Teoría del personaje

Concepto en teoría matemática de grupos.

En matemáticas , más concretamente en teoría de grupos , el carácter de una representación de grupo es una función sobre el grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente . El personaje lleva la información esencial sobre la representación de una forma más condensada. Georg Frobenius inicialmente desarrolló la teoría de la representación de grupos finitos basada enteramente en los personajes, y sin ninguna realización matricial explícita de las representaciones mismas. Esto es posible porque una representación compleja de un grupo finito está determinada (hasta el isomorfismo ) por su carácter. La situación de las representaciones sobre un campo de características positivas , las llamadas "representaciones modulares", es más delicada, pero Richard Brauer también desarrolló en este caso una poderosa teoría de los personajes. Muchos teoremas profundos sobre la estructura de grupos finitos utilizan caracteres de representaciones modulares .

Aplicaciones

Los caracteres de representaciones irreductibles codifican muchas propiedades importantes de un grupo y, por tanto, pueden utilizarse para estudiar su estructura. La teoría de caracteres es una herramienta esencial en la clasificación de grupos finitos simples . Cerca de la mitad de la demostración del teorema de Feit-Thompson implica cálculos complejos con valores de caracteres. Resultados más fáciles, pero aún esenciales, que utilizan la teoría del carácter incluyen el teorema de Burnside (desde entonces se ha encontrado una prueba puramente teórica de grupos del teorema de Burnside, pero esa prueba llegó más de medio siglo después de la prueba original de Burnside), y un teorema de Richard Brauer y Michio Suzuki afirma que un grupo finito simple no puede tener un grupo de cuaterniones generalizado como su subgrupo Sylow 2 .

Definiciones

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F y sea ρ  : G → GL( V ) una representación de un grupo G en V . El carácter de ρ es la función χ _ρ  : G → F dada por

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$

donde Tr es la traza .

Un carácter χ _ρ se llama irreducible o simple si ρ es una representación irreducible . El grado del carácter χ es la dimensión de ρ ; en la característica cero esto es igual al valor χ (1) . Un carácter de grado 1 se llama lineal . Cuando G es finito y F tiene característica cero, el núcleo del carácter χ _ρ es el subgrupo normal :

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,}$

que es precisamente el núcleo de la representación ρ . Sin embargo, el carácter no es un homomorfismo de grupo en general.

Propiedades

• Los caracteres son funciones de clase , es decir, cada uno de ellos toma un valor constante en una clase de conjugación determinada . Más precisamente, el conjunto de caracteres irreducibles de un grupo dado G en un campo K forma una base del K -espacio vectorial de todas las funciones de clase G → K .
• Las representaciones isomorfas tienen los mismos caracteres. Sobre un campo de característica 0 , dos representaciones son isomorfas si y sólo si tienen el mismo carácter. ^[1]
• Si una representación es la suma directa de subrepresentaciones , entonces el carácter correspondiente es la suma de los caracteres de esas subrepresentaciones.
• Si un carácter del grupo finito G está restringido a un subgrupo H , entonces el resultado también es un carácter de H.
• Cada valor de carácter χ ( g ) es una suma de n m -ésimas raíces de la unidad , donde n es el grado (es decir, la dimensión del espacio vectorial asociado) de la representación con el carácter χ y m es el orden de g . En particular, cuando F = C , cada valor de carácter es un entero algebraico .
• Si F = C y χ es irreducible, entonces
  $${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$$
  es un entero algebraico para todo x en G .
• Si F es algebraicamente cerrado y char ( F ) no divide el orden de G , entonces el número de caracteres irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación de G. Además, en este caso, los grados de los caracteres irreducibles son divisores del orden de G (e incluso dividen [ G  : Z ( G )] si F = C ).

Propiedades aritméticas

Sean ρ y σ representaciones de G . Entonces se mantienen las siguientes identidades:

• ${\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

donde ρ ⊕ σ es la suma directa , ρ ⊗ σ es el producto tensorial , ρ ^∗ denota la transpuesta conjugada de ρ y Alt ² es el producto alterno Alt ² ρ = ρ ∧ ρ y Sym ² es el cuadrado simétrico , que es determinado por

$${\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .}$$

Tablas de caracteres

Los caracteres complejos irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres que codifica mucha información útil sobre el grupo G en forma compacta. Cada fila está etiquetada por una representación irreducible y las entradas en la fila son los caracteres de la representación en la respectiva clase de conjugación de G. Las columnas están etiquetadas por (representantes de) las clases de conjugación de G . Es habitual etiquetar la primera fila por el carácter de la representación trivial , que es la acción trivial de G en un espacio vectorial unidimensional por para todos . Por lo tanto, cada entrada en la primera fila es 1. De manera similar, se acostumbra etiquetar la primera columna por la identidad. Por tanto, la primera columna contiene el grado de cada carácter irreducible. ${\displaystyle \rho (g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

Aquí está la tabla de caracteres de

${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,}$

el grupo cíclico con tres elementos y generador u :

donde ω es una tercera raíz primitiva de la unidad.

La tabla de caracteres siempre es cuadrada, porque el número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación. ^[2]

Relaciones de ortogonalidad

El espacio de funciones de clase de valores complejos de un grupo finito G tiene un producto interno natural :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

donde β ( g ) es el conjugado complejo de β ( g ) . Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres:

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Para g , h en G , aplicar el mismo producto interno a las columnas de la tabla de caracteres produce:

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

donde la suma es de todos los caracteres irreducibles χ _i de G y el símbolo | CG ₍ gramo ) | denota el orden del centralizador de g . Tenga en cuenta que dado que g y h son conjugados si están en la misma columna de la tabla de caracteres, esto implica que las columnas de la tabla de caracteres son ortogonales.

Las relaciones de ortogonalidad pueden ayudar en muchos cálculos, entre ellos:

• Descomponer un carácter desconocido como una combinación lineal de caracteres irreductibles.
• Construir la tabla de caracteres completa cuando solo se conocen algunos de los caracteres irreducibles.
• Encontrar las órdenes de los centralizadores de representantes de las clases de conjugación de un grupo.
• Encontrar el orden del grupo.

Propiedades de la tabla de caracteres

Ciertas propiedades del grupo G se pueden deducir de su tabla de caracteres:

• El orden de G viene dado por la suma de los cuadrados de las entradas de la primera columna (los grados de los caracteres irreducibles). (Ver Teoría de representación de grupos finitos # Aplicación del lema de Schur ). De manera más general, la suma de los cuadrados de los valores absolutos de las entradas en cualquier columna da el orden del centralizador de un elemento de la clase de conjugación correspondiente.
• Todos los subgrupos normales de G (y, por tanto, si G es simple o no) pueden reconocerse a partir de su tabla de caracteres. El núcleo de un carácter χ es el conjunto de elementos g en G para los cuales χ ( g ) = χ (1) ; este es un subgrupo normal de G . Cada subgrupo normal de G es la intersección de los núcleos de algunos de los caracteres irreducibles de G.
• El subgrupo conmutador de G es la intersección de los núcleos de los caracteres lineales de G.
• Si G es finito, entonces dado que la tabla de caracteres es cuadrada y tiene tantas filas como clases de conjugación, se deduce que G es abeliano si cada clase de conjugación es un singleton si la tabla de caracteres de G es si cada carácter irreducible es lineal. ${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$
• De ello se deduce, utilizando algunos resultados de Richard Brauer de la teoría de la representación modular , que los divisores primos de los órdenes de los elementos de cada clase de conjugación de un grupo finito pueden deducirse de su tabla de caracteres (una observación de Graham Higman ).

La tabla de caracteres no determina en general el grupo hasta el isomorfismo : por ejemplo, el grupo de cuaterniones Q y el grupo diédrico de 8 elementos, D ₄ , tienen la misma tabla de caracteres. Brauer preguntó si la tabla de caracteres, junto con el conocimiento de cómo se distribuyen las potencias de los elementos de sus clases de conjugación, determina un grupo finito hasta el isomorfismo. En 1964, EC Dade respondió negativamente .

Las representaciones lineales de G son en sí mismas un grupo bajo el producto tensor , ya que el producto tensorial de los espacios vectoriales unidimensionales es nuevamente unidimensional. Es decir, si y son representaciones lineales, entonces define una nueva representación lineal. Esto da lugar a un grupo de caracteres lineales, denominado grupo de caracteres en la operación . Este grupo está conectado con los personajes de Dirichlet y el análisis de Fourier . ${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$ ${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

Personajes inducidos y reciprocidad de Frobenius

Se supone que los personajes analizados en esta sección tienen valores complejos. Sea H un subgrupo del grupo finito G . Dado un carácter χ de G , sea χ _H su restricción a H . Sea θ un carácter de H . Ferdinand Georg Frobenius mostró cómo construir un carácter de G a partir de θ , utilizando lo que ahora se conoce como reciprocidad de Frobenius . Dado que los caracteres irreducibles de G forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase de valores complejos de G , existe una función de clase única θ ^G de G con la propiedad de que

${\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}$

para cada carácter irreducible χ de G (el producto interno más a la izquierda es para funciones de clase de G y el producto interno más a la derecha es para funciones de clase de H ). Dado que la restricción de un carácter de G al subgrupo H es nuevamente un carácter de H , esta definición deja claro que θ ^G es una combinación entera no negativa de caracteres irreducibles de G , por lo que de hecho lo es un carácter de G. Se conoce como carácter de G inducido a partir de θ . La fórmula definitoria de la reciprocidad de Frobenius se puede extender a funciones de clase generales de valores complejos.

Dada una representación matricial ρ de H , Frobenius dio más tarde una forma explícita de construir una representación matricial de G , conocida como la representación inducida a partir de ρ , y escrita de manera análoga como ρ ^G. Esto llevó a una descripción alternativa del carácter inducido θ ^G. Este carácter inducido desaparece en todos los elementos de G que no están conjugados con ningún elemento de H. Dado que el carácter inducido es una función de clase de G , sólo ahora es necesario describir sus valores en elementos de H. Si se escribe G como una unión disjunta de clases laterales derechas de H , digamos

${\displaystyle G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},}$

entonces, dado un elemento h de H , tenemos:

${\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).}$

Debido a que θ es una función de clase de H , este valor no depende de la elección particular de los representantes de la clase lateral.

Esta descripción alternativa del carácter inducido a veces permite un cálculo explícito a partir de relativamente poca información sobre la incorporación de H en G y, a menudo, es útil para el cálculo de tablas de caracteres particulares. Cuando θ es el carácter trivial de H , el carácter inducido obtenido se conoce como carácter de permutación de G (en las clases laterales de H ).

La técnica general de inducción de caracteres y refinamientos posteriores encontró numerosas aplicaciones en la teoría de grupos finitos y en otras áreas de las matemáticas, en manos de matemáticos como Emil Artin , Richard Brauer , Walter Feit y Michio Suzuki , así como el propio Frobenius.

Descomposición de Mackey

La descomposición de Mackey fue definida y explorada por George Mackey en el contexto de los grupos de Lie , pero es una herramienta poderosa en la teoría del carácter y la teoría de la representación de grupos finitos. Su forma básica se refiere a la forma en que un carácter (o módulo) inducido a partir de un subgrupo H de un grupo finito G se comporta al restringirse a un subgrupo K (posiblemente diferente) de G , y hace uso de la descomposición de G en ( H , K ) -cosets dobles.

Si es una unión disjunta y θ es una función de clase compleja de H , entonces la fórmula de Mackey establece que ${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$

${\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},}$

donde θ ^t es la función de clase de t ⁻¹ Ht definida por θ ^t ( t ⁻¹ ht ) = θ ( h ) para todo h en H . Existe una fórmula similar para la restricción de un módulo inducido a un subgrupo, que es válida para representaciones sobre cualquier anillo y tiene aplicaciones en una amplia variedad de contextos algebraicos y topológicos .

La descomposición de Mackey, junto con la reciprocidad de Frobenius, produce una fórmula bien conocida y útil para el producto interno de dos funciones de clase θ y ψ inducidas a partir de los respectivos subgrupos H y K , cuya utilidad radica en el hecho de que sólo depende de cómo se conjugan los conjugados de H y K se cruzan entre sí. La fórmula (con su derivación) es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

(donde T es un conjunto completo de ( H , K ) -representantes de doble clase lateral, como antes). Esta fórmula se usa a menudo cuando θ y ψ son caracteres lineales, en cuyo caso todos los productos internos que aparecen en la suma de la derecha son 1 o 0 , dependiendo de si los caracteres lineales θ ^t y ψ tienen o no la misma restricción para t. ⁻¹ Ht ∩ K . Si θ y ψ son caracteres triviales, entonces el producto interno se simplifica a | T | .

Dimensión "retorcida"

Se puede interpretar el carácter de una representación como la dimensión "retorcida" de un espacio vectorial . ^[3] Tratando el carácter en función de los elementos del grupo χ ( g ) , su valor en la identidad es la dimensión del espacio, ya que χ (1) = Tr( ρ (1)) = Tr( I _V ) = tenue ( V ) . Por consiguiente, se pueden considerar los demás valores del carácter como dimensiones "retorcidas". ^{[ se necesita aclaración ]}

Se pueden encontrar analogías o generalizaciones de afirmaciones sobre dimensiones con afirmaciones sobre personajes o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto ocurre en la teoría del alcohol ilegal monstruoso : la invariante j es la dimensión graduada de una representación graduada de dimensión infinita del grupo Monstruo , y reemplazando la dimensión con el carácter se obtiene la serie McKay-Thompson para cada elemento de El grupo Monstruo. ^[3]

Caracteres de grupos de Lie y álgebras de Lie.

Si es un grupo de Lie y una representación de dimensión finita de , el carácter de se define precisamente como para cualquier grupo como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$.

Mientras tanto, si es un álgebra de Lie y una representación de dimensión finita de , podemos definir el carácter por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \chi _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})}$.

El personaje satisfará a todos en el grupo de Lie asociado y a todos . Si tenemos una representación de grupo de Lie y una representación de álgebra de Lie asociada, el carácter de la representación de álgebra de Lie está relacionado con el carácter de la representación de grupo mediante la fórmula ${\displaystyle \chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})}$.

Supongamos ahora que se trata de un álgebra de Lie semisimple compleja con subálgebra de Cartan . El valor del carácter de una representación irreductible de está determinado por sus valores en . La restricción del carácter a se puede calcular fácilmente en términos de espacios de peso , de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}}$,

donde la suma está sobre todos los pesos de y donde está la multiplicidad de . ^[4] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle m_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

El carácter (restricción del ) se puede calcular de forma más explícita mediante la fórmula del carácter de Weyl. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Ver también

• Representación irreducible § Aplicaciones en física teórica y química.
• Esquemas de asociación , una generalización combinatoria de la teoría de caracteres de grupo.
• La teoría de Clifford , introducida por AH Clifford en 1937, proporciona información sobre la restricción de un carácter complejo irreducible de un grupo finito G a un subgrupo normal N.
• fórmula de frobenius
• Elemento real , un elemento de grupo g tal que χ ( g ) es un número real para todos los caracteres χ

Referencias

1. Nicolas Bourbaki, Algèbre , Springer-Verlag, 2012, cap. 8, p392
2. Serre, §2.5
3. (Gannon 2006)
4. Propuesta 10.12 del Salón 2015

• Conferencia 2 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103. en línea
• Gannon, Terry (2006). Luz de luna más allá del monstruo: el puente que conecta el álgebra, las formas modulares y la física . ISBN 978-0-521-83531-2.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Isaacs, IM (1994). Teoría de caracteres de grupos finitos (reimpresión corregida del original de 1976, publicada por Academic Press. Ed.). Dover. ISBN 978-0-486-68014-9.
• James, Gordon; Liebeck, Martín (2001). Representaciones y Personajes de Grupos (2ª ed.) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-00392-6.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 42. Traducido de la segunda edición francesa por Leonard L. Scott. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4684-9458-7. ISBN 978-0-387-90190-9. SEÑOR  0450380.

enlaces externos

• Personaje en PlanetMath .