Polinomios de Koornwinder

En matemáticas, los polinomios de Macdonald-Koornwinder (también llamados polinomios de Koornwinder ) son una familia de polinomios ortogonales en varias variables, introducidos por Koornwinder ^[1] e IG Macdonald ^[2] , que generalizan los polinomios de Askey-Wilson . Son los polinomios de Macdonald unidos al sistema de raíces afines no reducido de tipo ( C^∨
_​, C _n ), y en particular satisfacen análogos de las conjeturas de Macdonald . ^[3] Además, Jan Felipe van Diejen demostró que los polinomios de Macdonald asociados a cualquier sistema raíz clásico pueden expresarse como límites o casos especiales de polinomios de Macdonald-Koornwinder y encontró conjuntos completos de operadores de diferencia conmutativa concretos diagonalizados por ellos. ^[4] Además, existe una gran clase de familias interesantes de polinomios ortogonales multivariables asociados con sistemas raíz clásicos que son casos degenerados de los polinomios de Macdonald-Koornwinder. ^[5] Los polinomios de Macdonald-Koornwinder también se han estudiado con la ayuda de álgebras de Hecke afines . ^[6]

El polinomio de Macdonald-Koornwinder en n variables asociado a la partición λ es el único polinomio de Laurent invariante bajo permutación e inversión de variables, con monomio principal x ^λ , y ortogonal respecto de la densidad

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_{i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty }}}}$

en el toro unitario

${\displaystyle |x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1}$,

donde los parámetros satisfacen las restricciones

${\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,}$

y ( x ; q ) _∞ denota el símbolo q-Pochhammer infinito . Aquí el monomio principal x ^λ significa que μ≤λ para todos los términos x ^μ con coeficiente distinto de cero, donde μ≤λ si y solo si μ ₁ ≤λ ₁ , μ ₁ +μ ₂ ≤λ ₁ +λ ₂ , …, μ ₁ +…+μ _n ≤λ ₁ +…+λ _n . Bajo restricciones adicionales de que q y t son reales y que a , b , c , d son reales o, si son complejos, ocurren en pares conjugados, la densidad dada es positiva.

Citas

1. Kornwinder 1992.
2. Macdonald 1987, casos especiales importantes ^{[ cita completa necesaria ]}
3. van Diejen 1996; Sahi 1999; Macdonald 2003, Capítulo 5.3.
4. van Diejen 1995.
5. van Diejen 1999.
6. Noumi 1995; Sahi 1999; Macdonald 2003.

Referencias

• Koornwinder, Tom H. (1992), "Polinomios de Askey-Wilson para sistemas de raíces de tipo BC", Contemporary Mathematics , 138 : 189–204, doi :10.1090/conm/138/1199128, MR  1199128, S2CID  14028685
• van Diejen, Jan F. (1996), "Polinomios de Koornwinder-Macdonald autoduales", Inventiones Mathematicae , 126 (2): 319–339, arXiv : q-alg/9507033 , Bibcode :1996InMat.126..319V, doi :10.1007/s002220050102, MR  1411136, S2CID  17405644
• Sahi, S. (1999), "Polinomios de Koornwinder no simétricos y dualidad", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 150 (1): 267–282, arXiv : q-alg/9710032 , doi :10.2307/121102, JSTOR  121102, MR  1715325, S2CID  8958999
• van Diejen, Jan F. (1995), "Operadores de diferencia conmutativa con funciones propias polinómicas", Compositio Mathematica , 95 : 183–233, arXiv : funct-an/9306002 , MR  1313873
• van Diejen, Jan F. (1999), "Propiedades de algunas familias de polinomios ortogonales hipergeométricos en varias variables", Trans. Amer. Math. Soc. , 351 : 233–70, arXiv : q-alg/9604004 , doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 , MR  1433128, S2CID  16214156
• Noumi, M. (1995), "Polinomios de Macdonald-Koornwinder y anillos de Hecke afines", Various Aspects of Hypergeometric Functions , Surikaisekikenkyusho Kokyuroku (en japonés), vol. 919, págs. 44-55, MR  1388325
• Macdonald, IG (2003), Álgebras afines de Hecke y polinomios ortogonales , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 157, Cambridge: Cambridge University Press, págs. x+175, ISBN 978-0-521-82472-9, Sr.  1976581
• Stokman, Jasper V. (2004), "Notas de clase sobre polinomios de Koornwinder", Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions , Teoría avanzada, funciones especiales, polinomios ortogonales, Hauppauge, Nueva York: Nova Science Publishers, págs. 145-207, MR  2085855