Polinomios de Hall-Littlewood

En matemáticas , los polinomios de Hall-Littlewood son funciones simétricas que dependen de un parámetro t y de una partición λ. Son funciones de Schur cuando t es 0 y funciones simétricas monomiales cuando t es 1 y son casos especiales de polinomios de Macdonald . Fueron definidos por primera vez indirectamente por Philip Hall utilizando el álgebra de Hall , y luego definidos directamente por Dudley E. Littlewood (1961).

Definición

El polinomio de Hall–Littlewood P se define por

${\displaystyle P_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n};t)=\left(\prod _{i\geq 0}\prod _{j=1}^{m(i)}{\frac {1-t}{1-t^{j}}}\right){\sum _{w\in S_{n}}w\left(x_{1}^{\lambda _{1}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}\prod _{i<j}{\frac {x_{i}-tx_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right)},}$

donde λ es una partición de como máximo n con elementos λ _i , y m ( i ) elementos iguales a i , y S _n es el grupo simétrico de orden n !.

A modo de ejemplo,

${\displaystyle P_{42}(x_{1},x_{2};t)=x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{4}+(1-t)x_{1}^{3}x_{2}^{3}}$

Especializaciones

Tenemos que , y donde este último son los polinomios de Schur P. ${\displaystyle P_{\lambda }(x;1)=m_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }(x;0)=s_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }(x;-1)=P_{\lambda }(x)}$

Propiedades

Desarrollando los polinomios de Schur en términos de los polinomios de Hall-Littlewood, se tiene

${\displaystyle s_{\lambda }(x)=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(t)P_{\mu }(x,t)}$

donde son los polinomios de Kostka–Foulkes . Nótese que como , estos se reducen a los coeficientes de Kostka ordinarios. ${\displaystyle K_{\lambda \mu }(t)}$ ${\displaystyle t=1}$

Lascoux y Schützenberger dieron una descripción combinatoria de los polinomios de Kostka-Foulkes,

${\displaystyle K_{\lambda \mu }(t)=\sum _{T\in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{\mathrm {charge} (T)}}$

donde "carga" es una cierta estadística combinatoria sobre tablas de Young semiestándar, y la suma se toma sobre el conjunto de todas las tablas de Young semiestándar T con forma λ y tipo  μ . ${\displaystyle SSYT(\lambda ,\mu )}$

Véase también

• Polinomio de Hall

Referencias

• IG Macdonald (1979). Funciones simétricas y polinomios de Hall . Oxford University Press. pp. 101–104. ISBN 0-19-853530-9.
• DE Littlewood (1961). "Sobre ciertas funciones simétricas". Actas de la London Mathematical Society . 43 : 485–498. doi :10.1112/plms/s3-11.1.485.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Hall–Littlewood". MathWorld .