Fórmula del carácter de Weyl

Teoría de la representación

En matemáticas , la fórmula de caracteres de Weyl en la teoría de la representación describe los caracteres de representaciones irreductibles de grupos compactos de Lie en términos de sus pesos más altos . ^[1] Fue demostrado por Hermann Weyl  (1925, 1926a, 1926b). Existe una fórmula estrechamente relacionada para el carácter de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple. ^[2] En el enfoque de Weyl sobre la teoría de la representación de grupos de Lie compactos conectados , la prueba de la fórmula del carácter es un paso clave para demostrar que cada elemento integral dominante en realidad surge como el peso más alto de alguna representación irreductible. ^[3] Consecuencias importantes de la fórmula de los caracteres son la fórmula de la dimensión de Weyl y la fórmula de la multiplicidad de Kostant .

Por definición, el carácter de una representación de G es la traza de , en función de un elemento del grupo . Las representaciones irreducibles en este caso son todas de dimensión finita (esto es parte del teorema de Peter-Weyl ); entonces la noción de traza es la habitual del álgebra lineal. El conocimiento del carácter proporciona mucha información sobre sí mismo. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

La fórmula de Weyl es una fórmula cerrada para el carácter , en términos de otros objetos construidos a partir de G y su álgebra de Lie . ${\displaystyle \chi }$

Declaración de la fórmula del carácter de Weyl

La fórmula del carácter se puede expresar en términos de representaciones de álgebras de Lie complejas semisimples o en términos de la teoría de representación (esencialmente equivalente) de grupos de Lie compactos .

Álgebras de Lie complejas semisimples

Sea una representación irreducible y de dimensión finita de un álgebra de Lie compleja semisimple . Supongamos que es una subálgebra de Cartan de . El carácter de es entonces la función definida por ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}$

El valor del carácter en es la dimensión de . Por consideraciones elementales, el carácter puede calcularse como ${\displaystyle H=0}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}}$,

donde la suma abarca todos los pesos de y donde es la multiplicidad de . (La expresión anterior a veces se toma como la definición del personaje). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

La fórmula de caracteres establece ^[4] que también se puede calcular como ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

dónde

• ${\displaystyle W}$es el grupo Weyl ;
• ${\displaystyle \Delta ^{+}}$es el conjunto de las raíces positivas del sistema radicular ; ${\displaystyle \Delta }$
• ${\displaystyle \rho }$es la mitad de la suma de las raíces positivas, a menudo llamado vector de Weyl ;
• ${\displaystyle \lambda }$es el peso más alto de la representación irreductible ; ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \varepsilon (w)}$es el determinante de la acción de sobre la subálgebra de Cartan . Esto es igual a , donde es la longitud del elemento del grupo Weyl , definido como el número mínimo de reflexiones con respecto a raíces simples tales que es igual al producto de esas reflexiones. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}$ ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle w}$

Discusión

Usando la fórmula del denominador de Weyl (descrita a continuación), la fórmula del carácter se puede reescribir como

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$,

o equivalente,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}$

El carácter es en sí mismo una gran suma de exponenciales. En esta última expresión, luego multiplicamos el carácter por una suma alterna de exponenciales, lo que aparentemente dará como resultado una suma de exponenciales aún mayor. La parte sorprendente de la fórmula de caracteres es que cuando calculamos este producto, en realidad sólo queda una pequeña cantidad de términos. Muchos más términos que este aparecen al menos una vez en el producto del carácter y el denominador de Weyl, pero la mayoría de estos términos se anulan en cero. ^[5] Los únicos términos que sobreviven son los términos que ocurren solo una vez, es decir (que se obtiene tomando el peso más alto y el peso más alto del denominador de Weyl) y cosas en la órbita del grupo Weyl de . ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}$ ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$

Grupos de mentira compacta

Sea un grupo de Lie compacto y conectado y sea un toro máximo en . Sea una representación irreductible de . Luego definimos el carácter de como la función. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}$

Se ve fácilmente que el carácter es una función de clase en y el teorema de Peter-Weyl afirma que los caracteres forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado en . ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Como es una función de clase, está determinada por su restricción a . Ahora, en el álgebra de Lie de , tenemos ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})}$,

donde está la representación asociada del álgebra de Lie de . Por tanto, la función es simplemente el carácter de la representación asociada de , como se describe en la subsección anterior. La restricción del carácter de a viene dada entonces por la misma fórmula que en el caso del álgebra de Lie: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}$

La prueba de Weyl de la fórmula de caracteres en el entorno de grupo compacto es completamente diferente de la prueba algebraica de la fórmula de caracteres en el entorno de álgebras de Lie semisimples. ^[7] En el entorno de grupo compacto, es común utilizar "raíces reales" y "pesos reales", que difieren en un factor de de las raíces y pesos utilizados aquí. Por lo tanto, la fórmula en el entorno del grupo compacto tiene factores de en el exponente en todo momento. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

El caso SU(2)

En el caso del grupo SU(2), considere la representación irreducible de la dimensión . Si tomamos como subgrupo diagonal de SU(2), la fórmula del carácter en este caso dice ^[8] ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(Tanto el numerador como el denominador en la fórmula de caracteres tienen dos términos). Es instructivo verificar esta fórmula directamente en este caso, de modo que podamos observar el fenómeno de cancelación implícito en la fórmula de caracteres de Weyl.

Dado que las representaciones se conocen muy explícitamente, el carácter de la representación se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

Mientras tanto, el denominador de Weyl es simplemente la función . Multiplicar el carácter por el denominador de Weyl da ${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}$

Ahora podemos verificar fácilmente que la mayoría de los términos se cancelan entre los dos términos del lado derecho de arriba, dejándonos solo con

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}$

de modo que

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

El carácter en este caso es una serie geométrica con y el argumento anterior es una pequeña variante de la derivación estándar de la fórmula para la suma de una serie geométrica finita. ${\displaystyle R=e^{2i\theta }}$

Fórmula del denominador de Weyl

En el caso especial de la representación trivial unidimensional, el carácter es 1, por lo que la fórmula del carácter de Weyl se convierte en la fórmula del denominador de Weyl : ^[9]

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}$

Para grupos unitarios especiales, esto equivale a la expresión

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

para el determinante de Vandermonde . ^[10]

Fórmula de dimensión de Weyl

Al evaluar el carácter en , la fórmula del carácter de Weyl da la fórmula de dimensión de Weyl ${\displaystyle H=0}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

para la dimensión de una representación de dimensión finita con mayor peso . (Como de costumbre, ρ es la mitad de la suma de las raíces positivas y los productos de las raíces positivas α.) La especialización no es del todo trivial, porque tanto el numerador como el denominador de la fórmula del carácter de Weyl desaparecen en orden superior en el elemento de identidad, por lo que es necesario tomar un límite de la traza de un elemento tendiente a la identidad, utilizando una versión de la regla de L'Hôpital . ^[11] En el caso SU(2) descrito anteriormente, por ejemplo, podemos recuperar la dimensión de la representación utilizando la regla de L'Hôpital para evaluar el límite cuando tiende a cero de . ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

Podemos considerar como ejemplo el álgebra de Lie compleja semisimple sl(3, C ), o equivalentemente el grupo compacto SU(3). En ese caso, las representaciones están etiquetadas por un par de números enteros no negativos. En este caso, hay tres raíces positivas y no es difícil verificar que la fórmula de la dimensión toma la forma explícita ^[12] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

El caso es la representación estándar y, de hecho, la fórmula de dimensión da el valor 3 en este caso. ${\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}$

Fórmula de multiplicidad de Kostant

La fórmula de caracteres de Weyl da el carácter de cada representación como un cociente, donde el numerador y el denominador son cada uno una combinación lineal finita de exponenciales. Si bien esta fórmula determina en principio el carácter, no es especialmente obvio cómo se puede calcular este cociente explícitamente como una suma finita de exponenciales. Ya en el caso SU(2) descrito anteriormente, no es inmediatamente obvio cómo pasar de la fórmula del carácter de Weyl, que devuelve el carácter a la fórmula del carácter como una suma de exponenciales: ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

En este caso, tal vez no sea muy difícil reconocer la expresión como la suma de una serie geométrica finita, pero en general necesitamos un procedimiento más sistemático. ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

En general, el proceso de división se puede lograr calculando un recíproco formal del denominador de Weyl y luego multiplicando el numerador en la fórmula de caracteres de Weyl por este recíproco formal. ^[13] El resultado da el carácter como una suma finita de exponenciales. Los coeficientes de esta expansión son las dimensiones de los espacios de peso, es decir, las multiplicidades de los pesos. De la fórmula de los caracteres de Weyl obtenemos así una fórmula para las multiplicidades de los pesos, conocida como fórmula de multiplicidad de Kostant . En la siguiente sección se ofrece una fórmula alternativa, que en algunos casos es más manejable desde el punto de vista computacional.

La fórmula de Freudenthal.

La fórmula de Hans Freudenthal es una fórmula recursiva para las multiplicidades de peso que da la misma respuesta que la fórmula de multiplicidad de Kostant, pero a veces es más fácil de usar para los cálculos ya que puede haber muchos menos términos para sumar. La fórmula se basa en el uso del elemento Casimir y su derivación es independiente de la fórmula del carácter. Dice ^[14]

${\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

dónde

• Λ es el peso más alto,
• λ es algún otro peso,
• m _Λ (λ) es la multiplicidad del peso λ en la representación irreducible V _Λ
• ρ es el vector de Weyl
• La primera suma es sobre todas las raíces positivas α.

Fórmula de caracteres de Weyl-Kac

La fórmula de caracteres de Weyl también es válida para representaciones integrables de mayor peso de las álgebras de Kac-Moody , cuando se la conoce como fórmula de caracteres de Weyl-Kac . De manera similar, existe una identidad de denominador para las álgebras de Kac-Moody, que en el caso de las álgebras de Lie afines es equivalente a las identidades de Macdonald . En el caso más simple del álgebra de Lie afín de tipo A _1, esta es la identidad del triple producto de Jacobi.

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}$

La fórmula del carácter también se puede extender a representaciones integrables de mayor peso de álgebras generalizadas de Kac-Moody , cuando el carácter viene dado por

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Aquí S es un término de corrección dado en términos de raíces simples imaginarias por

${\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}$

donde la suma abarca todos los subconjuntos finitos I de las raíces simples imaginarias que son ortogonales por pares y ortogonales al peso más alto λ, y |I| es la cardinalidad de I y Σ I es la suma de los elementos de I .

La fórmula del denominador para el álgebra de Lie del monstruo es la fórmula del producto.

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

para la función modular elíptica j .

Peterson dio una fórmula recursiva para las multiplicidades mult(β) de las raíces β de un álgebra de Kac-Moody simetrizable (generalizada), que es equivalente a la fórmula del denominador de Weyl-Kac, pero más fácil de usar para los cálculos:

${\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}$

donde la suma es sobre raíces positivas γ, δ y

${\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}$

Fórmula de personajes de Harish-Chandra

Harish-Chandra demostró que la fórmula del carácter de Weyl admite una generalización a representaciones de un grupo real y reductivo . Supongamos que es una representación irreducible y admisible de un grupo reductivo real G con carácter infinitesimal . Sea el personaje Harish-Chandra de ; viene dado por la integración frente a una función analítica en el conjunto regular. Si H es un subgrupo de Cartan de G y H' es el conjunto de elementos regulares en H, entonces ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Theta _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Aquí

• W es el complejo grupo de Weyl con respecto a ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle W_{\lambda }}$es el estabilizador de en W ${\displaystyle \lambda }$

y el resto de la notación es como arriba.

Los coeficientes aún no se comprenden bien. Los resultados sobre estos coeficientes se pueden encontrar en artículos de Herb , Adams, Schmid y Schmid-Vilonen, entre otros. ${\displaystyle a_{w}}$

Ver también

• Teoría del personaje
• Carácter algebraico
• Fórmula del personaje demazure
• Fórmula de integración de Weyl
• Fórmula del personaje de Kirillov

Referencias

1. Salón 2015 Sección 12.4.
2. Salón 2015 Sección 10.4.
3. Salón 2015 Sección 12.5.
4. Teorema 10.14 de Hall 2015
5. Salón 2015 Sección 10.4.
6. Salón 2015 Sección 12.3
7. Consulte la Sección 10.8 de Hall 2015 en la configuración de álgebra de Lie y la Sección 12.4 en la configuración de grupo compacto
8. Salón 2015 Ejemplo 12.23
9. Salón 2015 Lema 10.28.
10. Hall 2015 Ejercicio 9 en el Capítulo 10.
11. Salón 2015 Sección 10.5.
12. Salón 2015 Ejemplo 10.23
13. Salón 2015 Sección 10.6
14. Humphreys 1972 Sección 22.3

• Fulton, William y Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN  0387974954 . OCLC 22861245. ^[1]
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Álgebras de Lie de dimensión infinita , VG Kac, ISBN 0-521-37215-1 
• Duncan J. Melville (2001) [1994], "Fórmula de caracteres de Weyl-Kac", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift , 23 , Springer Berlin / Heidelberg: 271–309, doi :10.1007/BF01506234, ISSN  0025-5874, S2CID  123145812
• Weyl, Hermann (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II", Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 328–376,  doi : 10.1007/BF01216788, ISSN  0025-5874, 186229448
• Weyl, Hermann (1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III", Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 377–395,  doi : 10.1007/BF01216789, ISSN  0025-5874, 186232780

1. Fulton, William, 1939- (1991). Teoría de la representación: un primer curso . Harris, Joe, 1951-. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954. OCLC  22861245.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)