Polinomios de Askey-Wilson

En matemáticas, los polinomios de Askey-Wilson (o polinomios q -Wilson ) son una familia de polinomios ortogonales introducidos por Richard Askey y James A. Wilson como análogos q de los polinomios de Wilson . ^[1] Incluyen muchos de los otros polinomios ortogonales en 1 variable como casos especiales o limitantes , descritos en el esquema de Askey . Los polinomios de Askey-Wilson son el caso especial de los polinomios de Macdonald (o polinomios de Koornwinder ) para el sistema de raíces afines no reducido de tipo ( C^∨
₁, C ₁ ), y sus 4 parámetros a , b , c , d corresponden a las 4 órbitas de las raíces de este sistema radicular.

Se definen por

${\displaystyle p_{n}(x)=p_{n}(x;a,b,c,d\mid q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}$

donde φ es una función hipergeométrica básica , x = cos θ y (,,,) _n es el símbolo q -Pochhammer . Las funciones de Askey-Wilson son una generalización a valores no enteros de n .

Prueba

Este resultado se puede demostrar ya que se sabe que

${\displaystyle p_{n}(\cos {\theta })=p_{n}(\cos {\theta };a,b,c,d\mid q)}$

y utilizando la definición del símbolo q -Pochhammer

${\displaystyle p_{n}(\cos {\theta })=a^{-n}\sum _{\ell =0}^{n}q^{\ell }\left(abq^{\ell },acq^{\ell },adq^{\ell };q\right)_{n-\ell }\times {\frac {\left(q^{-n},abcdq^{n-1};q\right)_{\ell }}{(q;q)_{\ell }}}\prod _{j=0}^{\ell -1}\left(1-2aq^{j}\cos {\theta }+a^{2}q^{2j}\right)}$

lo que lleva a la conclusión de que es igual

${\displaystyle a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}$

Véase también

• Esquema de Askey

Referencias

1. Askey y Wilson (1985).

• Askey, Richard ; Wilson, James (1985), "Algunos polinomios ortogonales hipergeométricos básicos que generalizan los polinomios de Jacobi", Memorias de la American Mathematical Society , 54 (319): iv+55, doi :10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN  0065-9266  , MR0783216
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 96 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, Sr.  2128719
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase de Askey-Wilson", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Koornwinder, Tom H. (2012), "Polinomio de Askey-Wilson", Scholarpedia , 7 (7): 7761, Bibcode :2012SchpJ...7.7761K, doi : 10.4249/scholarpedia.7761