Fórmula de Frobenius

En matemáticas, específicamente en teoría de representaciones , la fórmula de Frobenius , introducida por G. Frobenius , calcula los caracteres de las representaciones irreducibles del grupo simétrico S _n . Entre otras aplicaciones, la fórmula se puede utilizar para derivar la fórmula de longitud de gancho .

Declaración

Sea el carácter de una representación irreducible del grupo simétrico correspondiente a una partición de n : y . Para cada partición de n , sea la clase de conjugación en correspondiente a ella (cf. el ejemplo siguiente), y sea el número de veces que j aparece en (por lo que ). Entonces la fórmula de Frobenius establece que el valor constante de en ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$ ${\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+k-j}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C(\mu )}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sum _{j}i_{j}j=n}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle C(\mu ),}$

${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}$

es el coeficiente del monomio en el polinomio homogéneo en variables ${\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \prod _{i<j}^{k}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

donde es la suma de potencias -ésima . ${\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}$ ${\displaystyle j}$

Ejemplo : Tome . Sea y por lo tanto , , . Si ( ), que corresponde a la clase del elemento identidad, entonces es el coeficiente de en ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \lambda :4=2+2=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \ell _{1}=3}$ ${\displaystyle \ell _{2}=2}$ ${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$ ${\displaystyle i_{1}=4}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$ ${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})^{4}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

que es 2. De manera similar, si (la clase de un ciclo de 3 veces un ciclo de 1) y , entonces , dado por ${\displaystyle \mu :4=3+1}$ ${\displaystyle i_{1}=i_{3}=1}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})P_{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

es −1.

Para la representación de identidad, y . El carácter será igual al coeficiente de en , que es 1 para cualquier como se esperaba. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=n=\ell _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$ ${\displaystyle x_{1}^{n}}$ ${\displaystyle \prod _{j}P_{j}(x_{1})^{i_{j}}=\prod _{j}x_{1}^{i_{j}j}=x_{1}^{\sum _{j}i_{j}j}=x_{1}^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

Análogos

Arun Ram da un análogo q de la fórmula de Frobenius. ^[1]

Véase también

• Teoría de la representación de grupos simétricos

Referencias

1. Carnero (1991).

• Ram, Arun (1991). "Una fórmula de Frobenius para los caracteres de las álgebras de Hecke". Inventiones mathematicae . 106 (1): 461–488.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edición. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x+475 pp.  ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144