Sistema de raíces afines

El sistema de raíces afines de tipo G ₂ .

En matemáticas, un sistema de raíces afín es un sistema de raíces de funciones lineales afines en un espacio euclidiano . Se utilizan en la clasificación de álgebras y superálgebras de Lie afines, y grupos algebraicos p -ádicos semisimples , y corresponden a familias de polinomios de Macdonald . Kac y Moody utilizaron los sistemas de raíces afines reducidos en su trabajo sobre álgebras de Kac-Moody . Posiblemente Macdonald (1972) y Bruhat & Tits (1972) introdujeron y clasificaron sistemas de raíces afines no reducidos (excepto que ambos artículos omitieron accidentalmente el diagrama de Dynkin). ).

Definición

Sea E un espacio afín y V el espacio vectorial de sus traslaciones. Recuerde que V actúa fiel y transitivamente sobre E . En particular, si , entonces está bien definido un elemento en V denotado como el único elemento w tal que . ${\displaystyle u,v\in E}$ ${\displaystyle u-v}$ ${\displaystyle v+w=u}$

Ahora supongamos que tenemos un producto escalar en V. Esto define una métrica en E como . ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle d(u,v)=\vert (u-v,u-v)\vert }$

Considere el espacio vectorial F de funciones lineales afines . Habiendo fijado a , cada elemento en F se puede escribir como una función lineal en V que no depende de la elección de . ${\displaystyle f\colon E\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle f(x)=Df(x-x_{0})+f(x_{0})}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Ahora el dual de V se puede identificar con V gracias al producto escalar elegido y podemos definir un producto en F como . Establecer y para cualquiera y respectivamente. La identificación nos permite definir una reflexión sobre E de la siguiente manera: ${\displaystyle (f,g)=(Df,Dg)}$ ${\displaystyle f^{\vee }={\frac {2f}{(f,f)}}}$ ${\displaystyle v^{\vee }={\frac {2v}{(v,v)}}}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle w_{f}(x)=x-f^{\vee }(x)Df}$

Por transposición actúa también sobre F como ${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle w_{f}(g)=g-(f^{\vee },g)f}$

Un sistema de raíces afín es un subconjunto tal que: ${\displaystyle S\in F}$

1. S abarca F y sus elementos no son constantes.
2. ${\displaystyle w_{a}(S)=S}$para cada . ${\displaystyle a\in S}$
3. ${\displaystyle (a,b^{\vee })\in \mathbb {Z} }$para cada . ${\displaystyle a,b\in S}$

Los elementos de S se llaman raíces afines . Denota con el grupo generado por with . También preguntamos ${\displaystyle w(S)}$ ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle a\in S}$

4. ${\displaystyle w(S)}$como grupo discreto actúa correctamente sobre E .

Esto significa que para dos compactos cualesquiera, los elementos de tales son un número finito. ${\displaystyle K,H\subseteq E}$ ${\displaystyle w(S)}$ ${\displaystyle w(K)\cap H\neq \varnothing }$

Clasificación

Los sistemas de raíces afines A ₁ = B ₁ = B^∨
₁= C ₁ = C^∨
₁son iguales, al igual que los pares B ₂ = C ₂ , B^∨
₂= C^∨
₂, y A ₃ = D ₃

El número de órbitas que figura en la tabla es el número de órbitas de raíces simples del grupo Weyl. En los diagramas de Dynkin , las raíces simples no reducidas α (con 2α como raíz) están coloreadas en verde. El primer diagrama de Dynkin de una serie a veces no sigue la misma regla que los demás.

Sistemas de raíces afines irreducibles por rango

Rango 1 : A ₁ , antes de Cristo ₁ , ( antes de Cristo ₁ , C ₁ ), ( C^∨
₁, antes de Cristo ₁ ), ( C^∨
₁, C ₁ ).

Rango 2 : A ₂ , C ₂ , C^∨
₂, antes de Cristo ₂ , ( antes de Cristo ₂ , C ₂ ), ( C^∨
₂, antes de Cristo ₂ ), ( segundo ₂ , segundo^∨
₂), ( C^∨
₂, C ₂ ), G ₂ , GRAMO^∨
₂.

Rango 3 : A ₃ , B ₃ , B^∨
₃, C ₃ , C^∨
₃, antes de Cristo ₃ , ( antes de Cristo ₃ , C ₃ ), ( C^∨
₃, antes de Cristo ₃ ), ( segundo ₃ , segundo^∨
₃), ( C^∨
₃, C ₃ ).

Rango 4 : A ₄ , B ₄ , B^∨
₄, C ₄ , C^∨
₄, antes de Cristo ₄ , ( antes de Cristo ₄ , C ₄ ), ( C^∨
₄, antes de Cristo ₄ ), ( segundo ₄ , segundo^∨
₄), ( C^∨
₄, C ₄ ), D ₄ , F ₄ , F^∨
₄.

Rango 5 : A ₅ , B ₅ , B^∨
₅, C ₅ , C^∨
₅, antes de Cristo ₅ , ( antes de Cristo ₅ , C ₅ ), ( C^∨
₅, antes de Cristo ₅ ), ( segundo ₅ , segundo^∨
₅), ( C^∨
₅, C ₅ ), D ₅ .

Rango 6 : A ₆ , B ₆ , B^∨
₆, C ₆ , C^∨
₆, antes de Cristo ₆ , ( antes de Cristo ₆ , C ₆ ), ( C^∨
₆, antes de Cristo ₆ ), ( segundo ₆ , segundo^∨
₆), ( C^∨
₆, C ₆ ), D ₆ , E ₆ ,

Rango 7 : A ₇ , B ₇ , B^∨
₇, C ₇ , C^∨
₇, antes de Cristo ₇ , ( antes de Cristo ₇ , C ₇ ), ( C^∨
₇, antes de Cristo ₇ ), ( B ₇ , B^∨
₇), ( C^∨
₇, C ₇ ), D ₇ , E ₇ ,

Rango 8 : A ₈ , B ₈ , B^∨
₈, C ₈ , C^∨
₈, antes de Cristo ₈ , ( antes de Cristo ₈ , C ₈ ), ( C^∨
₈, antes de Cristo ₈ ), ( B ₈ , B^∨
₈), ( C^∨
₈, C ₈ ), D ₈ , E ₈ ,

Rango n ( n >8) : A _n , B _n , B^∨
_norte, C _norte , C^∨
_norte, antes de Cristo _norte , ( antes de Cristo _norte , C _norte ), ( C^∨
_norte, antes de Cristo _norte ), ( segundo _norte , segundo^∨
_norte), ( C^∨
_norte, C _norte ), D _norte .

Aplicaciones

• Macdonald (1972) demostró que los sistemas de raíces afines indexan las identidades de Macdonald.
• Bruhat y Tit (1972) utilizaron sistemas de raíces afines para estudiar grupos algebraicos p -ádicos.
• Los sistemas de raíces afines reducidos clasifican álgebras de Kac-Moody afines , mientras que los sistemas de raíces afines no reducidos corresponden a superálgebras de Lie afines .
• Macdonald (2003) demostró que los sistemas de raíces afines indexan familias de polinomios de Macdonald .

Referencias

• Bruhat, F.; Tetas, Jacques (1972), "Groupes réductifs sur un corps local", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 41 : 5–251, doi :10.1007/bf02715544, ISSN  1618-1913, MR  0327923, S2CID  125864274
• Macdonald, IG (1972), "Sistemas de raíces afines y función η de Dedekind", Inventiones Mathematicae , 15 (2): 91–143, Bibcode :1971InMat..15...91M, doi :10.1007/BF01418931, ISSN  0020- 9910, SEÑOR  0357528, S2CID  122115111
• Macdonald, IG (2003), Álgebras afines de Hecke y polinomios ortogonales , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 157, Cambridge: Cambridge University Press, págs. x+175, ISBN 978-0-521-82472-9, SEÑOR  1976581