Álgebra de Kac-Moody

Álgebra de Lie que puede definirse mediante generadores y relaciones a través de una matriz de Cartan generalizada

En matemáticas , un álgebra de Kac-Moody (nombrada así por Victor Kac y Robert Moody , quienes las descubrieron independientemente y simultáneamente en 1968 ^[1] ) es un álgebra de Lie , generalmente de dimensión infinita, que puede definirse por generadores y relaciones a través de una matriz de Cartan generalizada . Estas álgebras forman una generalización de las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita , y muchas propiedades relacionadas con la estructura de un álgebra de Lie, como su sistema de raíces , representaciones irreducibles y conexión con variedades de banderas , tienen análogos naturales en el contexto de Kac-Moody.

Una clase de álgebras de Kac-Moody llamadas álgebras de Lie afines es de particular importancia en matemáticas y física teórica , especialmente la teoría de campos conformes bidimensionales y la teoría de modelos exactamente solucionables . Kac descubrió una elegante prueba de ciertas identidades combinatorias, las identidades de Macdonald , que se basa en la teoría de representación de las álgebras de Kac-Moody afines. Howard Garland y James Lepowsky demostraron que las identidades de Rogers-Ramanujan pueden derivarse de manera similar. ^[2]

Historia de las álgebras de Kac-Moody

La construcción inicial de Élie Cartan y Wilhelm Killing de álgebras de Lie simples de dimensión finita a partir de los números enteros de Cartan dependía del tipo. En 1966, Jean-Pierre Serre demostró que las relaciones de Claude Chevalley y Harish-Chandra , ^[3] con simplificaciones de Nathan Jacobson , ^[4] dan una presentación definitoria para el álgebra de Lie . ^[5] Por lo tanto, se podría describir un álgebra de Lie simple en términos de generadores y relaciones utilizando datos de la matriz de números enteros de Cartan, que es naturalmente definida positiva .

"Casi simultáneamente, en 1967, Victor Kac en la URSS y Robert Moody en Canadá desarrollaron lo que se convertiría en el álgebra de Kac-Moody. Kac y Moody se dieron cuenta de que si se relajaban las condiciones de Wilhelm Killing , todavía era posible asociar a la matriz de Cartan un álgebra de Lie que, necesariamente, sería de dimensión infinita". – AJ Coleman ^[6]

En su tesis de 1967, Robert Moody consideró álgebras de Lie cuya matriz de Cartan ya no es definida positiva. ^{[7] [8]} Esto dio lugar a un álgebra de Lie, pero ahora de dimensión infinita. Simultáneamente, se estudiaban álgebras de Lie de grado Z en Moscú, donde IL Kantor introdujo y estudió una clase general de álgebras de Lie que incluían lo que finalmente se conocería como álgebras de Kac-Moody. ^[9] Victor Kac también estaba estudiando álgebras de Lie simples o casi simples con crecimiento polinomial. Se desarrolló una rica teoría matemática de álgebras de Lie de dimensión infinita. En (Kac 1990) se ofrece una descripción del tema, que también incluye trabajos de muchos otros. ^[10] Véase también (Seligman 1987). ^[11]

Introducción

Dada una matriz de Cartan generalizada n × n , se puede construir un álgebra de Lie definida por los generadores , , y y relaciones dadas por: ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$

• ${\displaystyle \left[h_{i},h_{j}\right]=0\ }$para todos ; ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$
• ${\displaystyle \left[h_{i},e_{j}\right]=c_{ij}e_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[h_{i},f_{j}\right]=-c_{ij}f_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}h_{i}}$, ¿dónde está el delta del Kronecker? ${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Si (así ) entonces y , donde es la representación adjunta de . ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Bajo un supuesto de "simetrización", se identifica con el subálgebra derivada del álgebra afín de Kac-Moody definida a continuación. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)=[{\mathfrak {g}}(C),{\mathfrak {g}}(C)]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)}$

Definición

Supongamos que se nos da una matriz de Cartan generalizada C = ( c _ij ) de rango r . Para cada una de estas , existe una única realización hasta el isomorfismo de , es decir, una triple ) donde es un espacio vectorial complejo, es un subconjunto de elementos de , y es un subconjunto del espacio dual que satisface las tres condiciones siguientes: ^[13] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {h}},\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n},\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

1. El espacio vectorial tiene dimensión 2 n  −  r ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
2. Los conjuntos y son linealmente independientes y ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$
3. Para cada . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\alpha _{i}\left(\alpha _{j}^{\vee }\right)=C_{ji}}$

Son análogas a las raíces simples de un álgebra de Lie semisimple, y a las co-raíces simples. ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$

Luego definimos el álgebra de Kac-Moody asociada a como el álgebra de Lie definida por los generadores y y los elementos de y relaciones ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle \left[h,h'\right]=0\ }$para ; ${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,e_{i}\right]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, para ; ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,f_{i}\right]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, para ; ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, ¿dónde está el delta del Kronecker? ${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Si (así ) entonces y , donde es la representación adjunta de . ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un álgebra de Lie real (posiblemente de dimensión infinita) también se considera un álgebra de Kac-Moody si su complejización es un álgebra de Kac-Moody.

Descomposición en el espacio de raíces de un álgebra de Kac-Moody

${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es el análogo de un subálgebra de Cartan para el álgebra de Kac-Moody . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es un elemento de tal que ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

Para algunos , entonces se denomina vector raíz y es una raíz de . (El funcional cero no se considera una raíz por convención). El conjunto de todas las raíces de a menudo se denota por y a veces por . Para una raíz dada , se denota por el espacio raíz de ; es decir, ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

Se deduce de las relaciones definitorias de que y . Además, si y , entonces por la identidad de Jacobi . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$ ${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle \left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

Un resultado fundamental de la teoría es que cualquier álgebra de Kac-Moody se puede descomponer en la suma directa de y sus espacios raíz, es decir ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$,

y que toda raíz puede escribirse como siendo todos los números enteros del mismo signo . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

Tipos de álgebras de Kac-Moody

Las propiedades de un álgebra de Kac-Moody están controladas por las propiedades algebraicas de su matriz de Cartan generalizada C . Para clasificar las álgebras de Kac-Moody, basta considerar el caso de una matriz indescomponible C , es decir, suponer que no hay descomposición del conjunto de índices I en una unión disjunta de subconjuntos no vacíos I ₁ e I ₂ tal que C _ij = 0 para todo i en I ₁ y j en I ₂ . Cualquier descomposición de la matriz de Cartan generalizada conduce a la descomposición por suma directa del álgebra de Kac-Moody correspondiente:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right),}$

donde las dos álgebras de Kac-Moody en el lado derecho están asociadas con las submatrices de C correspondientes a los conjuntos de índices I ₁ e I ₂ .

Una subclase importante de las álgebras de Kac-Moody corresponde a las matrices de Cartan generalizadas simetrizables C , que se pueden descomponer como DS , donde D es una matriz diagonal con entradas enteras positivas y S es una matriz simétrica . Bajo los supuestos de que C es simetrizable e indescomponible, las álgebras de Kac-Moody se dividen en tres clases:

• Una matriz definida positiva S da lugar a un álgebra de Lie simple de dimensión finita .
• Una matriz semidefinida positiva S da lugar a un álgebra de Kac-Moody de dimensión infinita de tipo afín , o un álgebra de Lie afín .
• Una matriz indefinida S da lugar a un álgebra de Kac-Moody de tipo indefinido .
• Dado que las entradas diagonales de C y S son positivas, S no puede ser definida negativa o semidefinida negativa.

Las matrices de Cartan generalizadas indecomponibles simetrizables de tipo finito y afín han sido completamente clasificadas. Corresponden a los diagramas de Dynkin y a los diagramas de Dynkin afines . Se sabe poco sobre las álgebras de Kac-Moody de tipo indefinido, aunque los grupos correspondientes a estas álgebras de Kac-Moody fueron construidos sobre cuerpos arbitrarios por Jacques Tits. ^[14]

Entre las álgebras de Kac-Moody de tipo indefinido, la mayor parte del trabajo se ha centrado en aquellas de tipo hiperbólico , para las que la matriz S es indefinida, pero para cada subconjunto propio de I , la submatriz correspondiente es definida positiva o semidefinida positiva. Las álgebras hiperbólicas de Kac-Moody tienen rango como máximo 10, y han sido completamente clasificadas. ^[15] Hay infinitas de rango 2, y 238 de rangos entre 3 y 10 .

Véase también

• Fórmula de caracteres de Weyl-Kac
• Álgebra generalizada de Kac-Moody
• Módulo integrable
• Monstruosa luz de luna

Citas

1. Zhe-xian 1991, Prefacio.
2. (?) Garland, H.; Lepowsky, J. (1976). "Homología del álgebra de Lie y fórmulas de Macdonald–Kac". Invent. Math. 34 (1): 37–76. Bibcode :1976InMat..34...37G. doi :10.1007/BF01418970. S2CID  122385055.
3. Harish-Chandra (1951). "Sobre algunas aplicaciones del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple". Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1): 28–96. doi : 10.1090/S0002-9947-1951-0044515-0 . JSTOR  1990524.
4. Jacobson, N. (1962). Álgebras de Lie . Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Vol. 10. Nueva York-Londres: Interscience Publishers (una división de John Wiley & Sons).
5. Serre, J.-P. (1966). Complejos semisimples de Algèbres de Lie (en francés). Nueva York-Ámsterdam: WA Benjamin.
6. Coleman, A. John, "El artículo matemático más grande de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer, vol. 11, núm. 3, págs. 29–38.
7. Moody, RV (1967). "Álgebras de Lie asociadas con matrices de Cartan generalizadas" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 73 (2): 217–222. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11688-4 .
8. Moody 1968, Una nueva clase de álgebras de Lie
9. Kantor, IL (1970). "Álgebras de Lie graduadas". Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Anal. (en ruso). 15 : 227–266.
10. Kac, 1990
11. Seligman, George B. (1987). "Reseña de libro: Álgebras de Lie de dimensión infinita". Bull. Amer. Math. Soc . NS 16 (1): 144–150. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15492-9 .
12. Kac 1990, Álgebras de Lie de dimensión infinita, tercera edición
13. Kac 1990, Álgebras de Lie de dimensión infinita , Proposición 1.1
14. Tits, J. (1987). "Singularidad y presentación de grupos Kac–Moody sobre cuerpos". Journal of Algebra . 105 (2): 542–573. doi : 10.1016/0021-8693(87)90214-6 .
15. Carbone, L.; Chung, S.; Cobbs, C.; McRae, R.; Nandi, D.; Naqvi, Y.; Penta, D. (2010). "Clasificación de diagramas hiperbólicos de Dynkin, longitudes de raíces y órbitas del grupo de Weyl". J. Phys. A: Math. Theor. 43 (15): 155–209. arXiv : 1003.0564 . Código Bibliográfico :2010JPhA...43o5209C. doi :10.1088/1751-8113/43/15/155209. S2CID  16946456.

Referencias

• Berman, Stephen; Parshall, Karen Hunger (13 de enero de 2002). "Victor Kac y Robert Moody: sus caminos hacia las álgebras de Lie de Kac-Moody". The Mathematical Intelligencer . 24 : 50–60. doi :10.1007/BF03025312. S2CID  120670625.
• Robert V. Moody , Una nueva clase de álgebras de Lie , Journal of Algebra , 10 (1968), 211–230. doi :10.1016/0021-8693(68)90096-3 MR 0229687
• Victor Kac , Álgebras de Lie de dimensión infinita , 3.ª edición, Cambridge University Press (1990) ISBN 0-521-46693-8 [1] 
• Antony Wassermann , Notas de clase sobre las álgebras de Kac-Moody y Virasoro
• "Álgebra de Kac-Moody", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Victor G. Kac, Álgebras de Lie simples, irreducibles y graduadas de crecimiento finito Math. URSS Izv., 2 (1968) págs. 1271–1311, Izv. Akad. Nauk URSS Ser. Mat., 32 (1968) págs. 1923–1967
• Sthanumoorthy, N.; Misra, Kailash C., eds. (2004). Álgebras de Lie de Kac-Moody y temas relacionados . AMS . ISBN 0-8218-3337-5.
• Shrawan Kumar , Grupos Kac-Moody, sus variedades de banderas y teoría de la representación , 1.ª edición, Birkhäuser (2002). ISBN 3-7643-4227-7 . 
• Zhe-xian, Wan (1991). Introducción al álgebra de Kac-Moody . World Scientific . ISBN 981-02-0224-5.

Enlaces externos

• SIGMA: Número especial sobre álgebras de Kac-Moody y aplicaciones