Polinomios de Legendre asociados

Soluciones canónicas de la ecuación general de Legendre.

En matemáticas , los polinomios de Legendre asociados son las soluciones canónicas de la ecuación general de Legendre.

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

o equivalente

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

donde los índices ℓ y m (que son números enteros) se denominan grado y orden del polinomio de Legendre asociado, respectivamente. Esta ecuación tiene soluciones distintas de cero que no son singulares en [−1, 1] solo si ℓ y m son números enteros con 0 ≤ m ≤ ℓ , o con valores negativos trivialmente equivalentes. Cuando además m es par, la función es un polinomio . Cuando m es cero y ℓ entero, estas funciones son idénticas a los polinomios de Legendre . En general, cuando ℓ y m son números enteros, las soluciones regulares a veces se denominan "polinomios asociados de Legendre", aunque no son polinomios cuando m es impar. La clase completamente general de funciones con valores arbitrarios reales o complejos de ℓ y m son funciones de Legendre . En ese caso los parámetros suelen estar etiquetados con letras griegas.

La ecuación diferencial ordinaria de Legendre se encuentra con frecuencia en la física y otros campos técnicos. En particular, ocurre al resolver la ecuación de Laplace (y ecuaciones diferenciales parciales relacionadas ) en coordenadas esféricas . Los polinomios de Legendre asociados juegan un papel vital en la definición de armónicos esféricos .

Definición de parámetros enteros no negativos ℓ y m

Estas funciones se denotan , donde el superíndice indica el orden y no una potencia de P . Su definición más sencilla es en términos de derivadas de polinomios ordinarios de Legendre ( m ≥ 0) ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right),}$$

El factor (−1) ^m en esta fórmula se conoce como fase de Condon-Shortley . Algunos autores lo omiten. Que las funciones descritas por esta ecuación satisfacen la ecuación diferencial general de Legendre con los valores indicados de los parámetros ℓ y m se deduce derivando m por la ecuación de Legendre para P _ℓ : ^[1]

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$$

Además, dado que según la fórmula de Rodrigues ,

$${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$$

p^metroℓ
_​

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$$

Esta ecuación permite la extensión del rango de m a: − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Las definiciones de P _ℓ ^{± m} , resultantes de esta expresión por sustitución de ± m , son proporcionales. De hecho, igualar los coeficientes de potencias iguales en el lado izquierdo y derecho de

$${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$$

$${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$$

$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$$

Notaciones alternativas

Las siguientes notaciones alternativas también se utilizan en la literatura: ^[2]

$${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

Formulario cerrado

El polinomio asociado de Legendre también se puede escribir como: ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^{l}{\frac {k!}{(k-m)!}}\cdot x^{k-m}\cdot {\binom {l}{k}}{\binom {\frac {l+k-1}{2}}{l}}}$$

forma generalizada del coeficiente binomial

Ortogonalidad

Los polinomios de Legendre asociados no son mutuamente ortogonales en general. Por ejemplo, no es ortogonal a . Sin embargo, algunos subconjuntos son ortogonales. Suponiendo 0 ≤  m  ≤  ℓ , satisfacen la condición de ortogonalidad para m fijo : ${\displaystyle P_{1}^{1}}$ ${\displaystyle P_{2}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

Donde δ _{k , ℓ} es el delta de Kronecker .

Además, satisfacen la condición de ortogonalidad para ℓ fijo :

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

Negativo m y/o negativo ℓ

La ecuación diferencial es claramente invariante ante un cambio de signo de m .

Las funciones para m negativo se mostraron arriba como proporcionales a las de m positivo :

$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

(Esto se deriva de la definición de la fórmula de Rodrigues. Esta definición también hace que las diversas fórmulas de recurrencia funcionen para m positivo o negativo ).

$${\displaystyle {\text{If}}\quad |m|>\ell \,\quad {\text{then}}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$$

La ecuación diferencial también es invariante bajo un cambio de ℓ a − ℓ − 1 , y las funciones para ℓ negativo están definidas por

$${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,\dots ).}$$

Paridad

A partir de su definición, se puede verificar que las funciones de Associated Legendre son pares o impares según

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell -m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

Las primeras funciones de Legendre asociadas

Funciones de Legendre asociadas para m = 0

Funciones de Legendre asociadas para m = 1

Funciones de Legendre asociadas para m = 2

Las primeras funciones de Legendre asociadas, incluidas aquellas para valores negativos de m , son:

$${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\P_{1}^{0}(x)&=x\\P_{1}^{1}(x)&=-(1-x^{2})^{1/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\P_{2}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\P_{2}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{2}^{1}(x)&=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\P_{2}^{2}(x)&=3(1-x^{2})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\P_{3}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\P_{3}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\P_{3}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{3}^{1}(x)&={\tfrac {3}{2}}(1-5x^{2})(1-x^{2})^{1/2}\\P_{3}^{2}(x)&=15x(1-x^{2})\\P_{3}^{3}(x)&=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}^{-4}(x)&={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\P_{4}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\P_{4}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\P_{4}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\P_{4}^{0}(x)&={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{4}^{1}(x)&=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\P_{4}^{2}(x)&={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\P_{4}^{3}(x)&=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\P_{4}^{4}(x)&=105(1-x^{2})^{2}\end{aligned}}}$$

Fórmula de recurrencia

Estas funciones tienen varias propiedades de recurrencia:

$${\displaystyle (\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^{m}(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

Identidades útiles (valores iniciales para la primera recursión):

$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$$

$${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$$

$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$$

con !! el doble factorial .

La fórmula de Gaunt

La integral sobre el producto de tres polinomios de Legendre asociados (con órdenes coincidentes como se muestra a continuación) es un ingrediente necesario al desarrollar productos de polinomios de Legendre en una serie lineal en los polinomios de Legendre. Por ejemplo, esto resulta necesario cuando se realizan cálculos atómicos de la variedad Hartree-Fock donde se necesitan elementos matriciales del operador de Coulomb . Para esto tenemos la fórmula de Gaunt ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx={}&{}(-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}\\&{}\times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}\end{aligned}}}$$

1. los grados son números enteros no negativos ${\displaystyle l,m,n\geq 0}$
2. los tres órdenes son números enteros no negativos ${\displaystyle u,v,w\geq 0}$
3. ${\displaystyle u}$es el mayor de los tres órdenes
4. los pedidos se resumen ${\displaystyle u=v+w}$
5. los grados obedecen ${\displaystyle m\geq n}$

Otras cantidades que aparecen en la fórmula se definen como

$${\displaystyle 2s=l+m+n}$$

$${\displaystyle p=\max(0,\,n-m-u)}$$

$${\displaystyle q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$$

La integral es cero a menos que

1. la suma de grados es par por lo que es un numero entero ${\displaystyle s}$
2. se cumple la condición triangular ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$

Dong y Lemus (2002) ^[4] generalizaron la derivación de esta fórmula a integrales sobre un producto de un número arbitrario de polinomios de Legendre asociados.

Generalización mediante funciones hipergeométricas.

En realidad, estas funciones pueden definirse para parámetros y argumentos complejos generales:

$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$$

¿Dónde está la función gamma y es la función hipergeométrica? ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$$

Se denominan funciones de Legendre cuando se definen de esta forma más general. Satisfacen la misma ecuación diferencial que antes:

$${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$$

Dado que se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, tiene una segunda solución, definida como: ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$y ambos obedecen a las diversas fórmulas de recurrencia dadas anteriormente. ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

Reparametrización en términos de ángulos.

Estas funciones son más útiles cuando el argumento se reparametriza en términos de ángulos, dejando : ${\displaystyle x=\cos \theta }$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)}$$

Usando la relación , la lista dada arriba produce los primeros polinomios, parametrizados de esta manera, como: ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$$

Las relaciones de ortogonalidad dadas anteriormente se convierten en esta formulación: para fijo m , son ortogonales, parametrizadas por θ sobre , con peso : ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

Además, para ℓ fijo :

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

En términos de θ, ¿son soluciones de ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

Más precisamente, dado un número entero m 0, la ecuación anterior tiene soluciones no singulares solo cuando para ℓ un número entero ≥  m , y esas soluciones son proporcionales a . ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

Aplicaciones en física: armónicos esféricos

En muchas ocasiones en física , se producen polinomios de Legendre asociados en términos de ángulos donde interviene la simetría esférica . El ángulo de colatitud en coordenadas esféricas es el ángulo utilizado anteriormente. El ángulo de longitud, aparece en un factor multiplicador. Juntos forman un conjunto de funciones llamadas armónicos esféricos . Estas funciones expresan la simetría de las dos esferas bajo la acción del grupo de Lie SO(3). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Lo que hace que estas funciones sean útiles es que son fundamentales para la solución de la ecuación en la superficie de una esfera. En coordenadas esféricas θ (colatitud) y φ (longitud), el laplaciano es ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$$

Cuando la ecuación diferencial parcial

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$$

se resuelve mediante el método de separación de variables , se obtiene una parte dependiente de φ o para un entero m≥0, y una ecuación para la parte dependiente de θ ${\displaystyle \sin(m\phi )}$ ${\displaystyle \cos(m\phi )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

para lo cual las soluciones son con y . ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \ell {\geq }m}$ ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

Por lo tanto, la ecuación

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$$

tiene soluciones separadas no singulares sólo cuando , y esas soluciones son proporcionales a ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$$

y

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$$

Para cada elección de ℓ , hay 2ℓ + 1 funciones para los distintos valores de my opciones de seno y coseno. Todos son ortogonales tanto en ℓ como en m cuando se integran sobre la superficie de la esfera.

Las soluciones suelen escribirse en términos de exponenciales complejas :

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$$

armónicos esféricosm^[5] ${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$$

Las funciones armónicas esféricas forman un conjunto ortonormal completo de funciones en el sentido de la serie de Fourier . Los trabajadores en los campos de la geodesia, el geomagnetismo y el análisis espectral utilizan una fase y un factor de normalización diferentes a los indicados aquí (ver armónicos esféricos ).

Cuando una ecuación diferencial parcial tridimensional esféricamente simétrica se resuelve mediante el método de separación de variables en coordenadas esféricas, la parte que queda después de eliminar la parte radial suele tener la forma

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$$

y por tanto las soluciones son armónicos esféricos.

Generalizaciones

Los polinomios de Legendre están estrechamente relacionados con las series hipergeométricas . En forma de armónicos esféricos, expresan la simetría de las dos esferas bajo la acción del grupo de Lie SO(3). Hay muchos otros grupos de Lie además de SO (3), y existen generalizaciones análogas de los polinomios de Legendre para expresar las simetrías de grupos de Lie semisimples y espacios simétricos de Riemann . En términos generales, se puede definir un laplaciano en espacios simétricos; Las funciones propias del laplaciano pueden considerarse como generalizaciones de los armónicos esféricos a otros entornos.

Ver también

• Momento angular
• cuadratura gaussiana
• Polinomios de Legendre
• Armónicos esféricos
• La transformación de Whipple de las funciones de Legendre
• Polinomios de Laguerre
• Polinomios de Hermite

notas y referencias

1. Courant y Hilbert 1953, V, §10.
2. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 8". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 332.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
3. De John C. Slater Quantum Theory of Atomic Structure , McGraw-Hill (Nueva York, 1960), Volumen I, página 309, que cita el trabajo original de JA Gaunt, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , A228:151 ( 1929)
4. Dong SH, Lemus R., (2002), "La integral de superposición de tres polinomios de Legendre asociados", Appl. Matemáticas. Letón. 15, 541-546.
5. Esta identidad también se puede demostrar relacionando los armónicos esféricos con las matrices D de Wigner y el uso de la propiedad de inversión de tiempo de estas últimas. La relación entre las funciones de Legendre asociadas de ± m puede entonces demostrarse a partir de la identidad de conjugación compleja de los armónicos esféricos.

• Arfken, GB; Weber, HJ (2001), Métodos matemáticos para físicos , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; Sección 12.5. (Utiliza una convención de signos diferente).
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enlaces externos

• Polinomios de Legendre asociados en MathWorld
• Polinomios de Legendre en MathWorld
• Legendre y funciones relacionadas en DLMF