triple producto jacobi

Identidad matemática encontrada por Jacobi en 1829

En matemáticas , el triple producto de Jacobi es la identidad:

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}$

para números complejos x e y , con | x | < 1 e y ≠ 0. Fue introducido por Jacobi  (1829) en su obra Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .

La identidad del triple producto de Jacobi es la identidad de Macdonald para el sistema de raíces afín de tipo A ₁ , y es la fórmula del denominador de Weyl para el álgebra afín de Kac-Moody correspondiente .

Propiedades

La prueba de Jacobi se basa en el teorema de los números pentagonales de Euler , que es en sí mismo un caso específico de la identidad del triple producto de Jacobi.

Deja y . Entonces nosotros tenemos ${\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Las identidades de Rogers-Ramanujan siguen con , y ,. ${\displaystyle x=q^{2}{\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle x=q^{2}{\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle y^{2}=-q{\sqrt {q}}}$

El Triple Producto de Jacobi también permite escribir la función theta de Jacobi como un producto infinito de la siguiente manera:

dejar y ${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle y=e^{i\pi z}.}$

Entonces la función theta de Jacobi

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}$

se puede escribir en la forma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.}$

Usando la identidad del triple producto de Jacobi, la función theta se puede escribir como el producto

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}$

Se utilizan muchas notaciones diferentes para expresar el triple producto de Jacobi. Adquiere una forma concisa cuando se expresa en términos de símbolos q -Pochhammer :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

¿Dónde está el infinito q -símbolo de Pochhammer? ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$

Goza de una forma particularmente elegante cuando se expresa en términos de la función theta de Ramanujan . Porque se puede escribir como ${\displaystyle |ab|<1}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

Prueba

Dejar ${\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{-2}\right)}$

Sustituyendo xy por y y multiplicando los nuevos términos se obtiene

${\displaystyle f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}$

Como es meromórfico para , tiene una serie de Laurent. ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle |y|>0}$

${\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}}$

que satisface

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}$

de modo que

${\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=\dots =c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}}$

evaluandoc 0 ( x )

Demostrar que (el polinomio de x de es 1 ) es técnico. Una forma es establecer y mostrar tanto el numerador como el denominador de ${\displaystyle c_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle y^{0}}$ ${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod \limits _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}}$

tienen un peso 1/2 modular bajo , dado que también son 1 periódicos y están acotados en el semiplano superior, el cociente debe ser constante para que . ${\displaystyle z\mapsto -{\frac {1}{4z}}}$ ${\displaystyle c_{0}(x)=c_{0}(0)=1}$

Otras pruebas

GE Andrews ofrece una prueba diferente basada en dos identidades de Euler. ^[1]

Para el caso analítico, consulte Apostol. ^[2]

Referencias

1. Andrews, George E. (1 de febrero de 1965). "Una sencilla prueba de la triple identidad del producto Jacobi". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 16 (2): 333. doi : 10.1090/S0002-9939-1965-0171725-X . ISSN  0002-9939.
2. Capítulo 14, teorema 14.6 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001

• Peter J. Cameron, Combinatoria: temas, técnicas, algoritmos, (1994) Cambridge University Press , ISBN 0-521-45761-0 
• Jacobi, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (en latín), Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reimpreso por Cambridge University Press 2012
• Carlitz , L (1962), Una nota sobre la fórmula theta de Jacobi, Sociedad Matemática Estadounidense
• Wright, EM (1965), "Una prueba enumerativa de una identidad de Jacobi", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Sociedad Matemática de Londres : 55–57, doi :10.1112/jlms/s1-40.1.55