Función de longitud

En el campo matemático de la teoría de grupos geométricos , una función de longitud es una función que asigna un número a cada elemento de un grupo .

Definición

Una función de longitud L  :  G  →  R ⁺ en un grupo G es una función que satisface: ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{aligned}}}$

Compárese con los axiomas para una métrica y un álgebra filtrada .

Métrica de palabras

Un ejemplo importante de longitud es la palabra métrica : dada una presentación de un grupo por generadores y relaciones, la longitud de un elemento es la longitud de la palabra más corta que lo expresa.

Los grupos de Coxeter (incluido el grupo simétrico ) tienen funciones de longitud combinatorias importantes, que utilizan las reflexiones simples como generadores (por lo tanto, cada reflexión simple tiene una longitud de 1). Véase también: longitud de un elemento del grupo de Weyl .

Un elemento más largo de un grupo de Coxeter es importante y único hasta la conjugación (hasta diferentes elecciones de reflexiones simples).

Propiedades

Un grupo con una función de longitud no forma un grupo filtrado , lo que significa que los conjuntos de subniveles no forman subgrupos en general. ${\displaystyle S_{i}:=\{g\mid L(g)\leq i\}}$

Sin embargo, el álgebra de grupo de un grupo con funciones de longitud forma un álgebra filtrada : el axioma corresponde al axioma de filtración. ${\displaystyle L(gh)\leq L(g)+L(h)}$

Referencias

1. Lyndon, Roger C. (1963), "Funciones de longitud en grupos", Mathematica Scandinavica , 12 : 209–234, doi :10.7146/math.scand.a-10684, JSTOR  24489388, MR  0163947
2. Harrison, Nancy (1972), "Funciones de longitud real en grupos", Transactions of the American Mathematical Society , 174 : 77–106, doi :10.2307/1996098, MR  0308283
3. Chiswell, IM (1976), "Funciones de longitud abstractas en grupos", Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge , 80 (3): 451–463, doi :10.1017/S0305004100053093, MR  0427480

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