Fórmulas de Whipple

En la teoría de funciones especiales , la transformación de Whipple para funciones de Legendre , que lleva el nombre de Francis John Welsh Whipple , surge de una expresión general relativa a las funciones de Legendre asociadas . Estas fórmulas se han presentado anteriormente en términos de un punto de vista dirigido a armónicos esféricos , ahora que vemos las ecuaciones en términos de coordenadas toroidales , surgen simetrías completamente nuevas de las funciones de Legendre.

Para funciones Legendre asociadas de primer y segundo tipo,

${\displaystyle P_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}={\frac {(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\mu \pi }Q_{\nu }^{\mu }(z)}{(\pi /2)^{1/2}\Gamma (\nu +\mu +1)}}}$

y

${\displaystyle Q_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}=-i(\pi /2)^{1/2}\Gamma (-\nu -\mu )(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\nu \pi }P_{\nu }^{\mu }(z).}$

Estas expresiones son válidas para todos los parámetros y . Al cambiar el grado y el orden complejos de manera apropiada, obtenemos fórmulas de Whipple para el intercambio de índices complejos generales de funciones de Legendre asociadas generales de primer y segundo tipo. Estos están dados por ${\displaystyle \nu ,\mu ,}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle P_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {2}}\Gamma (\mu -\nu +{\frac {1}{2}})}{\pi ^{3/2}(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl [}\pi \sin \mu \pi P_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}+\cos \pi (\nu +\mu )e^{-i\nu \pi }Q_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

y

${\displaystyle Q_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {e^{i\mu \pi }\Gamma (\mu -\nu +{\frac {1}{2}})(\pi /2)^{1/2}}{(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl [}P_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}-{\frac {2}{\pi }}e^{-i\nu \pi }\sin \nu \pi Q_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}.}$

Tenga en cuenta que estas fórmulas se comportan bien para todos los valores de grado y orden, excepto aquellos con valores enteros. Sin embargo, si examinamos estas fórmulas para armónicos toroidales, es decir, donde el grado es medio entero, el orden es entero y el argumento es positivo y mayor que la unidad, se obtiene

${\displaystyle P_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {2}{\pi \sinh \eta }}}Q_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )}$

y

${\displaystyle Q_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}\pi }{\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {\pi }{2\sinh \eta }}}P_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )}$.

Estas son las fórmulas de Whipple para los armónicos toroidales. Muestran una propiedad importante del intercambio de armónicos toroidales bajo índice (los números enteros asociados con el orden y el grado).

enlaces externos

• [1]

Referencias

• Cohl, Howard S.; JE Tohline; ARP Rau; HM Srivastava (2000). "Avances en la determinación del potencial gravitacional mediante funciones toroidales". Astronomische Nachrichten . 321 (5/6): 363–372. Código Bib : 2000AN....321..363C. doi :10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.