Polinomios discretos de q-Hermite

En matemáticas, los polinomios discretos q -Hermite son dos familias estrechamente relacionadas h _n ( x ; q ) y ĥ _n ( x ; q ) de polinomios ortogonales hipergeométricos básicos en el esquema básico de Askey , introducido por Al-Salam y Carlitz (1965). Roelof Koekoek, Peter A. Lesky y René F. Swarttouw (2010, 14) dan una lista detallada de sus propiedades. h _n ( x ; q ) también se llama polinomios discretos q-Hermite I y ĥ _n ( x ; q ) también se llama polinomios discretos q-Hermite II.

Definición

Los polinomios discretos q -Hermite se dan en términos de funciones hipergeométricas básicas y los polinomios Al-Salam–Carlitz por

${\displaystyle \displaystyle h_{n}(x;q)=q^{\binom {n}{2}}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},x^{-1};0;q,-qx)=x^{n}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},q^{-n+1};;q^{2},q^{2n-1}/x^{2})=U_{n}^{(-1)}(x;q)}$

${\displaystyle \displaystyle {\hat {h}}_{n}(x;q)=i^{-n}q^{-{\binom {n}{2}}}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},ix;;q,-q^{n})=x^{n}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},q^{-n+1};0;q^{2},-q^{2}/x^{2})=i^{-n}V_{n}^{(-1)}(ix;q)}$

y están relacionados por

${\displaystyle h_{n}(ix;q^{-1})=i^{n}{\hat {h}}_{n}(x;q)}$

Referencias

• Berg, Christian; Ismael, Mourad (1994), Polinomios Q-Hermite y polinomios ortogonales clásicos , arXiv : math/9405213
• Al-Salam, WA; Carlitz, L. (1965), "Algunos polinomios q ortogonales", Mathematische Nachrichten , 30 (1–2): 47–61, doi :10.1002/mana.19650300105, ISSN  0025-584X, MR  0197804
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 96 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, Sr.  2128719
• Jazmati, M. Saleh; Mezlini, Kamel; Bettaibi, Neji (2014), "Polinomios generalizados de q-Hermite y la ecuación de calor de q-Dunkl", Boletín de análisis matemático y aplicaciones , 6 (4), Prishtine, Serbia: Prishtine: Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación: 16–43, ISSN  1821-1291
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, Sr.  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Capítulo 18 Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.