Polinomios de Stieltjes-Wigert

En matemáticas, los polinomios de Stieltjes-Wigert (llamados así por Thomas Jan Stieltjes y Carl Severin Wigert ) son una familia de polinomios ortogonales hipergeométricos básicos en el esquema básico de Askey , para la función de peso ^[1]

${\displaystyle w(x)={\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)}$

en la recta real positiva x  > 0.

El problema del momento para los polinomios de Stieltjes-Wigert es indeterminado; en otras palabras, hay muchas otras medidas que dan la misma familia de polinomios ortogonales (véase la condición de Krein ).

Koekoek et al. (2010) dan en la Sección 14.27 una lista detallada de las propiedades de estos polinomios.

Definición

Los polinomios se dan en términos de funciones hipergeométricas básicas y el símbolo de Pochhammer mediante ^[2]

${\displaystyle \displaystyle S_{n}(x;q)={\frac {1}{(q;q)_{n}}}{}_{1}\phi _{1}(q^{-n},0;q,-q^{n+1}x),}$

dónde

${\displaystyle q=\exp \left(-{\frac {1}{2k^{2}}}\right).}$

Ortogonalidad

Dado que el problema de momento para estos polinomios es indeterminado, hay muchas funciones de peso diferentes en [0,∞] para las que son ortogonales. Dos ejemplos de tales funciones de peso son

${\displaystyle {\frac {1}{(-x,-qx^{-1};q)_{\infty }}}}$

y

${\displaystyle {\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp \left(-k^{2}\log ^{2}x\right).}$

Notas

1. Hasta un factor constante, esto es w ( q ^−1/2 x ) para la función de peso w en Szegő (1975), Sección 2.7. Véase también Koornwinder et al. (2010), Sección 18.27(vi).
2. Hasta un factor constante S _n ( x ; q )= p _n ( q ^−1/2 x ) para p _n ( x ) en Szegő (1975), Sección 2.7.

Referencias

• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 96 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, Sr.  2128719
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus análogos q , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, Sr.  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Cap. 18, Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Szegő, Gábor (1975), Polinomios ortogonales , Colloquium Publications 23, American Mathematical Society, cuarta edición, ISBN 978-0-8218-1023-1, Sr.  0372517
• Stieltjes, T.-J. (1894), "Continúan las investigaciones sobre las fracciones", Ann. fac. Ciencia. Toulouse (en francés), VIII (4): 1–122, doi : 10.5802/afst.108 , JFM  25.0326.01, MR  1344720
• Wang, Xiang-Sheng; Wong, Roderick (2010). "Asintótica uniforme de algunos polinomios q-ortogonales". J. Math. Anal. Appl . 364 (1): 79–87. doi :10.1016/j.jmaa.2009.10.038.
• Wigert, S. (1923), "Sur les polynomes orthogonaux et l'approximation des fonctions continue", Arkiv för matematik, astronomi och fysik (en francés), 17 : 1–15, JFM  49.0296.01