Esquema de Askey

Clasificación de polinomios ortogonales

En matemáticas, el esquema de Askey es una forma de organizar polinomios ortogonales de tipo hipergeométrico o hipergeométrico básico en una jerarquía. Para los polinomios ortogonales clásicos analizados en Andrews y Askey (1985), el esquema de Askey fue elaborado por primera vez por Labelle (1985) y por Askey y Wilson (1985), y desde entonces ha sido ampliado por Koekoek y Swarttouw (1998) y Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010) para cubrir polinomios ortogonales básicos.

Esquema de Askey para polinomios ortogonales hipergeométricos

Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010, p.183) dan la siguiente versión del esquema Askey:

${\displaystyle {}_{4}F_{3}(4)}$

Wilson | Raca

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(3)}$

Hahn doble continuo | Hahn continuo | Hahn | Hahn doble

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(2)}$

Meixner–Pollaczek | Jacobi | Pseudo Jacobi | Meixner | Krawtchouk

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(1)\ \ /\ \ {}_{1}F_{1}(1)}$

Laguerre | Bessel | Charlier

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(0)}$

Hermita

Aquí se indica una representación de serie hipergeométrica con parámetros ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Esquema de Askey para polinomios ortogonales hipergeométricos básicos

Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010, p.413) dan el siguiente esquema para polinomios ortogonales hipergeométricos básicos:

_{4 3} ${\displaystyle \phi }$

Askey–Wilson | q-Racah

_{3 2} ${\displaystyle \phi }$

Q-Hahn dual continuo | Q-Hahn continuo | Q-Jacobi grande | q-Hahn | q-Hahn dual

_{2 1} ${\displaystyle \phi }$

Al-Salam-Chihara | q-Meixner–Pollaczek | Continuo q-Jacobi | Gran q-Laguerre | Pequeño q-Jacobi | q-Meixner | Q-Krawtchouk cuántico | q-Krawtchouk | Afín q-Krawtchouk | Doble q-Krawtchouk

_{2 0} / _{1 1} ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

q-Hermite grande continuo | q-Laguerre continuo | q-Laguerre pequeño | q-Laguerre | q-Bessel | q-Charlier | Al-Salam–Carlitz I | Al-Salam–Carlitz II

_{1 0} ${\displaystyle \phi }$

q-Hermite continuo | Stieltjes–Wigert | q-Hermite discreto I | q-Hermite discreto II

Lo completo

Si bien existen varios enfoques para construir familias aún más generales de polinomios ortogonales, por lo general no es posible extender el esquema de Askey reutilizando funciones hipergeométricas de la misma forma. Por ejemplo, uno podría esperar ingenuamente encontrar nuevos ejemplos dados por

${\displaystyle p_{n}(x)={}_{q+1}F_{q}\left({\begin{array}{c}-n,n+\mu ,a_{1}(x),\dots ,a_{q-1}(x)\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};1\right)}$

por encima de lo cual corresponde a los polinomios de Wilson. Esto fue descartado en Cheikh, Lamiri y Ouni (2009) bajo el supuesto de que son polinomios de grado 1 tales que ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle a_{i}(x)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{q-1}(a_{i}(x)+r)=\prod _{i=1}^{q-1}a_{i}(x)+\pi (r)}$

para algún polinomio . ${\displaystyle \pi (r)}$

Referencias

• Andrews, George E.; Askey, Richard (1985), "Polinomios ortogonales clásicos", en Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.), Polynômes orthogonaux et applications. Actas del simposio Laguerre celebrado en Bar-le-Duc, del 15 al 18 de octubre de 1984. , Lecture Notes in Math., vol. 1171, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 36–62, doi :10.1007/BFb0076530, ISBN 978-3-540-16059-5, Sr.  0838970
• Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Algunos polinomios ortogonales hipergeométricos básicos que generalizan los polinomios de Jacobi", Memorias de la American Mathematical Society , 54 (319): iv+55, doi :10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN  0065-9266  , MR0783216
• Cheikh, Y. Ben; Lamiri, I.; Ouni, A. (2009), "Sobre el esquema Askey y la d-ortogonalidad, I: Un teorema de caracterización", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 : 621–629
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (1998), El esquema Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos y su análogo q, vol. 98–17, Universidad Tecnológica de Delft, Facultad de Tecnología de la Información y Sistemas, Departamento de Matemáticas Técnicas e Informática
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, Sr.  2656096
• Koornwinder, Tom H. (1988), "Interpretaciones teóricas de grupos del esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos", Polinomios ortogonales y sus aplicaciones (Segovia, 1986), Lecture Notes in Math., vol. 1329, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 46–72, doi :10.1007/BFb0083353, ISBN 978-3-540-19489-7, Sr.  0973421
• Labelle, Jacques (1985), "Tableau d'Askey", en Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alfonso P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.), Polynômes Orthogonaux et Applications. Actas del Simposio de Laguerre celebrado en Bar-le-Duc , Lecture Notes in Math., vol. 1171, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xxxvi–xxxvii, doi :10.1007/BFb0076527, ISBN 978-3-540-16059-5, Sr.  0838967