Fórmula de integración de Weyl

Fórmula matemática

En matemáticas, la fórmula de integración de Weyl , introducida por Hermann Weyl , es una fórmula de integración para un grupo de Lie G compacto y conectado en términos de un toro máximo T. Precisamente, dice ^[1] existe una función continua de valor real u en T tal que para cada función de clase f en G :

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}f(t)u(t)\,dt.}$

Además, se da explícitamente como: ¿dónde está el grupo Weyl determinado por T y ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=|\delta |^{2}/\#W}$ ${\displaystyle W=N_{G}(T)/T}$

${\displaystyle \delta (t)=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right),}$

el producto que corre sobre las raíces positivas de G con respecto a T . De manera más general, si es solo una función continua, entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}\left(\int _{G}f(gtg^{-1})\,dg\right)u(t)\,dt.}$

La fórmula se puede utilizar para derivar la fórmula del carácter de Weyl . (La teoría de los módulos de Verma , por otro lado, proporciona una derivación puramente algebraica de la fórmula del carácter de Weyl).

Derivación

Considere el mapa

${\displaystyle q:G/T\times T\to G,\,(gT,t)\mapsto gtg^{-1}}$.

El grupo Weyl W actúa sobre T por conjugación y desde la izquierda por: para , ${\displaystyle G/T}$ ${\displaystyle nT\in W}$

${\displaystyle nT(gT)=gn^{-1}T.}$

Sea el cociente espacial de esta W -acción. Entonces, dado que la acción W es gratuita, el mapa del cociente ${\displaystyle G/T\times _{W}T}$ ${\displaystyle G/T}$

${\displaystyle p:G/T\times T\to G/T\times _{W}T}$

es un recubrimiento liso con fibra W cuando se restringe a puntos regulares. Ahora, le sigue y este último es un homeomorfismo en puntos regulares y también tiene grado uno. Por tanto, el grado de es y, mediante el cambio de fórmula de la variable, obtenemos: ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G/T\times _{W}T\to G}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \#W}$

${\displaystyle \#W\int _{G}f\,dg=\int _{G/T\times T}q^{*}(f\,dg).}$

Aquí, since es una función de clase. A continuación calculamos . Identificamos un espacio tangente a donde están las álgebras de Lie de . Para cada , ${\displaystyle q^{*}(f\,dg)|_{(gT,t)}=f(t)q^{*}(dg)|_{(gT,t)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q^{*}(dg)|_{(gT,t)}}$ ${\displaystyle G/T\times T}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}\oplus {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle G,T}$ ${\displaystyle v\in T}$

${\displaystyle q(gv,t)=gvtv^{-1}g^{-1}}$

y así, en , tenemos: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle d(gT\mapsto q(gT,t))({\dot {v}})=gtg^{-1}(gt^{-1}{\dot {v}}tg^{-1}-g{\dot {v}}g^{-1})=(\operatorname {Ad} (g)\circ (\operatorname {Ad} (t^{-1})-I))({\dot {v}}).}$

De manera similar vemos, en , . Ahora, podemos ver G como un subgrupo conexo de un grupo ortogonal (ya que es conexo compacto) y por tanto . Por eso, ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle d(t\mapsto q(gT,t))=\operatorname {Ad} (g)}$ ${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} (g))=1}$

${\displaystyle q^{*}(dg)=\det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})\,dg.}$

Para calcular el determinante, recordamos que donde y cada uno tiene dimensión uno. Por tanto, considerando los valores propios de , obtenemos: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }={\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }\oplus \oplus _{\alpha }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }\mid \operatorname {Ad} (t)x=e^{\alpha (t)}x,t\in T\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})}$

${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})=\prod _{\alpha >0}(e^{-\alpha (t)}-1)(e^{\alpha (t)}-1)=\delta (t){\overline {\delta (t)}},}$

ya que cada raíz tiene un valor imaginario puro. ${\displaystyle \alpha }$

Fórmula del carácter de Weyl

La fórmula del carácter de Weyl es una consecuencia de la fórmula integral de Weyl como sigue. Primero observamos que se puede identificar con un subgrupo de ; en particular, actúa sobre el conjunto de raíces, funcionales lineales sobre . Dejar ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }^{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle A_{\mu }=\sum _{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\mu )}}$

¿Dónde está la longitud de w ? Sea la red de pesos de G con respecto a T. La fórmula del carácter de Weyl dice entonces que: para cada carácter irreducible de , existe tal que ${\displaystyle l(w)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu \in \Lambda }$

${\displaystyle \chi |T\cdot \delta =A_{\mu }}$.

Para ver esto, primero observemos

1. ${\displaystyle \|\chi \|^{2}=\int _{G}|\chi |^{2}dg=1.}$
2. ${\displaystyle \chi |T\cdot \delta \in \mathbb {Z} [\Lambda ].}$

La propiedad (1) es precisamente (una parte de) las relaciones de ortogonalidad sobre caracteres irreducibles.

Referencias

1. Adams 1982, Teorema 6.1.

• Adams, JF (1982), Conferencias sobre grupos de mentiras, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00530-0
• Theodor Bröcker y Tammo tom Dieck, Representaciones de grupos compactos de Lie , Textos de Graduado en Matemáticas 98, Springer-Verlag, Berlín, 1995.