Fórmula de Mehler-Heine

Fórmula que describe el comportamiento asintótico de los polinomios de Legendre

En matemáticas, la fórmula de Mehler-Heine introducida por Gustav Ferdinand Mehler ^[1] y Eduard Heine ^[2] describe el comportamiento asintótico de los polinomios de Legendre cuando el índice tiende al infinito, cerca de los bordes del soporte del peso. Existen generalizaciones a otros polinomios ortogonales clásicos , que también se denominan fórmula de Mehler-Heine. La fórmula complementa las fórmulas de Darboux que describen las asintóticas en el interior y fuera del soporte.

Polinomios de Legendre

El caso más simple de la fórmula de Mehler-Heine establece que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }P_{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{2n^{2}}}\right)=J_{0}(z),}$

donde P _n es el polinomio de Legendre de orden n y J ₀ la función de Bessel de orden 0. El límite es uniforme sobre z en un dominio acotado arbitrario en el plano complejo .

Polinomios de Jacobi

La generalización a polinomios de Jacobi P.^{( α , β )}
_norteestá dado por Gábor Szegő ^[3] de la siguiente manera

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(1-{\frac {z^{2}}{2n^{2}}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),}$

donde J _α es la función de Bessel de orden α .

Polinomios de Laguerre

Utilizando polinomios de Laguerre generalizados y funciones hipergeométricas confluentes , se pueden escribir como

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z^{2}}{4n}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),}$

donde l^{( α )}
_nortees la función de Laguerre.

Polinomios de Hermite

Usando las expresiones que equivalen a los polinomios de Hermite y los polinomios de Laguerre donde existen dos ecuaciones , ^[4] se pueden escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{4^{n}n!}}{\sqrt {n}}H_{2n}\left({\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\frac {1}{2}}J_{-{\frac {1}{2}}}(z)\\\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{4^{n}n!}}H_{2n+1}\left({\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right)&=(2z)^{\frac {1}{2}}J_{\frac {1}{2}}(z),\end{aligned}}}$

donde H _n es la función de Hermite.

Referencias

1. Mehler, GF (1868). "Ueber die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper" (PDF) . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 68 : 134-150.
2. Heine, E. (1861). Handbuch der Kugelfunktionen. Teoría y Anwendung. Berlín: Georg Reimer.
3. Szegő, Gábor (1939). Polinomios ortogonales . Publicaciones del Coloquio. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1023-1. SEÑOR  0372517.
4. Koekoek, Roelof; Lesky, PA; Swarttouw, RF (2010). Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-05014-5. ISBN 978-3-642-05013-8.