Polinomios ortogonales clásicos

Tipo de polinomios ortogonales

En matemáticas, los polinomios ortogonales clásicos son los polinomios ortogonales más utilizados : los polinomios de Hermite , los polinomios de Laguerre , los polinomios de Jacobi (incluidos como caso especial los polinomios de Gegenbauer , los polinomios de Chebyshev y los polinomios de Legendre ^[1] ).

Tienen muchas aplicaciones importantes en áreas como la física matemática (en particular, la teoría de matrices aleatorias ), la teoría de la aproximación , el análisis numérico y muchas otras.

Los polinomios ortogonales clásicos aparecieron a principios del siglo XIX en las obras de Adrien-Marie Legendre , quien introdujo los polinomios de Legendre. A finales del siglo XIX, el estudio de fracciones continuas para resolver el problema de momentos por parte de PL Chebyshev y luego de AA Markov y TJ Stieltjes condujo a la noción general de polinomios ortogonales.

Para polinomios dados y los polinomios ortogonales clásicos se caracterizan por ser soluciones de la ecuación diferencial ${\displaystyle Q,L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle Q(x)\,f_{n}^{\prime \prime }+L(x)\,f_{n}^{\prime }+\lambda _{n}f_{n}=0}$

con constantes por determinar . ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} }$

Existen varias definiciones más generales de polinomios clásicos ortogonales; por ejemplo, Andrews y Askey (1985) utilizan el término para todos los polinomios en el esquema de Askey .

Definición

En general, los polinomios ortogonales con respecto a un peso satisfacen ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle W:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\deg P_{n}=n~,\quad n=0,1,2,\ldots \\&\int P_{m}(x)\,P_{n}(x)\,W(x)\,dx=0~,\quad m\neq n~.\end{aligned}}}$

Las relaciones anteriores definen hasta la multiplicación por un número. Se utilizan varias normalizaciones para fijar la constante, por ejemplo ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \int P_{n}(x)^{2}W(x)\,dx=1~.}$

Los polinomios ortogonales clásicos corresponden a las siguientes tres familias de pesos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(Jacobi)}}\quad &W(x)={\begin{cases}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }~,&-1\leq x\leq 1\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\{\text{(Hermite)}}\quad &W(x)=\exp(-x^{2})\\{\text{(Laguerre)}}\quad &W(x)={\begin{cases}x^{\alpha }\exp(-x)~,&x\geq 0\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

La normalización estándar (también llamada estandarización ) se detalla a continuación.

Polinomios de Jacobi

Para los polinomios de Jacobi vienen dados por la fórmula ${\displaystyle \alpha ,\,\beta >-1}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.}$

Están normalizados (estandarizados) por

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n},}$

y satisface la condición de ortogonalidad

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx\\={}&{\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.\end{aligned}}}$

Los polinomios de Jacobi son soluciones de la ecuación diferencial.

${\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0~.}$

Casos especiales importantes

Los polinomios de Jacobi se llaman polinomios de Gegenbauer (con parámetro ) ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle \gamma =\alpha +1/2}$

Para , estos se denominan polinomios de Legendre (para los cuales el intervalo de ortogonalidad es [−1, 1] y la función de peso es simplemente 1): ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1,\,P_{1}(x)=x,\,P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}},\,P_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}},\ldots }$

Para , se obtienen los polinomios de Chebyshev (de segunda y primera clase, respectivamente). ${\displaystyle \alpha =\beta =\pm 1/2}$

Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite están definidos por ^[2]

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}}$

Satisfacen la condición de ortogonalidad.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{mn}~,}$

y la ecuación diferencial

${\displaystyle y''-2xy'+2n\,y=0~.}$

Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre generalizados se definen por

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)}$

(los polinomios clásicos de Laguerre corresponden a .) ${\displaystyle \alpha =0}$

Satisfacen la relación de ortogonalidad.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m}~,}$

y la ecuación diferencial

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0~.}$

Ecuación diferencial

Los polinomios ortogonales clásicos surgen de una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0}$

donde Q es un polinomio cuadrático dado (como máximo) y L es un polinomio lineal dado. Se encuentran la función f y la constante λ .

(Tenga en cuenta que tiene sentido que dicha ecuación tenga una solución polinómica.

Cada término de la ecuación es un polinomio y los grados son consistentes).

Esta es una ecuación del tipo Sturm-Liouville . Estas ecuaciones generalmente tienen singularidades en sus funciones de solución f, excepto valores particulares de λ . Se pueden considerar como problemas de vectores propios/valores propios : Dejando que D sea el operador diferencial , y cambiando el signo de λ , el problema es encontrar los vectores propios (funciones propias) f, y los valores propios correspondientes λ , tales que f no tiene singularidades y D ( f ) = λf . ${\displaystyle D(f)=Qf''+Lf'}$

Las soluciones de esta ecuación diferencial tienen singularidades a menos que λ adopte valores específicos. Hay una serie de números λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ , ... que condujeron a una serie de soluciones polinómicas P ₀ , P ₁ , P ₂ , ... si se cumple uno de los siguientes conjuntos de condiciones:

1. En realidad, Q es cuadrático, L es lineal, Q tiene dos raíces reales distintas, la raíz de L se encuentra estrictamente entre las raíces de Q y los términos principales de Q y L tienen el mismo signo.
2. Q en realidad no es cuadrático, pero es lineal, L es lineal, las raíces de Q y L son diferentes y los términos principales de Q y L tienen el mismo signo si la raíz de L es menor que la raíz de Q , o viceversa. viceversa.
3. Q es simplemente una constante distinta de cero, L es lineal y el término principal de L tiene el signo opuesto de Q.

Estos tres casos conducen a polinomios tipo Jacobi , tipo Laguerre y tipo Hermite , respectivamente.

En cada uno de estos tres casos, tenemos lo siguiente:

• Las soluciones son una serie de polinomios P _​​0 , P ₁ , P ₂ , ... , cada P _n tiene grado n y corresponde a un número λ _n .
• El intervalo de ortogonalidad está limitado por las raíces que tenga Q.
• La raíz de L está dentro del intervalo de ortogonalidad.
• Dejemos que los polinomios son ortogonales bajo la función de peso. ${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}}$ ${\displaystyle W(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}}$
• W ( x ) no tiene ceros ni infinitos dentro del intervalo, aunque puede tener ceros o infinitos en los puntos finales.
• W ( x ) da un producto interno finito a cualquier polinomio.
• Se puede hacer que W ( x ) sea mayor que 0 en el intervalo. (Si es necesario, niegue toda la ecuación diferencial para que Q ( x ) > 0 dentro del intervalo).

Debido a la constante de integración, la cantidad R ( x ) se determina sólo hasta una constante multiplicativa positiva arbitraria. Se usará sólo en ecuaciones diferenciales homogéneas (donde esto no importa) y en la definición de la función de peso (que también puede ser indeterminada). Las tablas a continuación darán los valores "oficiales" de R ( x ) y W. ( X ).

La fórmula de Rodrigues

Bajo los supuestos de la sección anterior, P _n ( x ) es proporcional a ${\displaystyle {\frac {1}{W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).}$

Esto se conoce como la fórmula de Rodrigues , en honor a Olinde Rodrigues . A menudo se escribe

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{{e_{n}}W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)}$

donde los números e _n dependen de la estandarización. Los valores estándar de e _n se darán en las tablas siguientes.

Los números λ norte

Bajo los supuestos de la sección anterior, tenemos

${\displaystyle \lambda _{n}=-n\left({\frac {n-1}{2}}Q''+L'\right).}$

(Dado que Q es cuadrático y L es lineal, y son constantes, estos son solo números). ${\displaystyle Q''}$ ${\displaystyle L'}$

Segunda forma de la ecuación diferencial.

Dejar

${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}.}$

Entonces

${\displaystyle (Ry')'=R\,y''+R'\,y'=R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'.}$

Ahora multiplica la ecuación diferencial.

${\displaystyle Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0}$

por R / Q , consiguiendo

${\displaystyle R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

o

${\displaystyle (Ry')'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0.}$

Ésta es la forma estándar de Sturm-Liouville para la ecuación.

Tercera forma de la ecuación diferencial.

Dejar ${\displaystyle S(x)={\sqrt {R(x)}}=e^{\int {\frac {L(x)}{2\,Q(x)}}\,dx}.}$

Entonces

${\displaystyle S'={\frac {S\,L}{2\,Q}}.}$

Ahora multiplica la ecuación diferencial.

${\displaystyle Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0}$

por S / Q , obteniendo

${\displaystyle S\,y''+{\frac {S\,L}{Q}}\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

o

${\displaystyle S\,y''+2\,S'\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

Pero entonces ${\displaystyle (S\,y)''=S\,y''+2\,S'\,y'+S''\,y}$

${\displaystyle (S\,y)''+\left({\frac {S\,\lambda }{Q}}-S''\right)\,y=0,}$

o, dejando u = Sy ,

${\displaystyle u''+\left({\frac {\lambda }{Q}}-{\frac {S''}{S}}\right)\,u=0.}$

Fórmulas que involucran derivadas

Bajo los supuestos de la sección anterior, sea P^{[ r ]}
_nortedenota la r -ésima derivada de P _n . (Ponemos la "r" entre paréntesis para evitar confusión con un exponente). P^{[ r ]}
_nortees un polinomio de grado n  −  r . Luego tenemos lo siguiente:

• (ortogonalidad) Para r fijo, la secuencia polinómica P^{[ r ]}
  _r, PAG^{[ r ]}
  _{r + 1}, PAG^{[ r ]}
  _{r + 2}, ... son ortogonales, ponderados por . ${\displaystyle WQ^{r}}$
• ( fórmula generalizada de Rodrigues ) P^{[ r ]}
  _nortees proporcional a ${\displaystyle {\frac {1}{W(x)[Q(x)]^{r}}}\ {\frac {d^{n-r}}{dx^{n-r}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).}$
• (ecuación diferencial) P^{[ r ]}
  _nortees una solución de , donde λ _r es la misma función que λ _n , es decir, ${\displaystyle {Q}\,y''+(rQ'+L)\,y'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]\,y=0}$ ${\displaystyle \lambda _{r}=-r\left({\frac {r-1}{2}}Q''+L'\right)}$
• (ecuación diferencial, segunda forma) P^{[ r ]}
  _nortees una solución de ${\displaystyle (RQ^{r}y')'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]RQ^{r-1}\,y=0}$

También hay algunas recurrencias mixtas. En cada uno de ellos, los números a , b y c dependen de n y r , y no están relacionados en las distintas fórmulas.

• ${\displaystyle P_{n}^{[r]}=aP_{n+1}^{[r+1]}+bP_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}}$
• ${\displaystyle P_{n}^{[r]}=(ax+b)P_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}}$
• ${\displaystyle QP_{n}^{[r+1]}=(ax+b)P_{n}^{[r]}+cP_{n-1}^{[r]}}$

Hay una enorme cantidad de otras fórmulas que involucran polinomios ortogonales de diversas maneras. Aquí hay una pequeña muestra de ellos, relacionada con los polinomios de Chebyshev, Laguerre asociado y Hermite:

• ${\displaystyle 2\,T_{m}(x)\,T_{n}(x)=T_{m+n}(x)+T_{m-n}(x)}$
• ${\displaystyle H_{2n}(x)=(-4)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})}$
• ${\displaystyle H_{2n+1}(x)=2(-4)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2})}$

Ortogonalidad

La ecuación diferencial para un λ particular se puede escribir (omitiendo la dependencia explícita de x)

${\displaystyle Q{\ddot {f}}_{n}+L{\dot {f}}_{n}+\lambda _{n}f_{n}=0}$

multiplicando por rendimientos ${\displaystyle (R/Q)f_{m}}$

${\displaystyle Rf_{m}{\ddot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}Lf_{m}{\dot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{n}f_{m}f_{n}=0}$

y al invertir los subíndices se obtiene

${\displaystyle Rf_{n}{\ddot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}Lf_{n}{\dot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{m}f_{n}f_{m}=0}$

restando e integrando:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})+{\frac {R}{Q}}L(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]\,dx+(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

pero se puede ver que

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]=R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})\,\,+\,\,R{\frac {L}{Q}}(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})}$

de modo que:

${\displaystyle \left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]_{a}^{b}\,\,+\,\,(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

Si los polinomios f son tales que el término de la izquierda es cero, y para , entonces se mantendrá la relación de ortogonalidad: ${\displaystyle \lambda _{m}\neq \lambda _{n}}$ ${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

para . ${\displaystyle m\neq n}$

Derivación de la ecuación diferencial

Todas las secuencias polinómicas que surgen de la ecuación diferencial anterior son equivalentes, bajo escala y/o desplazamiento del dominio y estandarización de los polinomios, a clases más restringidas. Esas clases restringidas son exactamente "polinomios ortogonales clásicos".

• Cada secuencia polinómica tipo Jacobi puede tener su dominio desplazado y/o escalado de modo que su intervalo de ortogonalidad sea [−1, 1] y tenga Q = 1 −  x ² . Luego pueden estandarizarse en polinomios de Jacobi . Hay varias subclases importantes de estos: Gegenbauer , Legendre y dos tipos de Chebyshev . ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$
• Cada secuencia polinómica tipo Laguerre puede tener su dominio desplazado, escalado y/o reflejado de modo que su intervalo de ortogonalidad sea y tenga Q = x . Luego pueden estandarizarse en los polinomios de Associated Laguerre . Los polinomios simples de Laguerre son una subclase de estos. ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle \ L_{n}}$
• Cada secuencia polinomial tipo Hermite puede tener su dominio desplazado y/o escalado de manera que su intervalo de ortogonalidad sea y tenga Q = 1 y L(0) = 0. Luego pueden estandarizarse en los polinomios de Hermite . ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Debido a que todas las secuencias polinomiales que surgen de una ecuación diferencial de la manera descrita anteriormente son trivialmente equivalentes a los polinomios clásicos, siempre se utilizan los polinomios clásicos reales.

polinomio de Jacobi

Los polinomios tipo Jacobi, una vez que se les ha desplazado y escalado su dominio de modo que el intervalo de ortogonalidad sea [−1, 1], todavía tienen dos parámetros por determinar. Son y en los polinomios de Jacobi, escritos . Tenemos y . Se requiere que ambos y sean mayores que −1. (Esto coloca la raíz de L dentro del intervalo de ortogonalidad). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$ ${\displaystyle Q(x)=1-x^{2}}$ ${\displaystyle L(x)=\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)\,x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Cuando y no son iguales, estos polinomios no son simétricos con respecto a x = 0. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

La ecuación diferencial

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]\,x)\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1+\alpha +\beta )}$

es la ecuación de Jacobi .

Para más detalles, consulte Polinomios de Jacobi .

Polinomios de Gegenbauer

Cuando se igualan los parámetros y en los polinomios de Jacobi, se obtienen los polinomios de Gegenbauer o ultraesféricos . Están escritos y definidos como ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (2\alpha \!+\!n)\,\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}{\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (\alpha \!+\!n\!+\!1/2)}}\!\ P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

Tenemos y . Se requiere que el parámetro sea mayor que −1/2. ${\displaystyle Q(x)=1-x^{2}}$ ${\displaystyle L(x)=-(2\alpha +1)\,x}$ ${\displaystyle \alpha }$

(Por cierto, la estandarización dada en la siguiente tabla no tendría sentido para α = 0 y n ≠ 0, porque establecería los polinomios en cero. En ese caso, la estandarización aceptada establece en lugar del valor dado en la tabla.) ${\displaystyle C_{n}^{(0)}(1)={\frac {2}{n}}}$

Haciendo caso omiso de las consideraciones anteriores, el parámetro está estrechamente relacionado con las derivadas de : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1)}(x)={\frac {1}{2\alpha }}\!\ {\frac {d}{dx}}C_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

o, más generalmente:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +m)}(x)={\frac {\Gamma (\alpha )}{2^{m}\Gamma (\alpha +m)}}\!\ C_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).}$

Todos los demás polinomios clásicos tipo Jacobi (Legendre, etc.) son casos especiales de los polinomios de Gegenbauer, que se obtienen eligiendo un valor de y eligiendo una estandarización. ${\displaystyle \alpha }$

Para obtener más detalles, consulte Polinomios de Gegenbauer .

Polinomios de Legendre

La ecuación diferencial es

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1).}$

Esta es la ecuación de Legendre .

La segunda forma de la ecuación diferencial es:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[(1-x^{2})\,y']+\lambda \,y=0.}$

La relación de recurrencia es

${\displaystyle (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x).}$

Una recurrencia mixta es

${\displaystyle P_{n+1}^{[r+1]}(x)=P_{n-1}^{[r+1]}(x)+(2n+1)\,P_{n}^{[r]}(x).}$

La fórmula de Rodrigues es

${\displaystyle P_{n}(x)=\,{\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([x^{2}-1]^{n}\right).}$

Para más detalles, consulte Polinomios de Legendre .

Polinomios de Legendre asociados

Los polinomios asociados de Legendre , denotados donde y son números enteros con , se definen como ${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant \ell }$

${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\,(1-x^{2})^{m/2}\ P_{\ell }^{[m]}(x).}$

La m entre paréntesis (para evitar confusión con un exponente) es un parámetro. La m entre paréntesis denota la m -ésima derivada del polinomio de Legendre.

Estos "polinomios" tienen nombres incorrectos: no son polinomios cuando m es impar.

Tienen una relación de recurrencia:

${\displaystyle (\ell +1-m)\,P_{\ell +1}^{(m)}(x)=(2\ell +1)x\,P_{\ell }^{(m)}(x)-(\ell +m)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x).}$

Para m fijo , la secuencia es ortogonal sobre [−1, 1], con peso 1. ${\displaystyle P_{m}^{(m)},P_{m+1}^{(m)},P_{m+2}^{(m)},\dots }$

Para m dado , son las soluciones de ${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}$

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0\qquad {\text{ with }}\qquad \lambda =\ell (\ell +1).}$

Polinomios de Chebyshev

La ecuación diferencial es

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n^{2}.}$

Esta es la ecuación de Chebyshev .

La relación de recurrencia es

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).}$

La fórmula de Rodrigues es

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {\Gamma (1/2){\sqrt {1-x^{2}}}}{(-2)^{n}\,\Gamma (n+1/2)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([1-x^{2}]^{n-1/2}\right).}$

Estos polinomios tienen la propiedad de que, en el intervalo de ortogonalidad,

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\,\arccos(x)).}$

(Para demostrarlo, utilice la fórmula de recurrencia).

Esto significa que todos sus mínimos y máximos locales tienen valores de −1 y +1, es decir, los polinomios están "nivelados". Debido a esto, la expansión de funciones en términos de polinomios de Chebyshev a veces se utiliza para aproximaciones polinómicas en bibliotecas matemáticas informáticas.

Algunos autores utilizan versiones de estos polinomios que se han desplazado de modo que el intervalo de ortogonalidad sea [0, 1] o [−2, 2].

También existen polinomios de Chebyshev de segunda clase , denotados ${\displaystyle U_{n}}$

Tenemos:

${\displaystyle U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'.}$

Para obtener más detalles, incluidas las expresiones de los primeros polinomios, consulte Polinomios de Chebyshev .

Polinomios de Laguerre

Los polinomios similares a Laguerre más generales, después de que el dominio ha sido desplazado y escalado, son los polinomios de Laguerre asociados (también llamados polinomios de Laguerre generalizados), denotados . Hay un parámetro que puede ser cualquier número real estrictamente mayor que −1. El parámetro se pone entre paréntesis para evitar confusión con un exponente. Los polinomios simples de Laguerre son simplemente la versión de estos: ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).}$

La ecuación diferencial es

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+\lambda \,y=0{\text{ with }}\lambda =n.}$

Esta es la ecuación de Laguerre .

La segunda forma de la ecuación diferencial es

${\displaystyle (x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+\lambda \,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0.}$

La relación de recurrencia es

${\displaystyle (n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x).}$

La fórmula de Rodrigues es

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n+\alpha }\,e^{-x}\right).}$

El parámetro está estrechamente relacionado con las derivadas de : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=-{\frac {d}{dx}}L_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

o, más generalmente:

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +m)}(x)=(-1)^{m}L_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).}$

La ecuación de Laguerre se puede manipular en una forma que sea más útil en aplicaciones:

${\displaystyle u=x^{\frac {\alpha -1}{2}}e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)}$

es una solución de

${\displaystyle u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\alpha ^{2}-1}{4x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n+{\frac {\alpha +1}{2}}.}$

Esto puede manipularse aún más. Cuando es un número entero y : ${\displaystyle \ell ={\frac {\alpha -1}{2}}}$ ${\displaystyle n\geq \ell +1}$

${\displaystyle u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)}$

es una solución de

${\displaystyle u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n.}$

La solución a menudo se expresa en términos de derivadas en lugar de polinomios de Laguerre asociados:

${\displaystyle u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n+\ell }^{[2\ell +1]}(x).}$

Esta ecuación surge en la mecánica cuántica, en la parte radial de la solución de la ecuación de Schrödinger para un átomo de un electrón.

Los físicos suelen utilizar una definición para los polinomios de Laguerre que es mayor, en un factor de , que la definición utilizada aquí. ${\displaystyle (n!)}$

Para obtener más detalles, incluidas las expresiones de los primeros polinomios, consulte Polinomios de Laguerre .

Polinomios de Hermite

La ecuación diferencial es

${\displaystyle y''-2xy'+\lambda \,y=0,\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =2n.}$

Esta es la ecuación de Hermite .

La segunda forma de la ecuación diferencial es

${\displaystyle (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0.}$

La tercera forma es

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}\,y)''+(\lambda +1-x^{2})(e^{-x^{2}/2}\,y)=0.}$

La relación de recurrencia es

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x).}$

La fórmula de Rodrigues es

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\,e^{x^{2}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right).}$

Los primeros polinomios de Hermite son

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

Se pueden definir las funciones de Hermite asociadas.

${\displaystyle \psi _{n}(x)=(h_{n})^{-1/2}\,e^{-x^{2}/2}H_{n}(x).}$

Debido a que el multiplicador es proporcional a la raíz cuadrada de la función de peso, estas funciones son ortogonales sin función de peso. ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

La tercera forma de la ecuación diferencial anterior, para las funciones de Hermite asociadas, es

${\displaystyle \psi ''+(\lambda +1-x^{2})\psi =0.}$

Las funciones de Hermite asociadas surgen en muchas áreas de las matemáticas y la física. En mecánica cuántica, son las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico. También son funciones propias (con valor propio (−in ⁾ de la transformada continua de Fourier .

Muchos autores, particularmente probabilistas, utilizan una definición alternativa de los polinomios de Hermite, con una función de peso de en lugar de . Si se usa la notación He para estos polinomios de Hermite y H para los anteriores, entonces estos pueden caracterizarse por ${\displaystyle e^{-x^{2}/2}}$ ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

${\displaystyle He_{n}(x)=2^{-n/2}\,H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Para más detalles, consulte Polinomios de Hermite .

Caracterizaciones de polinomios ortogonales clásicos.

Hay varias condiciones que distinguen a los polinomios ortogonales clásicos de los demás.

La primera condición fue encontrada por Sonine (y más tarde por Hahn), quienes demostraron que (hasta cambios lineales de variable) los polinomios ortogonales clásicos son los únicos cuyas derivadas también son polinomios ortogonales.

Bochner caracterizó los polinomios ortogonales clásicos en términos de sus relaciones de recurrencia.

Tricomi caracterizó los polinomios ortogonales clásicos como aquellos que tienen cierto análogo de la fórmula de Rodrigues .

Tabla de polinomios ortogonales clásicos.

La siguiente tabla resume las propiedades de los polinomios ortogonales clásicos. ^[3]

Ver también

• secuencia de apelación
• Esquema Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos.
• Secuencias polinomiales de tipo binomial.
• Polinomios biortogonales
• Serie de Fourier generalizada
• Medida secundaria
• secuencia sheffer
• Cálculo umbral

Notas

1. Ver Suetin (2001)
2. también se utilizan otras convenciones; ver polinomios de Hermite .
3. Véase Abramowitz y Stegun (1983)
4. es decir , los bordes del soporte del peso W.
5. ${\displaystyle h_{n}=\int P_{n}^{2}(x)W(x)\,dx}$
6. El coeficiente principal k _n de ${\displaystyle P_{n}(x)=k_{n}x^{n}+k'_{n}x^{n-1}+\cdots +k^{(n)}}$

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 773.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• Andrews, George E.; Askey, Richard (1985). "Polinomios ortogonales clásicos". En Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alfonso P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.). Polynômes orthogonaux et aplicaciones. Actas del simposio de Laguerre celebrado en Bar-le-Duc del 15 al 18 de octubre de 1984 . Apuntes de clases de matemáticas. vol. 1171. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 36–62. doi :10.1007/BFb0076530. ISBN 978-3-540-16059-5. SEÑOR  0838970.
• Chihara, Theodore Seio (1978). Introducción a los polinomios ortogonales . Gordon y Breach, Nueva York. ISBN 0-677-04150-0.
• Foncannon, JJ; Foncannon, JJ; Pekonen, Osmo (2008). "Revisión de polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable por Mourad Ismail". El inteligente matemático . 30 . Springer Nueva York: 54–60. doi :10.1007/BF02985757. ISSN  0343-6993. S2CID  118133026.
• Ismail, Mourad EH (2005). Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable. Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 0-521-78201-5.
• Jackson, Dunham (2004) [1941]. Series de Fourier y polinomios ortogonales . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Suetin, PK (2001) [1994], "Polinomios ortogonales clásicos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Szegő, Gábor (1939). Polinomios ortogonales. Publicaciones del Coloquio. vol. XXIII. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1023-1. SEÑOR  0372517.