Sucesión polinómica
Gráfico de la función polinómica de Jacobi con y y en el plano complejo de a con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1 PAG norte ( alfa , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} norte = 10 {\estilo de visualización n=10} alfa = 2 {\displaystyle \alpha =2} β = 2 {\displaystyle \beta =2} − 2 − 2 i {\estilo de visualización -2-2i} 2 + 2 i {\estilo de visualización 2+2i} En matemáticas , los polinomios de Jacobi (a veces llamados polinomios hipergeométricos )
son una clase de polinomios ortogonales clásicos . Son ortogonales con respecto al peso en el intervalo . Los polinomios de Gegenbauer , y por lo tanto también los polinomios de Legendre , Zernike y Chebyshev , son casos especiales de los polinomios de Jacobi. [1] PAG norte ( alfa , β ) ( incógnita ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)} ( 1 − incógnita ) alfa ( 1 + incógnita ) β {\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }} [ − 1 , 1 ] {\estilo de visualización [-1,1]}
Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por Carl Gustav Jacob Jacobi .
Definiciones
A través de la función hipergeométrica Los polinomios de Jacobi se definen a través de la función hipergeométrica de la siguiente manera: [2]
PAG norte ( alfa , β ) ( el ) = ( alfa + 1 ) norte norte ! 2 F 1 ( − norte , 1 + alfa + β + norte ; alfa + 1 ; 1 2 ( 1 − el ) ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),} donde es el símbolo de Pochhammer (para el factorial descendente). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo que se obtiene la siguiente expresión equivalente: ( alfa + 1 ) norte {\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
PAG norte ( alfa , β ) ( el ) = Γ ( alfa + norte + 1 ) norte ! Γ ( alfa + β + norte + 1 ) ∑ metro = 0 norte ( norte metro ) Γ ( alfa + β + norte + metro + 1 ) Γ ( alfa + metro + 1 ) ( el − 1 2 ) metro . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}
La fórmula de Rodrigues Una definición equivalente la da la fórmula de Rodrigues : [1] [3]
PAG norte ( alfa , β ) ( el ) = ( − 1 ) norte 2 norte norte ! ( 1 − el ) − alfa ( 1 + el ) − β d norte d el norte { ( 1 − el ) alfa ( 1 + el ) β ( 1 − el 2 ) norte } . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.} Si , entonces se reduce a los polinomios de Legendre : alfa = β = 0 {\displaystyle \alpha =\beta =0}
PAG norte ( el ) = 1 2 norte norte ! d norte d el norte ( el 2 − 1 ) norte . {\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}\;.}
Expresión alternativa para argumento real En realidad, el polinomio de Jacobi se puede escribir alternativamente como incógnita {\estilo de visualización x}
PAG norte ( alfa , β ) ( incógnita ) = ∑ s = 0 norte ( norte + alfa norte − s ) ( norte + β s ) ( incógnita − 1 2 ) s ( incógnita + 1 2 ) norte − s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose ns}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{ns}} y para entero norte {\estilo de visualización n}
( el norte ) = { Γ ( el + 1 ) Γ ( norte + 1 ) Γ ( el − norte + 1 ) norte ≥ 0 0 norte < 0 {\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}} ¿Dónde está la función gamma ? Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)}
En el caso especial de que las cuatro cantidades , , ,
sean números enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como n {\displaystyle n} n + α {\displaystyle n+\alpha } n + β {\displaystyle n+\beta } n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta }
La suma se extiende a todos los valores enteros para los cuales los argumentos de los factoriales son no negativos. s {\displaystyle s}
Casos especiales P 0 ( α , β ) ( z ) = 1 , {\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,} P 1 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) + ( α + β + 2 ) z − 1 2 , {\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},} P 2 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 + ( α + 2 ) ( α + β + 3 ) z − 1 2 + ( α + β + 3 ) ( α + β + 4 ) 2 ( z − 1 2 ) 2 . {\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.}
Propiedades básicas
Ortogonalidad Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , α , β > − 1. {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.} Tal como se define, no tienen norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando . n = m {\displaystyle n=m}
Aunque no produce una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
Relación de simetría Los polinomios tienen la relación de simetría
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);} Por lo tanto, el otro valor terminal es
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
Derivados La derivada ésima de la expresión explícita conduce a k {\displaystyle k}
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}
Ecuación diferencial El polinomio de Jacobi es una solución de la ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden [1] P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0. {\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}
Relaciones de recurrencia La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de fijo es : [1] α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
2 n ( n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( 2 n + α + β − 1 ) { ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) z + α 2 − β 2 } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( n + α − 1 ) ( n + β − 1 ) ( 2 n + α + β ) P n − 2 ( α , β ) ( z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}} para . Escribir para abreviar , y , esto se convierte en términos de n = 2 , 3 , … {\displaystyle n=2,3,\ldots } a := n + α {\displaystyle a:=n+\alpha } b := n + β {\displaystyle b:=n+\beta } c := a + b = 2 n + α + β {\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta } a , b , c {\displaystyle a,b,c}
2 n ( c − n ) ( c − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( c − 1 ) { c ( c − 2 ) z + ( a − b ) ( c − 2 n ) } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( a − 1 ) ( b − 1 ) c P n − 2 ( α , β ) ( z ) . {\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).} Dado que los polinomios de Jacobi pueden describirse en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recurrencias equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades
( z − 1 ) d d z P n ( α , β ) ( z ) = 1 2 ( z − 1 ) ( 1 + α + β + n ) P n − 1 ( α + 1 , β + 1 ) = n P n ( α , β ) − ( α + n ) P n − 1 ( α , β + 1 ) = ( 1 + α + β + n ) ( P n ( α , β + 1 ) − P n ( α , β ) ) = ( α + n ) P n ( α − 1 , β + 1 ) − α P n ( α , β ) = 2 ( n + 1 ) P n + 1 ( α , β − 1 ) − ( z ( 1 + α + β + n ) + α + 1 + n − β ) P n ( α , β ) 1 + z = ( 2 β + n + n z ) P n ( α , β ) − 2 ( β + n ) P n ( α , β − 1 ) 1 + z = 1 − z 1 + z ( β P n ( α , β ) − ( β + n ) P n ( α + 1 , β − 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}
Función generadora La función generadora de los polinomios de Jacobi está dada por
∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( z ) t n = 2 α + β R − 1 ( 1 − t + R ) − α ( 1 + t + R ) − β , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },} dónde
R = R ( z , t ) = ( 1 − 2 z t + t 2 ) 1 2 , {\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,} y la rama de raíz cuadrada se elige de modo que . [1] R ( z , 0 ) = 1 {\displaystyle R(z,0)=1}
Asintótica de polinomios de Jacobi Porque en el interior de , la asintótica de para grande está dada por la fórmula de Darboux [1] x {\displaystyle x} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} n {\displaystyle n}
P n ( α , β ) ( cos θ ) = n − 1 2 k ( θ ) cos ( N θ + γ ) + O ( n − 3 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),} dónde
k ( θ ) = π − 1 2 sin − α − 1 2 θ 2 cos − β − 1 2 θ 2 , N = n + 1 2 ( α + β + 1 ) , γ = − π 2 ( α + 1 2 ) , 0 < θ < π {\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}} y el término " " es uniforme en el intervalo para cada . O {\displaystyle O} [ ε , π − ε ] {\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
La asintótica de los polinomios de Jacobi cerca de los puntos está dada por la fórmula de Mehler-Heine ± 1 {\displaystyle \pm 1}
lim n → ∞ n − α P n ( α , β ) ( cos ( z n ) ) = ( z 2 ) − α J α ( z ) lim n → ∞ n − β P n ( α , β ) ( cos ( π − z n ) ) = ( z 2 ) − β J β ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}} donde los límites son uniformes para en un dominio acotado . z {\displaystyle z}
La asintótica exterior es menos explícita. [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
Aplicaciones
Matriz D de Wigner La expresión ( 1 ) permite la expresión de la matriz d de Wigner (para ) en términos de polinomios de Jacobi: [4] d m ′ , m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )} 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }
d m ′ m j ( ϕ ) = ( − 1 ) m − m ′ − | m − m ′ | 2 [ ( j + M ) ! ( j − M ) ! ( j + N ) ! ( j − N ) ! ] 1 2 ( sin ϕ 2 ) | m − m ′ | ( cos ϕ 2 ) | m + m ′ | P j − m ( | m − m ′ | , | m + m ′ | ) ( cos ϕ ) , {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}
dónde . M = max ( | m | , | m ′ | ) , N = min ( | m | , | m ′ | ) {\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}
Véase también
Notas ^ abcdef Szegő, Gábor (1939). "IV. Polinomios de Jacobi". Polinomios ortogonales. Colloquium Publications. Vol. XXIII. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1 0372517 . ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 561. ISBN 978-0-486-61272-0 ^ PK Suetin (2001) [1994], "Polinomios de Jacobi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press ^ Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Lectura: Addison-Wesley.
Lectura adicional Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 71, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6 ISBN 978-0-521-78988-2 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas 978-0-521-19225-5
Enlaces externos
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![{\estilo de visualización [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2aec0a4485c35292703c489dbe3b0374cac6edc)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {mm'-|mm'|}{2}}[{\frac {(j+M)!(jM)!}{(j+N)!(jN)!}}]^{\frac {1}{2}}(\sin {\tfrac {\phi }{2}})^{|mm'|}(\cos {\tfrac {\phi }{2}})^{|m+m'|}P_{jm}^{(|mm'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0cacbe3835ed68a78b6056b3e33bbc611e93b8b)
