Dato raíz

En teoría matemática de grupos , el dato raíz de un grupo algebraico reductivo dividido conectado sobre un campo es una generalización de un sistema de raíces que determina el grupo hasta el isomorfismo. Fueron introducidos por Michel Demazure en SGA III , publicado en 1970.

Definición

Un dato raíz consta de un cuádruple

${\displaystyle (X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })}$,

dónde

• ${\displaystyle X^{\ast }}$y son grupos abelianos libres de rango finito junto con un emparejamiento perfecto entre ellos con valores en los que denotamos por ( , ) (en otras palabras, cada uno se identifica con el dual del otro). ${\displaystyle X_{\ast }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \Phi }$es un subconjunto finito de y es un subconjunto finito de y hay una biyección de sobre , denotada por . ${\displaystyle X^{\ast }}$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle X_{\ast }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$
• Para cada , . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{\vee })=2}$
• Para cada uno , el mapa induce un automorfismo del dato raíz (en otras palabras, se mapea y la acción inducida en se mapea a ) ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X_{\ast }}$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

Los elementos de se denominan raíces del dato raíz y los elementos de se denominan co-raíces . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

Si no contiene para ninguno , entonces el dato raíz se llama reducido . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle 2\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

El dato raíz de un grupo algebraico.

Si es un grupo algebraico reductivo sobre un campo algebraicamente cerrado con un toro máximo dividido, entonces su dato raíz es cuádruple ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$,

dónde

• ${\displaystyle X^{*}}$es el entramado de caracteres del toro máximo,
• ${\displaystyle X_{*}}$es la red dual (dada por los subgrupos de 1 parámetro),
• ${\displaystyle \Phi }$es un conjunto de raíces,
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$es el conjunto correspondiente de raíces.

Un grupo algebraico reductivo dividido conectado está determinado únicamente (hasta el isomorfismo) por su dato raíz, que siempre está reducido. A la inversa, para cualquier dato raíz existe un grupo algebraico reductivo. Un dato raíz contiene un poco más de información que el diagrama de Dynkin , porque también determina el centro del grupo. ${\displaystyle K}$

Para cualquier datum raíz , podemos definir un datum raíz dual cambiando los caracteres con los subgrupos de 1 parámetro y cambiando las raíces con las coroots. ${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$ ${\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}$

Si es un grupo algebraico reductivo conexo sobre el campo algebraicamente cerrado , entonces su grupo dual de Langlands es el grupo reductivo conexo complejo cuyo dato raíz es dual al de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {}^{L}G}$ ${\displaystyle G}$

Referencias

• Michel Demazure , Exp. XXI en SGA 3 vol 3
• TA Springer , Grupos reductivos, en formas, representaciones y funciones L automórficas vol 1 ISBN  0-8218-3347-2