Polinomios duales de Hahn

En matemáticas, los polinomios duales de Hahn son una familia de polinomios ortogonales en el esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos. Se definen en una red no uniforme y se definen como ${\displaystyle x(s)=s(s+1)}$

${\displaystyle w_{n}^{(c)}(s,a,b)={\frac {(a-b+1)_{n}(a+c+1)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}(-n,a-s,a+s+1;a-b+a,a+c+1;1)}$

para y los parámetros están restringidos a . ${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}<a<b,|c|<1+a,b=a+N}$

Tenga en cuenta que es el factorial ascendente , también conocido como símbolo de Pochhammer, y son las funciones hipergeométricas generalizadas ${\displaystyle (u)_{k}}$ ${\displaystyle {}_{3}F_{2}(\cdot )}$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky y René F. Swarttouw (2010, 14) dan una lista detallada de sus propiedades.

Ortogonalidad

Los polinomios de Hahn duales tienen la condición de ortogonalidad

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}w_{n}^{(c)}(s,a,b)w_{m}^{(c)}(s,a,b)\rho (s)[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]=\delta _{nm}d_{n}^{2}}$

para . Dónde , ${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$ ${\displaystyle \Delta x(s)=x(s+1)-x(s)}$

${\displaystyle \rho (s)={\frac {\Gamma (a+s+1)\Gamma (c+s+1)}{\Gamma (s-a+1)\Gamma (b-s)\Gamma (b+s+1)\Gamma (s-c+1)}}}$

y

${\displaystyle d_{n}^{2}={\frac {\Gamma (a+c+n+a)}{n!(b-a-n-1)!\Gamma (b-c-n)}}.}$

Inestabilidad numérica

A medida que aumenta el valor de , también aumentan los valores que obtienen los polinomios discretos. Como resultado, para obtener estabilidad numérica en el cálculo de los polinomios, se utilizaría el polinomio dual de Hahn renormalizado, tal como se define como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b)=w_{n}^{(c)}(s,a,b){\sqrt {{\frac {\rho (s)}{d_{n}^{2}}}[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]}}}$

para . ${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$

Entonces la condición de ortogonalidad se convierte en

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}{\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b){\hat {w}}_{m}^{(c)}(s,a,b)=\delta _{m,n}}$

para ${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$

Relación con otros polinomios

Los polinomios de Hahn, , se definen en la red uniforme , y los parámetros se definen como . Luego, al establecer los polinomios de Hahn, se convierten en los polinomios de Chebyshev . Tenga en cuenta que los polinomios duales de Hahn tienen un análogo q con un parámetro adicional q conocido como polinomios duales q-Hahn . ${\displaystyle h_{n}(x,N;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x(s)=s}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a=(\alpha +\beta )/2,b=a+N,c=(\beta -\alpha )/2}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

Los polinomios de Racah son una generalización de los polinomios de Hahn duales.

Referencias

• Zhu, Hongqing (2007), "Análisis de imágenes mediante momentos Hahn duales ortogonales discretos" (PDF) , Pattern Recognition Letters , 28 (13): 1688–1704, doi :10.1016/j.patrec.2007.04.013
• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten , 2 (1–2): 4–34, doi :10.1002/mana.19490020103, ISSN  0025-584X, SEÑOR  0030647
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, Sr.  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase Hahn: Definiciones", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.