Polinomios de Macdonald

En matemáticas , los polinomios de Macdonald P _λ ( x ; t , q ) son una familia de polinomios simétricos ortogonales en varias variables, introducidos por Macdonald en 1987. Más tarde introdujo una generalización no simétrica en 1995. Macdonald asoció originalmente sus polinomios con pesos λ de sistemas de raíces finitos y utilizó solo una variable t , pero más tarde se dio cuenta de que es más natural asociarlos con sistemas de raíces afines en lugar de sistemas de raíces finitos, en cuyo caso la variable t puede reemplazarse por varias variables diferentes t = ( t ₁ ,..., t _k ), una para cada una de las k órbitas de raíces en el sistema de raíces afín. Los polinomios de Macdonald son polinomios en n variables x = ( x ₁ ,..., x _n ), donde n es el rango del sistema de raíces afín. Generalizan muchas otras familias de polinomios ortogonales, como los polinomios de Jack y los polinomios de Hall–Littlewood y los polinomios de Askey–Wilson , que a su vez incluyen la mayoría de los polinomios ortogonales de 1 variable nombrados como casos especiales. Los polinomios de Koornwinder son polinomios de Macdonald de ciertos sistemas de raíces no reducidas. Tienen profundas relaciones con las álgebras afines de Hecke y los esquemas de Hilbert , que se usaron para probar varias conjeturas hechas por Macdonald sobre ellos.

Definición

Primero arreglemos algunas notaciones:

R es un sistema raíz finito en un espacio vectorial real V.
R ⁺ es una elección de raíces positivas , a la que corresponde una cámara de Weyl positiva .
W es el grupo de Weyl de R .
Q es la red de raíces de R (la red abarcada por las raíces).
P es la red de pesos de R (que contiene Q ).
Un ordenamiento de los pesos : si y sólo si es una combinación lineal no negativa de raíces simples . $\mu \leq \lambda$ $\lambda -\mu$
P ⁺ es el conjunto de pesos dominantes: los elementos de P en la cámara de Weyl positiva.
ρ es el vector de Weyl : la mitad de la suma de las raíces positivas; este es un elemento especial de P ⁺ en el interior de la cámara de Weyl positiva.
F es un campo de característica 0, generalmente los números racionales.
A = F ( P ) es el álgebra de grupo de P , con una base de elementos escrita e ^λ para λ ∈ P .
Si f = e ^λ , entonces f significa e ^−λ , y esto se extiende por linealidad a todo el álgebra de grupos.
m _μ = Σ _{λ ∈ W μ}e ^λ es una suma de órbitas; estos elementos forman una base para la subálgebra A ^W de elementos fijados por W .
$(a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})$ , el símbolo q-Pochhammer infinito .
$\Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \sobre (te^{\alpha };q)_{\infty }}.$
$\langle f,g\rangle =({\text{término constante de }}f{\overline {g}}\Delta )/|W|$ es el producto interno de dos elementos de A , al menos cuando t es una potencia entera positiva de q .

Los polinomios de Macdonald P _λ para λ ∈ P ⁺ están definidos de forma única por las dos condiciones siguientes:

P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }

donde u _λμ es una función racional de q y t con u _λλ = 1;

P _λ y P _μ son ortogonales si λ < μ.

En otras palabras, los polinomios de Macdonald se obtienen ortogonalizando la base obvia para A ^W . La existencia de polinomios con estas propiedades es fácil de demostrar (para cualquier producto interno). Una propiedad clave de los polinomios de Macdonald es que son ortogonales : 〈P _λ , P _μ〉 = 0 siempre que λ ≠ μ. Esto no es una consecuencia trivial de la definición porque P ⁺ no está totalmente ordenado, y por lo tanto tiene muchos elementos que son incomparables. Por lo tanto, uno debe verificar que los polinomios correspondientes sigan siendo ortogonales. La ortogonalidad se puede demostrar mostrando que los polinomios de Macdonald son vectores propios para un álgebra de operadores autoadjuntos conmutativos con espacios propios unidimensionales, y usando el hecho de que los espacios propios para diferentes valores propios deben ser ortogonales.

En el caso de sistemas de raíces no simplemente enlazados (B, C, F, G), el parámetro t puede elegirse para que varíe con la longitud de la raíz, lo que da una familia de tres parámetros de polinomios de Macdonald. También se puede extender la definición al sistema de raíces no reducido BC, en cuyo caso se obtiene una familia de seis parámetros (un t para cada órbita de raíces, más q ) conocida como polinomios de Koornwinder . A veces es mejor considerar los polinomios de Macdonald como dependientes de un sistema de raíces afín posiblemente no reducido. En este caso, hay un parámetro t asociado a cada órbita de raíces en el sistema de raíces afín, más un parámetro q . El número de órbitas de raíces puede variar de 1 a 5.

Ejemplos

Si q = t los polinomios de Macdonald se convierten en los caracteres de Weyl de las representaciones del grupo compacto del sistema raíz, o en las funciones de Schur en el caso de sistemas raíz de tipo A.
Si q = 0 , los polinomios de Macdonald se convierten en funciones esféricas zonales (reescaladas) para un grupo p -ádico semisimple, o los polinomios de Hall–Littlewood cuando el sistema raíz tiene tipo A.
Si t = 1 los polinomios de Macdonald se convierten en las sumas de las órbitas W , que son las funciones simétricas monomiales cuando el sistema raíz tiene tipo A.
Si ponemos t = q ^α y dejamos que q tienda a 1, los polinomios de Macdonald se convierten en polinomios de Jack cuando el sistema raíz es de tipo A , y en polinomios de Heckman-Opdam para sistemas raíz más generales.
Para el sistema de raíces afín A ₁ , los polinomios de Macdonald son los polinomios de Rogers .
Para el sistema de raíces afín de rango 1 no reducido de tipo ( C^∨
₁, C ₁ ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Askey–Wilson , que a su vez incluyen como casos especiales la mayoría de las familias nombradas de polinomios ortogonales en 1 variable.
Para el sistema de raíces afines no reducido del tipo ( C^∨
, C _n ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Koornwinder .

La conjetura del término constante de Macdonald

Si t = q ^k para algún entero positivo k , entonces la norma de los polinomios de Macdonald está dada por

\langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))-i}}.

Macdonald (1982) conjeturó esto como una generalización de la conjetura de Dyson , y Cherednik (1995) lo demostró para todos los sistemas de raíces (reducidos) utilizando propiedades de álgebras de Hecke doblemente afines . La conjetura había sido demostrada previamente caso por caso para todos los sistemas de raíces excepto aquellos de tipo E _n por varios autores.

Hay otras dos conjeturas que, junto con la conjetura de la norma, se denominan colectivamente conjeturas de Macdonald en este contexto: además de la fórmula para la norma, Macdonald conjeturó una fórmula para el valor de P _λ en el punto t ^ρ y una simetría

{\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.

Nuevamente, esto fue probado para sistemas de raíces reducidas generales por Cherednik (1995), usando álgebras de Hecke doblemente afines , con la extensión al caso BC siguiendo poco tiempo después a través del trabajo de van Diejen, Noumi y Sahi.

La conjetura de positividad de Macdonald

En el caso de sistemas de raíces de tipo A _{n −1} los polinomios de Macdonald son simplemente polinomios simétricos en n variables con coeficientes que son funciones racionales de q y t . Una cierta versión transformada de los polinomios de Macdonald (ver fórmula combinatoria a continuación) forma una base ortogonal del espacio de funciones simétricas sobre , y por lo tanto puede expresarse en términos de funciones de Schur . Los coeficientes K _λμ ( q , t ) de estas relaciones se denominan coeficientes de Kostka-Macdonald o qt -coeficientes de Kostka. Macdonald conjeturó que los coeficientes de Kostka-Macdonald eran polinomios en q y t con coeficientes enteros no negativos. Estas conjeturas ahora están probadas; el paso más difícil y final fue probar la positividad, que fue realizada por Mark Haiman (2001), al probar la conjetura n ! . ${\widetilde {H}}_{\mu }$ $\mathbb {Q} (q,t)$ $s_{\lambda }$

Todavía es un problema central abierto en combinatoria algebraica encontrar una fórmula combinatoria para los coeficientes qt -Kostka.

n! conjetura

La conjetura n ! de Adriano Garsia y Mark Haiman establece que para cada partición μ de n el espacio

D_{\mu }=C[\partial _{x},\partial _{y}]\,\Delta _{\mu }

abarcado por todas las derivadas parciales superiores de

\Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}

tiene dimensión n !, donde ( p _j , q _j ) recorren los n elementos del diagrama de la partición μ, considerada como un subconjunto de los pares de números enteros no negativos. Por ejemplo, si μ es la partición 3 = 2 + 1 de n = 3 entonces los pares ( p _j , q _j ) son (0, 0), (0, 1), (1, 0), y el espacio D _μ está abarcado por

\Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}

y_{2}-y_{3}

y_{3}-y_{1}

x_{3}-x_{2}

x_{1}-x_{3}

1

que tiene dimensión 6 = 3!.

La prueba de Haiman de la conjetura de positividad de Macdonald y la conjetura n ! implicaba mostrar que el esquema de Hilbert isoespectral de n puntos en un plano era Cohen-Macaulay (e incluso Gorenstein ). Resultados anteriores de Haiman y Garsia ya habían demostrado que esto implicaba la conjetura n !, y que la conjetura n ! implicaba que los coeficientes de Kostka-Macdonald eran multiplicidades de caracteres graduadas para los módulos D _μ . Esto implica inmediatamente la conjetura de positividad de Macdonald porque las multiplicidades de caracteres tienen que ser números enteros no negativos.

Ian Grojnowski y Mark Haiman encontraron otra prueba de la conjetura de positividad de Macdonald al demostrar una conjetura de positividad para polinomios LLT .

Fórmula combinatoria para los polinomios de Macdonald

En 2005, J. Haglund, M. Haiman y N. Loehr ^[1] dieron la primera prueba de una interpretación combinatoria de los polinomios de Macdonald. En 1988, IG Macdonald ^[2] dio la segunda prueba de una interpretación combinatoria de los polinomios de Macdonald (ecuaciones (4.11) y (5.13)). La fórmula de Macdonald es diferente a la del trabajo de Haglund, Haiman y Loehr, con muchos menos términos (esta fórmula también se demuestra en el trabajo seminal de Macdonald, ^[3] Cap. VI (7.13)). Si bien son muy útiles para el cálculo e interesantes por derecho propio, sus fórmulas combinatorias no implican inmediatamente la positividad de los coeficientes de Kostka-Macdonald, ya que dan la descomposición de los polinomios de Macdonald en funciones simétricas monomiales en lugar de en funciones de Schur. $K_{\lambda \mu }(q,t),$

Escritos en los polinomios de Macdonald transformados en lugar de los habituales , son ${\widetilde {H}}_{\mu }$ $P_{\lambda }$

{\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }

donde σ es un relleno del diagrama de Young de forma μ, inv y maj son ciertas estadísticas combinatorias (funciones) definidas sobre el relleno σ. Esta fórmula expresa los polinomios de Macdonald en infinitas variables. Para obtener los polinomios en n variables, simplemente restrinja la fórmula a rellenos que solo usen los números enteros 1, 2, ..., n . El término x ^σ debe interpretarse como donde σ _i es el número de casillas en el relleno de μ con contenido i . $x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots$

En esta figura se representan el brazo y la pierna de un cuadrado de un diagrama de Young. El brazo es el número de cuadrados a su derecha y la pierna es el número de cuadrados que se encuentran por encima de él.

Los polinomios de Macdonald transformados en la fórmula anterior están relacionados con los polinomios de Macdonald clásicos a través de una secuencia de transformaciones. En primer lugar, la forma integral de los polinomios de Macdonald, denotada , es un reescalamiento de que elimina los coeficientes de los denominadores: ${\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)$ $P_{\lambda }$ $J_{\lambda }(x;q,t)$ $P_{\lambda }(x;q,t)$

J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)

donde es la colección de cuadrados en el diagrama de Young de , y y denotan el brazo y la pierna del cuadrado , como se muestra en la figura. Nota: La figura de la derecha utiliza la notación francesa para tableau, que se invierte verticalmente con respecto a la notación inglesa utilizada en la página de Wikipedia para diagramas de Young. La notación francesa se utiliza más comúnmente en el estudio de los polinomios de Macdonald. $D(\lambda )$ $\lambda$ $a(s)$ $l(s)$ $s$

Los polinomios de Macdonald transformados pueden entonces definirse en términos de . Tenemos ${\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)$ $J_{\mu }$

{\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]

dónde

n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).

La notación entre corchetes anterior denota sustitución pletística .

Esta fórmula se puede utilizar para demostrar la fórmula de Knop y Sahi para los polinomios de Jack .

Polinomios de Macdonald no simétricos

En 1995, Macdonald introdujo un análogo no simétrico de los polinomios simétricos de Macdonald, y los polinomios simétricos de Macdonald pueden recuperarse fácilmente a partir de su contraparte no simétrica. En su definición original, muestra que los polinomios no simétricos de Macdonald son una familia única de polinomios ortogonales a un determinado producto interno, además de satisfacer una propiedad de triangularidad cuando se desarrollan en la base monomial.

En 2007, Haglund, Haiman y Loehr dieron una fórmula combinatoria para los polinomios de Macdonald no simétricos.

Los polinomios de Macdonald no simétricos se especializan en caracteres Demazure al tomar q=t=0, y en polinomios clave cuando q=t=∞.

Fórmulas combinatorias basadas en el proceso de exclusión

En 2018, S. Corteel , O. Mandelshtam y L. Williams utilizaron el proceso de exclusión para dar una caracterización combinatoria directa de polinomios de Macdonald tanto simétricos como no simétricos. ^[4] Sus resultados difieren del trabajo anterior de Haglund en parte porque dan una fórmula directamente para los polinomios de Macdonald en lugar de una transformación de los mismos. Desarrollan el concepto de una cola multilínea, que es una matriz que contiene bolas o celdas vacías junto con un mapeo entre bolas y sus vecinas y un mecanismo de etiquetado combinatorio. El polinomio de Macdonald no simétrico satisface entonces:

E_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)

donde la suma se aplica a todas las colas multilínea de tipo y es una función de ponderación que asigna esas colas a polinomios específicos. El polinomio simétrico de Macdonald satisface: $L\times n$ $\lambda$ $\mathrm {wt}$

P_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{\mu }E_{\mu }(x_{1},...,x_{n};q,t)=\sum _{\mu }\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)

donde la suma externa es sobre todas las composiciones distintas que son permutaciones de , y la suma interna es como antes. $\mu$ $\lambda$

Referencias

^ Haglund, J.; Haiman, M.; Loehr, N. (2005), "Una fórmula combinatoria para polinomios de Macdonald", Journal of the American Mathematical Society , 18 (3): 735–761, arXiv : math/0409538 , doi : 10.1090/S0894-0347-05-00485-6 , ISSN 0894-0347, MR 2138143
^ Macdonald, IG Una nueva clase de funciones simétricas. Publ. IRMA Estrasburgo, 1988, 372/S–20 Actes 20e Séminaire Lotharingien, págs. 131–171. eudml.org
^ Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edición. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
^ Corteel, Sylvie; Mandelshtam, Olya; Williams, Lauren (2018), "De colas multilínea a polinomios de Macdonald a través del proceso de exclusión", arXiv : 1811.01024 [math.CO]

Bibliografía

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Garsia, Adriano; Remmel, Jeffrey B. (15 de marzo de 2005), " Avances en la teoría de polinomios de Macdonald ", PNAS , 102 (11): 3891–3894, Bibcode :2005PNAS..102.3891G, doi : 10.1073/pnas.0409705102 , PMC 554818 , PMID 15753285
Mark Haiman Combinatoria, funciones simétricas y esquemas de Hilbert. Current Developments in Mathematics 2002, no. 1 (2002), 39–111.
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Kirillov, AA (1997), "Conferencias sobre álgebras afines de Hecke y conjeturas de Macdonald", Bull. Amer. Math. Soc. , 34 (3): 251–292, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00727-1
Macdonald, IG (1982), "Algunas conjeturas para sistemas de raíces", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007, doi :10.1137/0513070, ISSN 0036-1410, MR 0674768
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Enlaces externos

Página de Mike Zabrocki sobre los polinomios de Macdonald.
Algunos de los artículos de Haiman sobre los polinomios de Macdonald.