Carácter algebraico

Un carácter algebraico es una expresión formal adjunta a un módulo en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples que generaliza el carácter de una representación de dimensión finita y es análogo al carácter de Harish-Chandra de las representaciones de grupos de Lie semisimples .

Definición

Sea un álgebra de Lie semisimple con una subálgebra de Cartan fija y deje que el grupo abeliano consista en las combinaciones lineales integrales formales (posiblemente infinitas) de , donde , el espacio vectorial (complejo) de pesos. Supongamos que es un módulo de peso localmente finito . Entonces el carácter algebraico de es un elemento de definido por la fórmula: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}},}$ ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [[{\mathfrak {h}}^{*}]]}$ ${\displaystyle e^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle ch(V)=\sum _{\mu }\dim V_{\mu }e^{\mu },}$

donde la suma se toma sobre todos los espacios de peso del módulo ${\displaystyle V.}$

Ejemplo

El carácter algebraico del módulo Verma con mayor peso viene dado por la fórmula ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle ch(M_{\lambda })={\frac {e^{\lambda }}{\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}},}$

con el producto asumiendo el conjunto de raíces positivas.

Propiedades

Los caracteres algebraicos se definen para módulos de peso localmente finitos y son aditivos , es decir, el carácter de una suma directa de módulos es la suma de sus caracteres. Por otro lado, aunque se puede definir la multiplicación de los exponentes formales mediante la fórmula y extenderla a sus combinaciones lineales finitas mediante linealidad, esto no forma un anillo, debido a la posibilidad de sumas formales infinitas. Así, el producto de caracteres algebraicos está bien definido sólo en situaciones restringidas; por ejemplo, para el caso de un módulo de mayor peso , o un módulo de dimensiones finitas. En buenas situaciones, el carácter algebraico es multiplicativo , es decir, el carácter del producto tensorial de dos módulos de peso es el producto de sus caracteres. ${\displaystyle e^{\mu }\cdot e^{\nu }=e^{\mu +\nu }}$ ${\displaystyle A}$

Generalización

Los caracteres también se pueden definir casi palabra por palabra para módulos de peso sobre un álgebra Kac-Moody o Kac-Moody Lie generalizada .

Ver también

• Representación algebraica
• Fórmula del carácter de Weyl-Kac

Referencias

• Weyl, Hermann (1946). Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-05756-7. Consultado el 26 de marzo de 2007 .
• Kac, Víctor G (1990). Álgebras de mentira de dimensión infinita. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-46693-8. Consultado el 26 de marzo de 2007 .
• Wallach, Nolan R; Goodman, huevas (1998). Representaciones e Invariantes de los Grupos Clásicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-66348-2. Consultado el 26 de marzo de 2007 .