En geometría , el panal simplicial (o panal n -simplex ) es una serie infinita dimensional de panales , basada en la simetría afín del grupo Coxeter . Está representado por un diagrama de Coxeter-Dynkin como un gráfico cíclico de n + 1 nodos con un nodo anillado. Se compone de n - facetas símplex , junto con todos los n -símplices rectificados . Se puede considerar como un panal hipercúbico de n dimensiones que se ha subdividido a lo largo de todos los hiperplanos y luego se ha estirado a lo largo de su diagonal principal hasta que los simples en los extremos de los hipercubos se vuelven regulares. La figura del vértice de un panal n - simplex es un n - simplex expandido .
En 2 dimensiones , el panal representa el mosaico triangular , con gráfico de Coxeter
llenando el avión con triángulos de colores alternativos. En 3 dimensiones representa el panal tetraédrico-octaédrico , con gráfico de Coxeter
llenando el espacio con celdas alternativamente tetraédricas y octaédricas. En 4 dimensiones se llama panal de 5 celdas , con gráfico de Coxeter
, con facetas de 5 celdas y de 5 celdas rectificadas . En 5 dimensiones se llama panal de 5 simples , con gráfico de Coxeter, llenando el espacio con facetas de 5 simples , 5 simples rectificadas y 5 simples birectificadas . En 6 dimensiones se llama panal de 6 símplex , con gráfico de Coxeter, llenando el espacio con facetas de 6 simples , 6 simples rectificadas y 6 simples birectificadas .
Los panales (2n-1)-simplex y los panales 2n-simplex se pueden proyectar en el panal hipercúbico n-dimensional mediante una operación de plegado geométrico que asigna dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :
Estos panales, vistos como n-esferas tangentes ubicadas en el centro de cada vértice del panal, tienen un número fijo de esferas en contacto y corresponden al número de vértices en la figura del vértice . Esto representa el número de besos más alto para 2 y 3 dimensiones, pero se queda corto en dimensiones superiores. En 2 dimensiones, el mosaico triangular define un paquete circular de 6 esferas tangentes dispuestas en un hexágono regular, y en 3 dimensiones hay 12 esferas tangentes dispuestas en una configuración cuboctaédrica . Para 4 a 8 dimensiones, los números de besos son 20 , 30 , 42 , 56 y 72 esferas, mientras que las soluciones mayores son 24, 40, 72, 126 y 240 esferas respectivamente.
