Humphreys 1972, parte (b) del teorema 18.4
28. Humphreys 1972 Sección 18.3 y Teorema 18.4
29. Conway, Juan ; Sloane, Neil JA (1998). "Sección 6.3". Empaquetaduras de Esferas, Redes y Grupos. Saltador. ISBN 978-0-387-98585-5.
30. Salón 2015 Sección 8.9
31. Humphreys 1992, Teorema 3.20

Referencias

• Adams, JF (1983), Conferencias sobre grupos de mentiras , University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5
• Bourbaki, Nicolas (2002), Grupos de Lie y álgebras de Lie, Capítulos 4 a 6 (traducido del original francés de 1968 por Andrew Pressley) , Elementos de Matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7. La referencia clásica para sistemas radiculares.
• Bourbaki, Nicolás (1998). Elementos de la Historia de las Matemáticas . Saltador. ISBN 3540647678.
• Coleman, AJ (verano de 1989), "El mejor artículo matemático de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer , 11 (3): 29–38, doi :10.1007/bf03025189, S2CID  35487310
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Saltador. ISBN 0387900535.
• Humphreys, James (1992). Grupos de Reflexión y Grupos Coxeter . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521436133.
• Matar, Wilhelm (junio de 1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen". Annalen Matemáticas . 31 (2): 252–290. doi :10.1007/BF01211904. S2CID  120501356. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016.
  • - (marzo de 1888). "Parte 2". Matemáticas. Ana . 33 (1): 1–48. doi :10.1007/BF01444109. S2CID  124198118.
  • - (marzo de 1889). "Parte 3". Matemáticas. Ana . 34 (1): 57-122. doi :10.1007/BF01446792. S2CID  179177899. Archivado desde el original el 21 de febrero de 2015.
  • - (junio de 1890). "Parte 4". Matemáticas. Ana . 36 (2): 161–189. doi :10.1007/BF01207837. S2CID  179178061.
• Kac, Víctor G. (1990). Álgebras de mentiras de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-46693-6.
• Springer, TA (1998). Grupos algebraicos lineales (2ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0817640215.

Otras lecturas

• Dynkin, EB (1947). "La estructura de álgebras semisimples". Estera uspekhi. Nauk . 2 (en ruso). 4 (20): 59-127. SEÑOR  0027752.

enlaces externos