Polinomios de Bessel

Concepto de matemáticas

En matemáticas , los polinomios de Bessel son una secuencia ortogonal de polinomios . Hay varias definiciones diferentes pero estrechamente relacionadas. La definición preferida por los matemáticos viene dada por la serie ^{[1] : 101}

${\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.}$

Otra definición, preferida por los ingenieros eléctricos, se conoce a veces como polinomios inversos de Bessel ^{[2] : 8  [3] : 15}

${\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}.}$

Los coeficientes de la segunda definición son los mismos que los de la primera pero en orden inverso. Por ejemplo, el polinomio de Bessel de tercer grado es

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1}$

mientras que el polinomio inverso de Bessel de tercer grado es

${\displaystyle \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.}$

El polinomio inverso de Bessel se utiliza en el diseño de filtros electrónicos Bessel .

Propiedades

Definición en términos de funciones de Bessel

El polinomio de Bessel también se puede definir utilizando funciones de Bessel de las que el polinomio toma su nombre.

${\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$

donde K _n ( x ) es una función de Bessel modificada del segundo tipo , y _n ( x ) es el polinomio ordinario y θ _n ( x ) es el polinomio inverso. ^{[2] : 7, 34} Por ejemplo: ^[4]

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

Definición como función hipergeométrica

El polinomio de Bessel también puede definirse como una función hipergeométrica confluente ^{[5] : 8}

${\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}$

Una expresión similar es válida para los polinomios de Bessel generalizados (ver más abajo): ^{[2] : 35}

${\displaystyle y_{n}(x;a,b)=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}$

El polinomio inverso de Bessel se puede definir como un polinomio de Laguerre generalizado :

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}$

de lo que se deduce que también puede definirse como una función hipergeométrica:

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}$

donde (−2 n ) _n es el símbolo de Pochhammer (factorial ascendente).

función generadora

Los polinomios de Bessel, con índice desplazado, tienen la función generadora

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

Derivando con respecto a , cancelando , se obtiene la función generadora de los polinomios ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\theta _{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

También existe una función generadora similar para los polinomios: ^{[1] : 106} ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}$

Al configurar , se tiene la siguiente representación para la función exponencial : ^{[1] : 107} ${\displaystyle t=z-xz^{2}/2}$

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}$

recursividad

El polinomio de Bessel también se puede definir mediante una fórmula de recursividad:

${\displaystyle y_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}$

y

${\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}$

Ecuación diferencial

El polinomio de Bessel obedece a la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}$

y

${\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}$

Ortogonalidad

Los polinomios de Bessel son ortogonales con respecto al peso integrado sobre el círculo unitario del plano complejo. ^{[1] : 104} En otras palabras, si , ${\displaystyle e^{-2/x}}$ ${\displaystyle n\neq m}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0}$

Generalización

forma explícita

En la literatura se ha sugerido una generalización de los polinomios de Bessel, de la siguiente manera:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}$

los polinomios inversos correspondientes son

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}$

Los coeficientes explícitos de los polinomios son: ^{[1] : 108} ${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}$

En consecuencia, los polinomios se pueden escribir explícitamente de la siguiente manera: ${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}$

Para la función de ponderación

${\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):={}_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}$

son ortogonales, para la relación

${\displaystyle 0=\oint _{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y_{n}(x;\alpha ,\beta )y_{m}(x;\alpha ,\beta )\,\mathrm {d} x}$

se cumple para m ≠ n y c una curva que rodea el punto 0.

Se especializan en los polinomios de Bessel para α = β = 2, en cuya situación ρ( x ) = exp(−2/ x ).

Fórmula de Rodrigues para polinomios de Bessel

La fórmula de Rodrigues para los polinomios de Bessel como soluciones particulares de la ecuación diferencial anterior es:

${\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$

donde un^{(α, β)}
_norteson coeficientes de normalización.

Polinomios de Bessel asociados

Según esta generalización tenemos la siguiente ecuación diferencial generalizada para polinomios de Bessel asociados:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

dónde . Las soluciones son, ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

${\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$

Ceros

Si se denotan los ceros de as y el de by , entonces existen las siguientes estimaciones: ^{[2] : 82} ${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},}$

y

${\displaystyle {\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},}$

para todos . Además, todos estos ceros tienen parte real negativa. ${\displaystyle \alpha \geq 2}$

Se pueden obtener resultados más nítidos si se recurre a teoremas más potentes sobre las estimaciones de ceros de polinomios (más concretamente, el teorema de la parábola de Saff y Varga, o técnicas de ecuaciones diferenciales). ^{[2] : 88  [6]} Un resultado es el siguiente: ^[7]

${\displaystyle {\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.}$

Valores particulares

Los polinomios de Bessel hasta son ^[8] ${\displaystyle y_{n}(x)}$ ${\displaystyle n=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}$

Ningún polinomio de Bessel se puede factorizar en polinomios de grado inferior con coeficientes racionales. ^[9] Los polinomios de Bessel inversos se obtienen invirtiendo los coeficientes. De manera equivalente, . Esto da como resultado lo siguiente: ${\textstyle \theta _{k}(x)=x^{k}y_{k}(1/x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\\\end{aligned}}}$

Ver también

• función de Bessel
• polinomio de Neumann
• polinomio de lommel
• Transformada de Hankel
• Serie de Fourier-Bessel

Referencias

1. Krall, HL; Frink, O. (1948). "Una nueva clase de polinomios ortogonales: los polinomios de Bessel". Trans. América. Matemáticas. Soc . 65 (1): 100-115. doi : 10.2307/1990516 .
2. Grosswald, E. (1978). Polinomios de Bessel (apuntes de clases de matemáticas) . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-09104-4.
3. Berg, cristiano; Vignat, Christophe (2008). "Coeficientes de linealización de polinomios de Bessel y propiedades de las distribuciones t de Student" (PDF) . Aproximación constructiva . 27 : 15–32. doi :10.1007/s00365-006-0643-6 . Consultado el 16 de agosto de 2006 .
4. Ejemplo de Wolfram Alpha
5. Dita, Petre; Grama, Nicolae (14 de mayo de 1997). "Sobre el método de descomposición de Adomian para resolver ecuaciones diferenciales". arXiv : solv-int/9705008 .
6. Saff, EB; Varga, RS (1976). "regiones parabólicas libres de cero para secuencias de polinomios". SIAM J. Matemáticas. Anal . 7 (3): 344–357. doi :10.1137/0507028.
7. de Bruin, MG; Saff, EB; Varga, RS (1981). "Sobre los ceros de los polinomios de Bessel generalizados. I". Indag. Matemáticas . 84 (1): 1–13.
8. * Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A001498 (Triángulo a(n,k) (n >= 0, 0 <= k <= n) de coeficientes de polinomios de Bessel y_n(x) (exponentes en orden creciente).)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
9. Filaseta, Michael; Trifinov, Ognian (2 de agosto de 2002). "La irreductibilidad de los polinomios de Bessel". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 2002 (550): 125-140. CiteSeerX 10.1.1.6.9538 . doi :10.1515/crll.2002.069. 

• Carlitz, Leonard (1957). "Una nota sobre los polinomios de Bessel". Duque Matemáticas. J.​ 24 (2): 151-162. doi :10.1215/S0012-7094-57-02421-3. SEÑOR  0085360.
• Fakhri, H.; Chenaghlou, A. (2006). "Operadores de escalera y relaciones de recursividad para los polinomios de Bessel asociados". Letras de Física A. 358 (5–6): 345–353. Código bibliográfico : 2006PhLA..358..345F. doi :10.1016/j.physleta.2006.05.070.
• Romano, S. (1984). El cálculo umbral (Los polinomios de Bessel §4.1.7) . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-486-44139-9.

enlaces externos

• "Polinomios de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Bessel". MundoMatemático .