En matemáticas, un módulo de Demazure , introducido por Demazure (1974a, 1974b), es un submódulo de una representación de dimensión finita generada por un espacio de pesos extremo bajo la acción de una subálgebra de Borel . La fórmula del carácter de Demazure , introducida por Demazure (1974b, teorema 2), proporciona los caracteres de los módulos de Demazure y es una generalización de la fórmula del carácter de Weyl . La dimensión de un módulo de Demazure es un polinomio de mayor peso, llamado polinomio de Demazure .
Supongamos que g es un álgebra de Lie semisimple compleja, con una subálgebra de Borel b que contiene una subálgebra de Cartan h . Una representación irreducible de dimensión finita V de g se divide como una suma de espacios propios de h , y el espacio de peso más alto es unidimensional y es un espacio propio de b . El grupo de Weyl W actúa sobre los pesos de V , y los conjugados w λ del vector de mayor peso λ bajo esta acción son los pesos extremos, cuyos espacios de peso son todos unidimensionales.
Un módulo de Demazure es el submódulo b de V generado por el espacio de peso de un vector extremo w λ, por lo que los submódulos de Demazure de V están parametrizados por el grupo de Weyl W.
Hay dos casos extremos: si w es trivial , el módulo Demazure es solo unidimensional, y si w es el elemento de longitud máxima de W, entonces el módulo Demazure es la totalidad de la representación irreducible V.
Los módulos de Demazure se pueden definir de manera similar para las representaciones de mayor peso de las álgebras de Kac-Moody , excepto que ahora se tienen 2 casos, ya que se pueden considerar los submódulos generados por la subálgebra b de Borel o su subálgebra opuesta. En dimensiones finitas, estos se intercambian por el elemento más largo del grupo Weyl, pero este ya no es el caso en dimensiones infinitas porque no hay ningún elemento más largo.
La fórmula del carácter de Demazure fue introducida por (Demazure 1974b, teorema 2). Victor Kac señaló que la prueba de Demazure tiene un vacío serio, ya que depende de (Demazure 1974a, Proposición 11, sección 2), lo cual es falso; véase (Joseph 1985, sección 4) el contraejemplo de Kac. Andersen (1985) demostró la fórmula del carácter de Demazure utilizando el trabajo sobre la geometría de las variedades de Schubert de Ramanan y Ramanathan (1985) y Mehta y Ramanathan (1985). Joseph (1985) dio una prueba de módulos de mayor peso dominantes suficientemente grandes utilizando técnicas de álgebra de Lie. Kashiwara (1993) demostró una versión refinada de la fórmula del carácter de Demazure que Littelmann (1995) conjeturó (y demostró en muchos casos).
La fórmula del personaje Demazure es
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