Los polinomios de Kravchuk o polinomios de Krawtchouk (también escritos utilizando varias otras transliteraciones del apellido ucraniano Кравчу́к ) son polinomios ortogonales discretos asociados con la distribución binomial , introducidos por Mykhailo Kravchuk (1929). Los primeros polinomios son (para q = 2):
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x;n)=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x;n)=-2x+n,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x;n)=2x^{2}-2nx+{\binom {n}{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x;n)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2nx^{2}-(n^{2}- n+{\frac {2}{3}})x+{\binom {n}{3}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los polinomios de Kravchuk son un caso especial de los polinomios de Meixner de primera clase.
Definición
Para cualquier potencia prima q y entero positivo n , defina el polinomio de Kravchuk
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)={\mathcal {K}}_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}( -1)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {x}{j}}{\binom {nx}{kj}},\quad k=0,1,\ldots ,n. }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
El polinomio de Kravchuk tiene las siguientes expresiones alternativas:
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-q)^{j}(q-1)^{kj }{\binom {nj}{kj}}{\binom {x}{j}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}q^{kj}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {nx}{kj}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relaciones de simetría
Para números enteros , tenemos que ![{\displaystyle i,k\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}(q-1)^{i}{n \choose i}{\mathcal {K}}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{ k}{n \choose k}{\mathcal {K}}_{i}(k;n,q).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relaciones de ortogonalidad
Para números enteros no negativos r , s ,
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n, q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r ,s}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
función generadora
La serie generadora de polinomios de Kravchuk se muestra a continuación. Aquí hay una variable formal.![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}(1+(q-1)z)^{nx}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recurrencia de tres términos
Los polinomios de Kravchuk satisfacen la relación de recurrencia de tres términos
![{\displaystyle {\begin{aligned}x{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=-q(nk){\mathcal {K}}_{k+1}(x; n,q)+(q(nk)+k(1-q)){\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)-k(1-q){\mathcal {K}} _{k-1}(x;n,q).\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Kravchuk, M. (1929), "Sur une généralisation des polynomes d'Hermite.", Comptes Rendus Mathématique (en francés), 189 : 620–622, JFM 55.0799.01
- Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase Hahn: Definiciones", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor 2723248.
- Nikiforov, AF; Suslov, SK; Uvarov, VB (1991), Polinomios ortogonales clásicos de una variable discreta , Springer Series in Computational Physics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51123-7, señor 1149380.
- Levenshtein, Vladimir I. (1995), "Polinomios de Krawtchouk y límites universales para códigos y diseños en espacios de Hamming", IEEE Transactions on Information Theory , 41 (5): 1303–1321, doi :10.1109/18.412678, MR 1366326.
- MacWilliams, FJ; Sloane, NJA (1977), La teoría de los códigos correctores de errores , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-85193-3
enlaces externos
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los polinomios de Kravchuk .
- Página de inicio de polinomios de Krawtchouk
- "Polinomio de Krawtchouk" en MathWorld