Armónicos esféricos

Funciones matemáticas especiales definidas en la superficie de una esfera.

Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos reales. Las porciones azules representan regiones donde la función es positiva y las porciones amarillas representan regiones donde es negativa. La distancia de la superficie desde el origen indica el valor absoluto de en dirección angular . ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$

En matemáticas y ciencias físicas , los armónicos esféricos son funciones especiales definidas en la superficie de una esfera . A menudo se emplean para resolver ecuaciones diferenciales parciales en muchos campos científicos. La tabla de armónicos esféricos contiene una lista de armónicos esféricos comunes.

Dado que los armónicos esféricos forman un conjunto completo de funciones ortogonales y, por tanto, una base ortonormal , cada función definida en la superficie de una esfera se puede escribir como una suma de estos armónicos esféricos. Esto es similar a las funciones periódicas definidas en un círculo que se pueden expresar como una suma de funciones circulares (senos y cosenos) mediante series de Fourier . Al igual que los senos y cosenos en las series de Fourier, los armónicos esféricos pueden organizarse por frecuencia angular (espacial) , como se ve en las filas de funciones en la ilustración de la derecha. Además, los armónicos esféricos son funciones básicas para representaciones irreducibles de SO(3) , el grupo de rotaciones en tres dimensiones, y por lo tanto juegan un papel central en la discusión teórica de grupos de SO(3).

Los armónicos esféricos se originan al resolver la ecuación de Laplace en los dominios esféricos. Las funciones que son soluciones de la ecuación de Laplace se llaman armónicos . A pesar de su nombre, los armónicos esféricos toman su forma más simple en coordenadas cartesianas , donde pueden definirse como polinomios homogéneos de grado que obedecen a la ecuación de Laplace. La conexión con las coordenadas esféricas surge inmediatamente si se utiliza la homogeneidad para extraer un factor de dependencia radial del polinomio de grado antes mencionado ; el factor restante puede considerarse como una función de las coordenadas angulares esféricas y únicamente, o equivalentemente, del vector unitario de orientación especificado por estos ángulos. En este contexto, pueden verse como la porción angular de un conjunto de soluciones de la ecuación de Laplace en tres dimensiones, y este punto de vista a menudo se toma como una definición alternativa. Observe, sin embargo, que los armónicos esféricos no son funciones en la esfera que sean armónicas con respecto al operador de Laplace-Beltrami para la métrica redonda estándar en la esfera: las únicas funciones armónicas en este sentido en la esfera son las constantes, ya que las funciones armónicas Satisfacer el principio de máxima . Los armónicos esféricos, como funciones en la esfera, son funciones propias del operador de Laplace-Beltrami (consulte la sección Dimensiones superiores a continuación). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle r^{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Un conjunto específico de armónicos esféricos, denotados o , se conocen como armónicos esféricos de Laplace, ya que fueron introducidos por primera vez por Pierre Simon de Laplace en 1782. ^[1] Estas funciones forman un sistema ortogonal y, por tanto, son básicas para la expansión de un sistema general. funcionan en la esfera como se mencionó anteriormente. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })}$

Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, incluida la representación de campos electrostáticos y electromagnéticos multipolares , configuraciones electrónicas , campos gravitacionales , geoides , campos magnéticos de cuerpos planetarios y estrellas, y la radiación cósmica de fondo de microondas . En los gráficos por computadora en 3D , los armónicos esféricos desempeñan un papel en una amplia variedad de temas, incluida la iluminación indirecta ( oclusión ambiental , iluminación global , transferencia de radiación precalculada , etc.) y el modelado de formas en 3D.

Historia

Pierre-Simon Laplace , 1749–1827

Los armónicos esféricos se investigaron por primera vez en relación con el potencial newtoniano de la ley de gravitación universal de Newton en tres dimensiones. En 1782, Pierre-Simon de Laplace había determinado , en su Mécanique Céleste , que el potencial gravitacional en un punto x asociado con un conjunto de masas puntuales m _i ubicadas en puntos x _i estaba dado por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$$

Cada término de la suma anterior es un potencial newtoniano individual para una masa puntual. Justo antes de ese momento, Adrien-Marie Legendre había investigado la expansión del potencial newtoniano en potencias de r = | x | yr 1 ₌ | x1 |_​ . Descubrió que si r ≤ r ₁ entonces

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$$

donde γ es el ángulo entre los vectores x y x ₁ . Las funciones son los polinomios de Legendre y se pueden derivar como un caso especial de armónicos esféricos. Posteriormente, en sus memorias de 1782, Laplace investigó estos coeficientes utilizando coordenadas esféricas para representar el ángulo γ entre x ₁ y x . (Consulte Aplicaciones de los polinomios de Legendre en física para obtener un análisis más detallado). ${\displaystyle P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$

En 1867, William Thomson (Lord Kelvin) y Peter Guthrie Tait introdujeron los armónicos esféricos sólidos en su Tratado de Filosofía Natural , y también introdujeron por primera vez el nombre de "armónicos esféricos" para estas funciones. Los armónicos sólidos eran soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Laplace. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

William Whewellarmónicos esféricos zonales

El desarrollo de las series de Fourier en el siglo XIX hizo posible la solución de una amplia variedad de problemas físicos en dominios rectangulares, como la solución de la ecuación de calor y la ecuación de onda . Esto podría lograrse mediante la expansión de funciones en series de funciones trigonométricas . Mientras que las funciones trigonométricas en una serie de Fourier representan los modos fundamentales de vibración en una cuerda , los armónicos esféricos representan los modos fundamentales de vibración de una esfera de manera muy similar. Muchos aspectos de la teoría de las series de Fourier podrían generalizarse tomando expansiones en armónicos esféricos en lugar de funciones trigonométricas. Además, de manera análoga a cómo las funciones trigonométricas pueden escribirse de manera equivalente como exponenciales complejas , los armónicos esféricos también poseían una forma equivalente como funciones de valores complejos. Esto fue una gran ayuda para los problemas que poseen simetría esférica , como los de la mecánica celeste estudiados originalmente por Laplace y Legendre.

La prevalencia de los armónicos esféricos ya en la física preparó el escenario para su importancia posterior en el nacimiento de la mecánica cuántica en el siglo XX . Los armónicos esféricos (de valores complejos) son funciones propias del cuadrado del operador de momento angular orbital ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,}$$

cuantificadas de los orbitales atómicos

Armónicos esféricos de Laplace

Armónicos esféricos reales (Laplace) para (de arriba a abajo) y (de izquierda a derecha). Los armónicos zonales, sectoriales y teselares se representan a lo largo de la columna de la izquierda, la diagonal principal y en otros lugares, respectivamente. (Los armónicos de orden negativo se mostrarían girados alrededor del eje z con respecto a los de orden positivo). ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle \ell =0,\dots ,4}$ ${\displaystyle m=0,\dots ,\ell }$ ${\displaystyle Y_{\ell (-m)}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$

Imagen alternativa para los armónicos esféricos reales . ${\displaystyle Y_{\ell m}}$

La ecuación de Laplace impone que el laplaciano de un campo escalar f es cero. (Aquí se entiende que el campo escalar es complejo, es decir, que corresponde a una función (suave) .) En coordenadas esféricas esto es: ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

Considere el problema de encontrar soluciones de la forma f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Por separación de variables , resultan dos ecuaciones diferenciales al imponer la ecuación de Laplace:

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

YY ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$

$${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

para algún número m . A priori, m es una constante compleja, pero debido a que Φ debe ser una función periódica cuyo período divide uniformemente a 2 π , m es necesariamente un número entero y Φ es una combinación lineal de las exponenciales complejas e ^{± imφ} . La función solución Y ( θ , φ ) es regular en los polos de la esfera, donde θ = 0, π . Imponer esta regularidad en la solución Θ de la segunda ecuación en los puntos límite del dominio es un problema de Sturm-Liouville que obliga al parámetro λ a tener la forma λ = ℓ ( ℓ + 1) para algún entero no negativo con ℓ ≥ | metro | ; esto también se explica a continuación en términos del momento angular orbital . Además, un cambio de variables t = cos θ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre , cuya solución es un múltiplo del polinomio P de Legendre asociado. ^metroℓ
_​(cos θ ) . Finalmente, la ecuación para R tiene soluciones de la forma R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1} ; requerir que la solución sea regular en todo R ³ fuerza a B = 0 . ^[3]

Aquí se supuso que la solución tenía la forma especial Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Para un valor dado de ℓ , hay 2 ℓ + 1 soluciones independientes de esta forma, una para cada entero m con − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Estas soluciones angulares son producto de funciones trigonométricas , aquí representadas como una exponencial compleja , y polinomios de Legendre asociados: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$

que cumplen

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Aquí se llama función armónica esférica de grado ℓ y orden m , es un polinomio de Legendre asociado , N es una constante de normalización, ^[4] y θ y φ representan colatitud y longitud, respectivamente. En particular, la colatitud θ , o ángulo polar, varía desde 0 en el Polo Norte, hasta π /2 en el Ecuador, y π en el Polo Sur, y la longitud φ , o azimut , puede asumir todos los valores con 0 ≤ φ. < 2π . Para un entero fijo ℓ , cada solución Y ( θ , φ ) , , del problema de valores propios ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$

combinación linealr ^ℓ Y ( θ , φ )polinomio homogéneo2 ℓ + 1 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

La solución general a la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado r ^ℓ , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta f=0}$

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

donde son constantes y los factores r ^ℓ Y _ℓ ^m se conocen como armónicos sólidos ( regulares ) . Tal expansión es válida en la pelota. ${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

Para , en su lugar se eligen los armónicos sólidos con potencias negativas de (los armónicos sólidos irregulares ). En ese caso, es necesario expandir la solución de regiones conocidas en la serie de Laurent (aproximadamente ), en lugar de la serie de Taylor (aproximadamente ) utilizada anteriormente, para hacer coincidir los términos y encontrar coeficientes de expansión de la serie . ${\displaystyle r>R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$

Momento angular orbital

En mecánica cuántica, los armónicos esféricos de Laplace se entienden en términos del momento angular orbital ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$$

ħħ = 1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Estos operadores conmutan y son operadores autoadjuntos densamente definidos en el espacio ponderado de Hilbert de funciones f integrables al cuadrado con respecto a la distribución normal como la función de peso en R ³ :

$${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$$

L ²operador positivo

Si Y es una función propia conjunta de L ² y L _z , entonces, por definición

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$$

mλmYφπ

$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$$

L _xL _yL _zλ ≥ m ²

Denote este espacio propio conjunto por E _{λ , m} , y defina los operadores de elevación y descenso por

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$$

L ₊L ₋L ²L ₊L ₋L _zálgebra de Lie lineal especial ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$$

L ₊  : E _{λ , m} → E _{λ , m +1}L ₋  : E _{λ , m} → E _{λ , m −1}L.^k
₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m + k}kλ ≥ m ²Y ∈ E _{λ , m}k

$${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$$

$${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$$

$${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$$

λ = ℓ ( ℓ + 1)ℓ = m + k

Todo lo anterior se ha resuelto en la representación de coordenadas esféricas, pero puede expresarse de manera más abstracta en la base ket esférica ortonormal completa . ${\displaystyle \langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

Representación polinomial armónica

Los armónicos esféricos se pueden expresar como la restricción a la esfera unitaria de determinadas funciones polinómicas . Específicamente, decimos que una función polinómica (de valores complejos) es homogénea de grado si ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )}$$

armónico ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \Delta p=0,}$$

laplaciano ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.}$$

Por ejemplo, cuando , es solo el espacio tridimensional de todas las funciones lineales , ya que cualquier función de este tipo es automáticamente armónica. Mientras tanto, cuando , tenemos un espacio de 5 dimensiones: ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell =2}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).}$$

Para cualquiera , el espacio de armónicos esféricos de grado es simplemente el espacio de restricciones a la esfera de los elementos de . ^[6] Como se sugiere en la introducción, esta perspectiva es presumiblemente el origen del término “armónico esférico” (es decir, la restricción a la esfera de una función armónica ). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }}$

Por ejemplo, para cualquier fórmula ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }}$$

${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle r=1}$

$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },}$$

$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.}$$

polinomio de Legendre asociado^[7] ${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).}$

Convenciones

Ortogonalidad y normalización.

Se utilizan comúnmente varias normalizaciones diferentes para las funciones armónicas esféricas de Laplace . A lo largo de la sección, utilizamos la convención estándar de que para (ver polinomios de Legendre asociados ) ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m>0}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

Trazado del armónico esférico con y y en el plano complejo de a con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$ ${\displaystyle -2-2i}$ ${\displaystyle 2+2i}$

En acústica , ^[8] los armónicos esféricos de Laplace se definen generalmente como (esta es la convención utilizada en este artículo)

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

mecánica cuántica^{[9] [10]}

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

donde están asociados los polinomios de Legendre sin la fase de Condon-Shortley (para evitar contar la fase dos veces). ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$

En ambas definiciones, los armónicos esféricos son ortonormales.

$${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$$

δ _ijdelta de Kroneckerd Ω = sin( θ ) dφ dθ

$${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$$

Las disciplinas de la geodesia ^[11] y el análisis espectral utilizan

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

que poseen potencia unitaria

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

La comunidad magnética ^[11] , por el contrario, utiliza armónicos seminormalizados de Schmidt.

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

que tienen la normalización

$${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

En mecánica cuántica, esta normalización también se utiliza a veces y se denomina normalización de Racah en honor a Giulio Racah .

Se puede demostrar que todas las funciones armónicas esféricas normalizadas anteriores satisfacen

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{-m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$$

donde el superíndice * denota conjugación compleja. Alternativamente, esta ecuación se deriva de la relación de las funciones armónicas esféricas con la matriz D de Wigner .

Fase Condon-Shortley

Una fuente de confusión con la definición de funciones armónicas esféricas se refiere a un factor de fase de , comúnmente denominado fase de Condon -Shortley en la literatura de mecánica cuántica. En la comunidad de la mecánica cuántica, es una práctica común incluir este factor de fase en la definición de los polinomios de Legendre asociados o agregarlo a la definición de las funciones armónicas esféricas. No es necesario utilizar la fase de Condon-Shortley en la definición de funciones armónicas esféricas, pero incluirla puede simplificar algunas operaciones de la mecánica cuántica, especialmente la aplicación de operadores de elevación y descenso . Las comunidades de geodesia ^[12] y magnética nunca incluyen el factor de fase de Condon-Shortley en sus definiciones de funciones armónicas esféricas ni en las de los polinomios de Legendre asociados. ^[13] ${\displaystyle (-1)^{m}}$

forma real

Una base real de armónicos esféricos se puede definir en términos de sus análogos complejos estableciendo ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$$

Los armónicos esféricos reales se conocen a veces como armónicos esféricos teselares . ^[14] Estas funciones tienen las mismas propiedades de ortonormalidad que las complejas anteriores. Los armónicos esféricos reales con m > 0 se dicen de tipo coseno, y los de m < 0 de tipo seno. La razón de esto se puede ver escribiendo las funciones en términos de los polinomios de Legendre como ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}}$

$${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}$$

Los mismos factores seno y coseno también se pueden ver en la siguiente subsección que trata de la representación cartesiana.

Consulte aquí para obtener una lista de armónicos esféricos reales hasta , inclusive , que se puede considerar que son consistentes con el resultado de las ecuaciones anteriores. ${\displaystyle \ell =4}$

Uso en química cuántica

Como se sabe por las soluciones analíticas para el átomo de hidrógeno, las funciones propias de la parte angular de la función de onda son armónicos esféricos. Sin embargo, las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista sin términos magnéticos pueden hacerse realidad. Por este motivo, las formas reales se utilizan ampliamente en funciones básicas de la química cuántica, ya que los programas no necesitan utilizar álgebra compleja. Aquí es importante señalar que las funciones reales abarcan el mismo espacio que las complejas.

Por ejemplo, como se puede ver en la tabla de armónicos esféricos , las funciones p habituales ( ) son complejas y mezclan direcciones de ejes, pero las versiones reales son esencialmente solo x , y y z . ${\displaystyle \ell =1}$

Armónicos esféricos en forma cartesiana

Los armónicos esféricos complejos dan lugar a los armónicos sólidos al extenderse desde a todos como una función homogénea de grado , es decir, estableciendo ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)}$$

polinomiosfórmula explícita ${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$

La función generadora de Herglotz

Si se adopta la convención de la mecánica cuántica para , entonces ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).}$$

${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$

$${\displaystyle {\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).}$$

${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].}$

La propiedad esencial de es que es nula: ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.}$$

Basta tomar y como parámetros reales. Al nombrar esta función generadora en honor a Herglotz , seguimos a Courant y Hilbert 1962, §VII.7, quienes atribuyen su descubrimiento a notas inéditas suyas. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

Básicamente, todas las propiedades de los armónicos esféricos se pueden derivar de esta función generadora. ^[15] Un beneficio inmediato de esta definición es que si el vector se reemplaza por el operador del vector de espín de la mecánica cuántica , tal que es el operador análogo del armónico sólido , ^[16] se obtiene una función generadora para un conjunto estandarizado de tensor esférico. operadores ,:​ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$ ${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$

$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).}$$

El paralelismo de las dos definiciones asegura que los 's se transforman bajo rotaciones (ver más abajo) de la misma manera que los 's, lo que a su vez garantiza que sean operadores tensoriales esféricos, , con y , obedeciendo todas las propiedades de dichos operadores, como el teorema de composición de Clebsch-Gordan y el teorema de Wigner-Eckart . Son, además, un conjunto estandarizado con una escala fija o normalización. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ ${\displaystyle k={\ell }}$ ${\displaystyle q=m}$

Forma cartesiana separada

La definición herglotziana produce polinomios que, si se desea, pueden factorizarse en un polinomio de y otro de y , de la siguiente manera (fase de Condon-Shortley): ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$

metro = 0

$${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$

$${\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$

$${\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$

$${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$

${\displaystyle m=0}$

$${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}$$

El factor es esencialmente el polinomio de Legendre asociado , y los factores son esencialmente . ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle (A_{m}\pm iB_{m})}$ ${\displaystyle e^{\pm im\varphi }}$

Ejemplos

Usando las expresiones para , y listadas explícitamente arriba obtenemos: ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle A_{m}(x,y)}$ ${\displaystyle B_{m}(x,y)}$

$${\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)}$$

$${\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)}$$

aquíaquí

Formas reales

Usando las ecuaciones anteriores para formar los armónicos esféricos reales, se ve que solo se incluyen los términos (cosenos), y solo se incluyen los términos (senos): ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle m<0}$ ${\displaystyle B_{m}}$

$${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$

metro

$${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$

Casos y valores especiales

1. Cuando , los armónicos esféricos se reducen a los polinomios ordinarios de Legendre : ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$
   $${\displaystyle Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$$
2. Cuando , ${\displaystyle m=\pm \ell }$
   $${\displaystyle Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },}$$
   o más simplemente en coordenadas cartesianas,
   $${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.}$$
3. En el polo norte, donde y no está definido, todos los armónicos esféricos excepto aquellos con desaparecen: ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle m=0}$
   $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.}$$

Propiedades de simetría

Los armónicos esféricos tienen propiedades profundas y consecuentes bajo las operaciones de inversión espacial (paridad) y rotación.

Paridad

Los armónicos esféricos tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares con respecto a la inversión sobre el origen. La inversión está representada por el operador . Entonces, como se puede ver de muchas maneras (quizás más simplemente a partir de la función generadora de Herglotz), al ser un vector unitario, ${\displaystyle P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$

En términos de ángulos esféricos, la paridad transforma un punto con coordenadas en . El enunciado de la paridad de armónicos esféricos es entonces ${\displaystyle \{\theta ,\varphi \}}$ ${\displaystyle \{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

polinomios de Legendre asociados(−1) ^{ℓ + m}(−1) ^m(−1) ^ℓ

La paridad continúa siendo válida para armónicos esféricos reales y para armónicos esféricos en dimensiones superiores: aplicar una reflexión puntual a un armónico esférico de grado ℓ cambia el signo en un factor de (−1) ^ℓ .

Rotaciones

La rotación de una función esférica real con m = 0 y ℓ = 3 . Los coeficientes no son iguales a las matrices D de Wigner, ya que se muestran funciones reales, pero se pueden obtener recomponiendo las funciones complejas.

Considere una rotación alrededor del origen que envía el vector unitario a . Bajo esta operación, un armónico esférico de grado y orden se transforma en una combinación lineal de armónicos esféricos del mismo grado. Eso es, ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$

${\displaystyle A_{mm'}}$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$

matriz D de Wigner ${\displaystyle D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.}$$

El comportamiento rotacional de los armónicos esféricos es quizás su característica por excelencia desde el punto de vista de la teoría de grupos. Los de grado proporcionan un conjunto básico de funciones para la representación irreducible del grupo SO(3) de dimensión . Muchos hechos sobre armónicos esféricos (como el teorema de la suma) que se demuestran laboriosamente utilizando los métodos de análisis adquieren demostraciones más simples y un significado más profundo utilizando los métodos de simetría. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$

Expansión de armónicos esféricos

Los armónicos esféricos de Laplace forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado . En la esfera unitaria , cualquier función integrable al cuadrado se puede expandir como una combinación lineal de estas: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Esta expansión se cumple en el sentido de convergencia cuadrática media (convergencia en L 2 de la esfera), es decir que

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.}$$

Los coeficientes de expansión son análogos de los coeficientes de Fourier y se pueden obtener multiplicando la ecuación anterior por el conjugado complejo de un armónico esférico, integrando sobre el ángulo sólido Ω y utilizando las relaciones de ortogonalidad anteriores. Esto está rigurosamente justificado por la teoría espacial básica de Hilbert. Para el caso de armónicos ortonormalizados, esto da:

$${\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).}$$

Si los coeficientes decaen en ℓ con suficiente rapidez (por ejemplo, exponencialmente ), entonces la serie también converge uniformemente a f .

Una función integrable al cuadrado también se puede expandir en términos de los armónicos reales anteriores como una suma ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).}$$

La convergencia de la serie se mantiene nuevamente en el mismo sentido, es decir, los armónicos esféricos reales forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado . El beneficio de la expansión en términos de funciones armónicas reales es que para funciones reales se garantiza que los coeficientes de expansión sean reales, mientras que sus coeficientes en su expansión en términos de (considerándolos como funciones ) no tienen esa propiedad. ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\ell m}}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R} }$

Análisis de espectro

Espectro de potencia en el procesamiento de señales.

La potencia total de una función f se define en la literatura sobre procesamiento de señales como la integral de la función al cuadrado, dividida por el área de su dominio. Utilizando las propiedades de ortonormalidad de las funciones armónicas esféricas de potencia unitaria real, es sencillo verificar que la potencia total de una función definida en la esfera unitaria está relacionada con sus coeficientes espectrales mediante una generalización del teorema de Parseval (aquí, el teorema se establece para los armónicos seminormalizados de Schmidt, la relación es ligeramente diferente para los armónicos ortonormales):

$${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),}$$

$${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}}$$

se define como el espectro de potencia angular (para armónicos seminormalizados de Schmidt). De manera similar, se puede definir el poder cruzado de dos funciones como

$${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),}$$

$${\displaystyle S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }}$$

se define como el espectro de potencia cruzada. Si las funciones f y g tienen una media cero (es decir, los coeficientes espectrales f ₀₀ y g ₀₀ son cero), entonces S _ff ( ℓ ) y S _fg ( ℓ ) representan las contribuciones a la varianza y covarianza de la función para el grado ℓ , respectivamente. Es común que el espectro de potencia (cruzado) se aproxime bien mediante una ley de potencia de la forma

$${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.}$$

Cuando β = 0 , el espectro es "blanco" ya que cada grado posee el mismo poder. Cuando β < 0 , el espectro se denomina "rojo", ya que hay más potencia en los grados bajos con longitudes de onda largas que en los grados más altos. Finalmente, cuando β > 0 , el espectro se denomina "azul". La condición sobre el orden de crecimiento de S _ff ( ℓ ) está relacionada con el orden de diferenciabilidad de f en la siguiente sección.

Propiedades de diferenciabilidad

También se pueden entender las propiedades de diferenciabilidad de la función original f en términos de las asintóticas de S _ff ( ℓ ) . En particular, si S _ff ( ℓ ) decae más rápido que cualquier función racional de ℓ como ℓ → ∞ , entonces f es infinitamente diferenciable . Si, además, S _ff ( ℓ ) decae exponencialmente, entonces f es realmente analítica real en la esfera.

La técnica general consiste en utilizar la teoría de los espacios de Sobolev . Las afirmaciones que relacionan el crecimiento de S _ff ( ℓ ) con la diferenciabilidad son entonces similares a resultados análogos sobre el crecimiento de los coeficientes de las series de Fourier . Específicamente, si

$${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,}$$

f^Sobolev Hs ( S ² )teorema de incorporación de Sobolevf

$${\displaystyle S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}}$$

los s

Propiedades algebraicas

Teorema de la suma

Un resultado matemático de considerable interés y utilidad se denomina teorema de la suma de armónicos esféricos. Dados dos vectores r y r′ , de coordenadas esféricas y , respectivamente, el ángulo entre ellos viene dado por la relación ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

polinomios de Legendre

El teorema de la suma establece ^[17]

donde P _ℓ es el polinomio de Legendre de grado ℓ . Esta expresión es válida tanto para armónicos reales como complejos. ^[18] El resultado se puede probar analíticamente, usando las propiedades del núcleo de Poisson en la bola unitaria, o geométricamente aplicando una rotación al vector y para que apunte a lo largo del eje z , y luego calculando directamente el lado derecho lado. ^[19]

En particular, cuando x = y , esto da el teorema de Unsöld ^[20]

$${\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}$$

cos ² θ + sin ² θ = 1

En el desarrollo ( 1 ), el lado izquierdo es un múltiplo constante del armónico esférico zonal de grado ℓ . Desde esta perspectiva, se tiene la siguiente generalización a dimensiones superiores. Sea Y _j una base ortonormal arbitraria del espacio H _ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ en la n -esfera. Entonces , el grado ℓ armónico zonal correspondiente al vector unitario x , se descompone como ^[21] ${\displaystyle P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$

Además, el armónico zonal se da como un múltiplo constante del polinomio de Gegenbauer apropiado : ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })}$

Combinando ( 2 ) y ( 3 ) se obtiene ( 1 ) en dimensión n = 2 cuando xey están representados en coordenadas esféricas. Finalmente, evaluar en x = y da la identidad funcional

$${\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}}$$

ω _{n −1}n

regla de contracción

Otra identidad útil expresa el producto de dos armónicos esféricos como una suma de armónicos esféricos ^[22]

$${\displaystyle Y_{a,\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta ,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta ,\varphi \right).}$$

símbolos 3j ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma }$

Coeficientes de Clebsch-Gordan

Los coeficientes de Clebsch-Gordan son los coeficientes que aparecen en la expansión del producto de dos armónicos esféricos en términos de los propios armónicos esféricos. Hay una variedad de técnicas disponibles para realizar esencialmente el mismo cálculo, incluido el símbolo Wigner 3-jm , los coeficientes de Racah y las integrales de Slater . De manera abstracta, los coeficientes de Clebsch-Gordan expresan el producto tensorial de dos representaciones irreducibles del grupo de rotación como una suma de representaciones irreducibles: adecuadamente normalizados, los coeficientes son entonces las multiplicidades.

Visualización de los armónicos esféricos.

Representación esquemática de la esfera unitaria y sus líneas nodales. es igual a 0 a lo largo de m círculos máximos que pasan por los polos y a lo largo de ℓ − m círculos de igual latitud. La función cambia de signo cada vez que cruza una de estas líneas. ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle \Re [Y_{\ell m}]}$

Gráfico de color 3D de los armónicos esféricos de grado n = 5 . Tenga en cuenta que n = ℓ .

Los armónicos esféricos de Laplace se pueden visualizar considerando sus " líneas nodales ", es decir, el conjunto de puntos de la esfera donde , o alternativamente, donde . Las líneas nodales de se componen de ℓ círculos: hay | metro | círculos a lo largo de longitudes y ℓ −| metro | círculos a lo largo de las latitudes. Se puede determinar el número de líneas nodales de cada tipo contando el número de ceros en las direcciones y respectivamente. Considerando en función de , los componentes real e imaginario de los polinomios de Legendre asociados poseen cada uno ℓ −| metro | ceros, cada uno de los cuales da lugar a una "línea de latitud" nodal. Por otro lado, considerando en función de , las funciones trigonométricas sen y cos poseen 2| metro | ceros, cada uno de los cuales da lugar a una "línea de longitud" nodal. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]=0}$ ${\displaystyle \Im [Y_{\ell }^{m}]=0}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Cuando el orden armónico esférico m es cero (arriba a la izquierda en la figura), las funciones armónicas esféricas no dependen de la longitud y se denominan zonales . Estos armónicos esféricos son un caso especial de funciones esféricas zonales . Cuando ℓ = | metro | (abajo a la derecha en la figura), no hay cruces por cero en latitud y las funciones se denominan sectoriales . Para los demás casos, las funciones controlan la esfera y se denominan teselares .

Los armónicos esféricos más generales de grado ℓ no son necesariamente los de la base de Laplace , y sus conjuntos nodales pueden ser de un tipo bastante general. ^[23] ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$

Lista de armónicos esféricos

Expresiones analíticas para los primeros armónicos esféricos de Laplace ortonormalizados que utilizan la convención de fase de Condon-Shortley: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}}$$

Dimensiones superiores

Los armónicos esféricos clásicos se definen como funciones de valores complejos en la esfera unitaria dentro del espacio euclidiano tridimensional . Los armónicos esféricos se pueden generalizar al espacio euclidiano de dimensiones superiores de la siguiente manera, lo que lleva a funciones . ^[24] Sea P _ℓ el espacio de polinomios homogéneos de valores complejos de grado ℓ en n variables reales, aquí considerados como funciones . Es decir, un polinomio p está en P _ℓ siempre que para cualquier real , se tenga ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).}$$

Sea A _ℓ el subespacio de P _ℓ que consta de todos los polinomios armónicos :

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.}$$

Estos son los armónicos esféricos sólidosH _ℓ

$${\displaystyle S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}}$$

A _ℓ

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.}$$

Se mantienen las siguientes propiedades:

• La suma de los espacios H _ℓ es densa en el conjunto de funciones continuas con respecto a la topología uniforme , por el teorema de Stone-Weierstrass . Como resultado, la suma de estos espacios también es densa en el espacio L ² ( S ^{n −1} ) de funciones integrables al cuadrado en la esfera. Así, cada función integrable al cuadrado en la esfera se descompone únicamente en una serie de armónicos esféricos, donde la serie converge en el sentido L ^{2 .} ${\displaystyle C(S^{n-1})}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$
• Para todo f ∈ H _ℓ , se tiene
  $${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$$
  donde Δ _{S ^{n −1}} es el operador de Laplace-Beltrami en S ^{n −1} . Este operador es el análogo de la parte angular del Laplaciano en tres dimensiones; a saber, el laplaciano en n dimensiones se descompone como
  $${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}}$$
• Del teorema de Stokes y de la propiedad anterior se deduce que los espacios H _ℓ son ortogonales con respecto al producto interno de L ² ( S ^{n −1} ) . Es decir,
  $${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0}$$
  para f ∈ H _ℓ y g ∈ H _k para k ≠ ℓ .
• Por el contrario, los espacios H _ℓ son precisamente los espacios propios de Δ _{S ^{n −1}} . En particular, una aplicación del teorema espectral al potencial de Riesz da otra prueba de que los espacios H _ℓ son ortogonales por pares y completos en L ² ( S ^{n −1} ) . ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$
• Cada polinomio homogéneo p ∈ P _ℓ se puede escribir de forma única en la forma ^[25]
  $${\displaystyle p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$$
  donde p _j ∈ A _j . En particular,
  $${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.}$$

Se puede construir inductivamente una base ortogonal de armónicos esféricos en dimensiones superiores mediante el método de separación de variables , resolviendo el problema de Sturm-Liouville para el laplaciano esférico.

$${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}}$$

φS ^{n −1[26]}

$${\displaystyle Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})}$$

| ℓ ₁ | ≤ ℓ ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓ _{n −1}− ℓ _{n −1} ( ℓ _{n −1} + n −2 )función Legendre.

$${\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.}$$

Conexión con la teoría de la representación.

El espacio H _ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ es una representación del grupo de simetría de rotaciones alrededor de un punto ( SO(3) ) y su doble cubierta SU(2) . De hecho, las rotaciones actúan sobre la esfera bidimensional y, por tanto, también sobre H _ℓ por composición de funciones.

$${\displaystyle \psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}}$$

ψρH _ℓrepresentación irreducible^[27]

Los elementos de H _ℓ surgen como restricciones a la esfera de elementos de A _ℓ : polinomios armónicos homogéneos de grado ℓ en el espacio euclidiano tridimensional R ³ . Por polarización de ψ ∈ A _ℓ , existen coeficientes simétricos en los índices, determinados únicamente por el requisito ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$

$${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.}$$

ψtensortrazasSO(3)H _ℓtensores simétricosℓ ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$

De manera más general, las afirmaciones análogas son válidas en dimensiones superiores: el espacio H _ℓ de armónicos esféricos en la n -esfera es la representación irreducible de SO ( n +1) correspondiente a los tensores ℓ simétricos sin rastro . Sin embargo, mientras que cada representación tensorial irreducible de SO(2) y SO(3) es de este tipo, los grupos ortogonales especiales en dimensiones superiores tienen representaciones irreducibles adicionales que no surgen de esta manera.

Los grupos ortogonales especiales tienen representaciones de espín adicionales que no son representaciones tensoriales y, por lo general, no son armónicos esféricos. Una excepción es la representación de espín de SO(3): estrictamente hablando, estas son representaciones de la doble cubierta SU(2) de SO(3). A su vez, SU(2) se identifica con el grupo de cuaterniones unitarios , por lo que coincide con las 3 esferas . Los espacios de armónicos esféricos en las 3 esferas son ciertas representaciones de espín de SO(3), con respecto a la acción por multiplicación cuaterniónica.

Conexión con armónicos hemisféricos.

Los armónicos esféricos se pueden separar en dos conjuntos de funciones. ^[28] Se trata de funciones hemisféricas (HSH), ortogonales y completas en hemisferio. Otro son los armónicos hemisféricos complementarios (CHSH).

Generalizaciones

Las simetrías que preservan los ángulos de las dos esferas se describen mediante el grupo de transformaciones de Möbius PSL(2, C ). Respecto a este grupo, la esfera equivale a la habitual esfera de Riemann . El grupo PSL(2, C ) es isomorfo al grupo de Lorentz (adecuado) , y su acción sobre las dos esferas concuerda con la acción del grupo de Lorentz sobre la esfera celeste en el espacio de Minkowski . El análogo de los armónicos esféricos para el grupo de Lorentz viene dado por la serie hipergeométrica ; además, los armónicos esféricos se pueden reexpresar en términos de la serie hipergeométrica, ya que SO(3) = PSU(2) es un subgrupo de PSL(2, C ) .

De manera más general, las series hipergeométricas se pueden generalizar para describir las simetrías de cualquier espacio simétrico ; en particular, se pueden desarrollar series hipergeométricas para cualquier grupo de Lie . ^{[29] [30] [31] [32]}

Ver también

• Armónico cúbico (a menudo utilizado en lugar de armónicos esféricos en los cálculos)
• Armónicos cilíndricos
• base esférica
• Armónicos esféricos de espinor
• Armónicos esféricos ponderados por giro
• Teoría de Sturm-Liouville
• Tabla de armónicos esféricos
• Armónicos esféricos vectoriales
• orbital atómico

Notas

1. En el Capítulo IV de MacRobert 1967 se puede encontrar un relato histórico de varios enfoques de los armónicos esféricos en tres dimensiones. El término "armónicos esféricos de Laplace" es de uso común; véase Courant y Hilbert 1962 y Meijer y Bauer 2004.
2. El enfoque de los armónicos esféricos adoptado aquí se encuentra en (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
3. Las aplicaciones físicas suelen tomar la solución que desaparece en el infinito, haciendo A = 0 . Esto no afecta la porción angular de los armónicos esféricos.
4. Weisstein, Eric W. "Armónico esférico". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de mayo de 2023 .
5. Edmonds 1957, §2.5
6. Salón 2013 Sección 17.6
7. Salón 2013 Lema 17.16
8. Williams, conde G. (1999). Acústica de Fourier: radiación sonora y holografía acústica de campo cercano . San Diego, California: Academic Press. ISBN 0080506909. OCLC  181010993.
9. Mesías, Albert (1999). Mecánica cuántica: dos volúmenes encuadernados como uno (Dos volúmenes encuadernados como uno, reimpresión íntegra). Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 9780486409245.
10. Claude Cohen-Tannoudji; Bernardo Diu; Franck Laloë (1996). Mecánica cuántica . Traducido por Susan Reid Hemley; et al. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN 9780471569527.
11. Blakely, Richard (1995). Teoría potencial en gravedad y aplicaciones magnéticas . Cambridge Inglaterra Nueva York: Cambridge University Press. pag. 113.ISBN​ 978-0521415088.
12. Heiskanen y Moritz, Geodesia física, 1967, eq. 1-62
13. Weisstein, Eric W. "Fase Condon-Shortley". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de noviembre de 2022 .
14. Whittaker y Watson 1927, pág. 392.
15. Véase, por ejemplo, el Apéndice A de Garg, A., Classical Electrodynamics in a Nutshell (Princeton University Press, 2012).
16. Li, Feifei; Braun, Carol; Garg, Anupam (2013), "El formalismo de Weyl-Wigner-Moyal para el giro", Europhysics Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , Bibcode : 2013EL....10260006L, doi : 10.1209/0295-5075/ 102/60006, S2CID  119610178
17. Edmonds, AR (1996). Momento angular en mecánica cuántica . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 63.
18. Esto es válido para cualquier base ortonormal de armónicos esféricos de grado ℓ . Para armónicos de potencia unitaria es necesario eliminar el factor de 4 π .
19. Whittaker y Watson 1927, pág. 395
20. Sin vender 1927
21. Stein y Weiss 1971, §IV.2
22. Borde, DM; Satchler, GR Momento angular . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 146.
23. Eremenko, Jakobson y Nadirashvili 2007
24. Solomentsev 2001; Stein y Weiss 1971, §Iv.2
25. Cfr. Corolario 1.8 de Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Polinomios armónicos y problemas tipo Dirichlet
26. Higuchi, Atsushi (1987). "Armónicos esféricos tensoriales simétricos en la N-esfera y su aplicación al grupo de Sitter SO (N, 1)". Revista de Física Matemática . 28 (7): 1553-1566. Código bibliográfico : 1987JMP....28.1553H. doi : 10.1063/1.527513.
27. Salón 2013 Corolario 17.17
28. Zheng Y, Wei K, Liang B, Li Y, Chu X (23 de diciembre de 2019). "Funciones similares a Zernike en casquete esférico: principio y aplicaciones en ajuste de superficies ópticas y representación de gráficos". Óptica Express . 27 (26): 37180–37195. Código Bib : 2019OExpr..2737180Z. doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN  1094-4087. PMID  31878503.
29. N. Vilenkin, Funciones especiales y teoría de las representaciones grupales , Am. Matemáticas. Soc. Traducción, vol. 22, (1968).
30. JD Talman, Funciones especiales, un enfoque teórico de grupo , (basado en conferencias de EP Wigner), WA Benjamin, Nueva York (1968).
31. W. Miller, Simetría y separación de variables, Addison-Wesley, Reading (1977).
32. A. Wawrzyńczyk, Representaciones de grupo y funciones especiales , Editores científicos polacos. Varsovia (1984).

Referencias

Referencias citadas

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• Edmonds, AR (1957), Momento angular en mecánica cuántica , Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9
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• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• MacRobert, TM (1967), Armónicos esféricos: un tratado elemental sobre funciones armónicas, con aplicaciones , Pergamon Press.
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• Stein, Elías ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome", Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, Bibcode :1927AnP...387..355U, doi :10.1002/andp.19273870304.
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1927), Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , pág. 392.

Referencias generales

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• C. Müller, Armónicos esféricos , (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, vol. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 . 
• EU Condon y GH Shortley, The Theory of Atomic Spectra , (1970) Cambridge en University Press, ISBN 0-521-09209-4 , consulte el capítulo 3 . 
• JD Jackson, Electrodinámica clásica , ISBN 0-471-30932-X 
• Albert Mesías, Mecánica cuántica , volumen II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4 . 
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.7. Armónicos esféricos", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Teoría cuántica del momento angular , (1988) World Scientific Publishing Co., Singapur, ISBN 9971-5-0107-4 
• Weisstein, Eric W. "Armónicos esféricos". MundoMatemático .
• Maddock, John, Armónicos esféricos en Boost.Math

enlaces externos

• Armónicos esféricos en MathWorld
• Representación 3D de Armónicos Esféricos