grupo weyl

Subgrupo del grupo de isometría de un sistema raíz

En matemáticas , en particular en la teoría de las álgebras de Lie , el grupo Weyl (llamado así por Hermann Weyl ) de un sistema de raíces Φ es un subgrupo del grupo de isometría de ese sistema de raíces. Específicamente, es el subgrupo que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces y, como tal, es un grupo de reflexión finito . De hecho, resulta que la mayoría de los grupos de reflexión finitos son grupos de Weyl. ^[1] De manera abstracta, los grupos Weyl son grupos finitos de Coxeter y son ejemplos importantes de estos.

El grupo Weyl de un grupo de Lie semisimple , un álgebra de Lie semisimple , un grupo algebraico lineal semisimple , etc. es el grupo Weyl del sistema de raíces de ese grupo o álgebra .

Definición y ejemplos

El grupo Weyl del sistema radicular es el grupo de simetría de un triángulo equilátero. ${\displaystyle A_{2}}$

Sea un sistema de raíces en un espacio euclidiano . Para cada raíz , denotemos la reflexión sobre el hiperplano perpendicular a , que se da explícitamente como ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha }$,

¿Dónde está el producto interno ? El grupo Weyl de es el subgrupo del grupo ortogonal generado por todos los 's. Según la definición de sistema raíz, cada uno conserva , de lo que se deduce que es un grupo finito. ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle W}$

En el caso del sistema de raíces, por ejemplo, los hiperplanos perpendiculares a las raíces son simplemente líneas, y el grupo de Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, como se indica en la figura. Como grupo, es isomorfo al grupo de permutación de tres elementos, que podemos considerar como los vértices del triángulo. Tenga en cuenta que, en este caso, no se trata del grupo de simetría completo del sistema raíz; una rotación de 60 grados conserva pero no es un elemento de . ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle W}$

Podemos considerar también el sistema raíz. En este caso, es el espacio de todos los vectores cuyas entradas suman cero. Las raíces constan de vectores de la forma , donde es el elemento básico estándar para . La reflexión asociada a dicha raíz es la transformación que se obtiene intercambiando las entradas enésima y enésima de cada vector. El grupo Weyl para es entonces el grupo de permutación de elementos. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle e_{i}-e_{j},\,i\neq j}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$

cámaras de weyl

La región sombreada es la cámara de Weyl fundamental para la base. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Si es un sistema de raíces, podemos considerar el hiperplano perpendicular a cada raíz . Recordemos que denota la reflexión sobre el hiperplano y que el grupo de Weyl es el grupo de transformaciones de generadas por todos los 's. El complemento del conjunto de hiperplanos está desconectado, y cada componente conectado se denomina cámara de Weyl . Si hemos fijado un conjunto particular Δ de raíces simples, podemos definir la cámara de Weyl fundamental asociada a Δ como el conjunto de puntos tales que para todos . ${\displaystyle \Phi \subset V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Dado que las reflexiones preservan , también preservan el conjunto de hiperplanos perpendiculares a las raíces. Así, cada elemento del grupo Weyl permuta las cámaras de Weyl. ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

La figura ilustra el caso del sistema raíz A2. Los "hiperplanos" (en este caso, unidimensionales) ortogonales a las raíces se indican con líneas discontinuas. Los seis sectores de 60 grados son las cámaras de Weyl y la región sombreada es la cámara de Weyl fundamental asociada a la base indicada.

Un teorema general básico sobre las cámaras de Weyl es el siguiente: ^[2]

Teorema : El grupo Weyl actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. Por tanto, el orden del grupo Weyl es igual al número de cámaras de Weyl.

Un resultado relacionado es este: ^[3]

Teorema : arreglar una cámara de Weyl . Entonces, para todos , la órbita de Weyl de contiene exactamente un punto en el cierre de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Estructura del grupo Coxeter

grupo electrógeno

Un resultado clave sobre el grupo Weyl es el siguiente: ^[4]

Teorema : Si es base para , entonces el grupo Weyl se genera por las reflexiones dentro . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta }$

Es decir, el grupo generado por las reflexiones es el mismo que el grupo generado por las reflexiones . ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,}$ ${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$

Relaciones

Mientras tanto, si y están en , entonces el diagrama de Dynkin relativo a la base nos dice algo sobre cómo se comporta el par. Específicamente, supongamos que y son los vértices correspondientes en el diagrama de Dynkin. Entonces tenemos los siguientes resultados: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$

• Si no hay vínculo entre y , entonces y conmutan. Dado que y cada uno tiene orden dos, esto equivale a decir que . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\beta }}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\beta }}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1}$
• Si hay un vínculo entre y , entonces . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1}$
• Si hay dos enlaces entre y , entonces . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1}$
• Si hay tres enlaces entre y , entonces . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1}$

La afirmación anterior no es difícil de verificar, si simplemente recordamos lo que nos dice el diagrama de Dynkin sobre el ángulo entre cada par de raíces. Si, por ejemplo, no existe ningún vínculo entre los dos vértices, entonces y son ortogonales, de lo que se deduce fácilmente que las reflexiones correspondientes conmutan. De manera más general, el número de enlaces determina el ángulo entre las raíces. El producto de las dos reflexiones es entonces una rotación angular en el plano abarcado por y , como puede comprobar el lector, de lo que se desprende fácilmente la afirmación anterior. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Como grupo Coxeter

Los grupos de Weyl son ejemplos de grupos de reflexión finitos, ya que se generan por reflexiones; los grupos abstractos (no considerados como subgrupos de un grupo lineal) son, en consecuencia, grupos de Coxeter finitos , lo que permite clasificarlos mediante su diagrama de Coxeter-Dynkin . Ser un grupo de Coxeter significa que un grupo de Weyl tiene un tipo especial de presentación en el que cada generador x _i es de orden dos, y las relaciones distintas de x _i ² =1 son de la forma ( x _i x _j ) ^{m _ij} =1 . Los generadores son las reflexiones dadas por raíces simples, y m _ij es 2, 3, 4 o 6 dependiendo de si las raíces i y j forman un ángulo de 90, 120, 135 o 150 grados, es decir, si en el diagrama de Dynkin están desconectados, conectados por un borde simple, conectados por un borde doble o conectados por un borde triple. Ya hemos señalado estas relaciones en los puntos anteriores, pero decir que es un grupo de Coxeter, estamos diciendo que esas son las únicas relaciones en . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Los grupos Weyl tienen un orden de Bruhat y una función de longitud en términos de esta presentación: la longitud de un elemento del grupo Weyl es la longitud de la palabra más corta que representa ese elemento en términos de estos generadores estándar. Hay un elemento único y más largo de un grupo Coxeter , que es opuesto a la identidad en el orden Bruhat.

Grupos de Weyl en entornos algebraicos, teóricos de grupos y geométricos

Arriba, el grupo Weyl se definió como un subgrupo del grupo de isometría de un sistema de raíces. También existen varias definiciones de grupos de Weyl específicas para diversos contextos geométricos y teóricos de grupos ( álgebra de Lie , grupo de Lie , espacio simétrico , etc.). Para cada una de estas formas de definir grupos Weyl, existe un teorema (generalmente no trivial) de que se trata de un grupo Weyl en el sentido de la definición al principio de este artículo, es decir, el grupo Weyl de algún sistema de raíces asociado con el objeto. La realización concreta de tal grupo de Weyl generalmente depende de una elección: por ejemplo, la subálgebra de Cartan para un álgebra de Lie, o el toro máximo para un grupo de Lie. ^[5]

El grupo Weyl de un grupo de Lie compacto conectado

Sea un grupo de Lie compacto conectado y sea un toro máximo en . Luego introducimos el normalizador de in , denotado y definido como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N(T)}$

${\displaystyle N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

También definimos el centralizador de in , denotado y definido como ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Z(T)}$

${\displaystyle Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

El grupo Weyl de (en relación con el toro máximo dado ) se define inicialmente como ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle W=N(T)/T}$.

Finalmente, se demuestra que , ^[6] momento en el que se tiene una descripción alternativa del grupo Weyl como ${\displaystyle Z(T)=T}$

${\displaystyle W=N(T)/Z(T)}$.

Ahora se puede definir un sistema raíz asociado al par ; las raíces son los pesos distintos de cero de la acción adjunta de sobre el álgebra de Lie de . Para cada uno se puede construir un elemento cuya acción tenga la forma de reflexión. ^[7] Con un poco más de esfuerzo, se puede demostrar que estos reflejos generan todos . ^[6] Por lo tanto, al final, el grupo Weyl definido como o es isomorfo al grupo Weyl del sistema de raíces . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (K,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle x_{\alpha }}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle N(T)/Z(T)}$ ${\displaystyle N(T)/T}$ ${\displaystyle N(T)/Z(T)}$ ${\displaystyle \Phi }$

En otros entornos

Para un álgebra de Lie compleja semisimple, el grupo de Weyl se define simplemente como el grupo de reflexión generado por reflexiones en las raíces: la realización específica del sistema de raíces depende de la elección de la subálgebra de Cartan .

Para un grupo de Lie G que satisface ciertas condiciones, ^{[nota 1]} dado un toro T < G (que no necesita ser máximo), el grupo Weyl con respecto a ese toro se define como el cociente del normalizador del toro N = N ( T ) = N _G ( T ) por el centralizador del toro Z = Z ( T ) = Z _G ( T ),

${\displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T).\ }$

El grupo W es finito – Z es de índice finito en N. Si T = T ₀ es un toro máximo (por lo que es igual a su propio centralizador: ), entonces el cociente resultante N / Z = N / T se llama grupo Weyl de G y se denota W ( G ). Tenga en cuenta que el conjunto de cocientes específico depende de la elección del toro máximo , pero los grupos resultantes son todos isomórficos (por un automorfismo interno de G ), ya que los toros máximos son conjugados. ${\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}}$

Si G es compacto y conexo, y T es un toro máximo , entonces el grupo Weyl de G es isomorfo al grupo Weyl de su álgebra de Lie, como se analizó anteriormente.

Por ejemplo, para el grupo lineal general GL, un toro máximo es el subgrupo D de matrices diagonales invertibles, cuyo normalizador son las matrices de permutación generalizadas (matrices en forma de matrices de permutación , pero con números distintos de cero en lugar de ' 1's), y cuyo grupo Weyl es el grupo simétrico . En este caso , el mapa de cocientes N → N / T se divide (a través de las matrices de permutación), por lo que el normalizador N es un producto semidirecto del toro y el grupo Weyl, y el grupo Weyl se puede expresar como un subgrupo de G. En general, este no es siempre el caso: el cociente no siempre se divide, el normalizador N no siempre es el producto semidirecto de W y Z, y el grupo de Weyl no siempre puede realizarse como un subgrupo de G. ^[5]

Descomposición de Bruhat

Si B es un subgrupo de Borel de G , es decir, un subgrupo soluble máximo conectado y se elige un toro máximo T = T _{0 para que se encuentre en} B , entonces obtenemos la descomposición de Bruhat.

${\displaystyle G=\bigcup _{w\in W}BwB}$

lo que da lugar a la descomposición de la variedad bandera G / B en células de Schubert (ver Grassmanniano ).

La estructura del diagrama de Hasse del grupo está relacionada geométricamente con la cohomología de la variedad (más bien, de las formas reales y complejas del grupo), que está limitada por la dualidad de Poincaré . Por tanto, las propiedades algebraicas del grupo Weyl corresponden a propiedades topológicas generales de las variedades. Por ejemplo, la dualidad de Poincaré proporciona un emparejamiento entre celdas en la dimensión k y en la dimensión n - k (donde n es la dimensión de una variedad): la celda dimensional inferior (0) corresponde al elemento de identidad del grupo Weyl, y la dual La celda de dimensión superior corresponde al elemento más largo de un grupo de Coxeter .

Analogía con grupos algebraicos

Hay una serie de analogías entre los grupos algebraicos y los grupos de Weyl; por ejemplo, el número de elementos del grupo simétrico es n !, y el número de elementos del grupo lineal general en un campo finito está relacionado con el factorial q ; por tanto, el grupo simétrico se comporta como si fuera un grupo lineal sobre "el campo con un elemento". Esto se formaliza mediante el campo con un elemento , que considera los grupos de Weyl como grupos algebraicos simples sobre el campo con un elemento. ${\displaystyle [n]_{q}!}$

Cohomología

Para un grupo de Lie compacto conectado no abeliano G, la cohomología del primer grupo del grupo Weyl W con coeficientes en el toro máximo T utilizado para definirlo, ^{[nota 2]} está relacionada con el grupo de automorfismo externo del normalizador como: ^{[8 ]} ${\displaystyle N=N_{G}(T),}$

${\displaystyle \operatorname {Out} (N)\cong H^{1}(W;T)\rtimes \operatorname {Out} (G).}$

Los automorfismos externos del grupo Out ( G ) son esencialmente los automorfismos del diagrama del diagrama de Dynkin , mientras que la cohomología del grupo se calcula en Hämmerli, Matthey y Suter 2004 y es un grupo 2 abeliano elemental finito ( ); para grupos de Lie simples tiene orden 1, 2 o 4. La cohomología de los grupos 0 y 2 también están estrechamente relacionadas con el normalizador. ^[8] ${\displaystyle (\mathbf {Z} /2)^{k}}$

Ver también

• Grupo Weyl afín
• Álgebra de Lie semisimple # Subálgebras de Cartan y sistemas de raíces
• toro máximo
• Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple
• diagrama de hasse

Notas a pie de página

Notas

1. Son suficientes diferentes condiciones, más simplemente si G es conexo y compacto o un grupo algebraico afín. La definición es más simple para un grupo de Lie semisimple (o más generalmente reductivo) sobre un campo algebraicamente cerrado , pero se puede definir un grupo de Weyl relativo para un grupo de Lie dividido .
2. W actúa sobre T - así se define - y el grupo significa "con respecto a esta acción". ${\displaystyle H^{1}(W;T)}$

Citas

1. Humphreys 1992, pag. 6.
2. Salón 2015 Proposiciones 8.23 ​​y 8.27
3. Propuesta 8.29 del Salón 2015
4. Propuestas del Salón 2015 8.24
5. Popov y Fedenko 2001 harvnb error: no target: CITEREFPopovFedenko2001 (help)
6. teorema 11.36 de Hall 2015
7. Propuestas del Salón 2015 11.35
8. Hämmerli, Matthey y Suter 2004

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Hämmerli, J.-F.; Matthey, M.; Suter, U. (2004), "Automorfismos de normalizadores de Tori máximo y primera cohomología de grupos de Weyl" (PDF) , Journal of Lie Theory , 14 , Heldermann Verlag: 583–617, Zbl  1092.22004
• Humphreys, James E. (1992) [1990], Grupos de reflexión y grupos Coxeter, Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 29, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl  0725.20028
• Popov, VL ; Fedenko, AS (2001) [1994], "Grupo Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Otras lecturas

• Bourbaki, Nicolas (2002), Grupos de mentiras y álgebras de mentiras: capítulos 4 a 6, elementos de matemáticas, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl  0983.17001
• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de grupos de Coxeter, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl  1110.05001
• Coxeter, HSM (1934), "Grupos discretos generados por reflexiones", Ann. de Matemáticas. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX  10.1.1.128.471 , doi :10.2307/1968753, JSTOR  1968753
• Coxeter, HSM (1935), "La enumeración completa de grupos finitos de la forma ", J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21–25, doi :10.1112/jlms/s1-10.37.21 ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
• Davis, Michael W. (2007), Geometría y topología de los grupos Coxeter (PDF) , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl  1142.20020
• Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Grupos de reflexión finitos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
• Hiller, Howard (1982), Geometría de grupos de Coxeter, Notas de investigación en matemáticas, vol. 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl  0483.57002
• Howlett, Robert B. (1988), "Sobre los multiplicadores de Schur de los grupos Coxeter", J. London Math. Soc. , 2, 38 (2): 263–276, doi :10.1112/jlms/s2-38.2.263, Zbl  0627.20019
• Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de grupos de reflexión finitos" (PDF) , J. Fac. Ciencia. Univ. Tokio, sec. 1 , 11 : 155–171, Zbl  0136.28802
• Kane, Richard (2001), Grupos de reflexión y teoría invariante, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl  0986.20038
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras: más allá de una introducción , Progreso en matemáticas, vol. 140 (2ª ed.), Birkhaeuser, ISBN 978-0-8176-4259-4
• Vinberg, EB (1984), "Ausencia de grupos cristalográficos de reflexiones en espacios de Lobachevski de gran dimensión", Trudy Moskov. Estera. Obshch. , 47
• Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de infinitos grupos de reflexión discretos", J. Fac. Ciencia. Univ. Tokio, sec. 1 , 11 : 173–186, hdl : 2261/6049, Zbl  0136.28803

enlaces externos

• "Grupo Coxeter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Grupo Coxeter". MundoMatemático .
• Software Jenn para visualizar los gráficos de Cayley de grupos finitos de Coxeter en hasta cuatro generadores