Medida secundaria

En matemáticas, la medida secundaria asociada a una medida de densidad positiva ρ cuando existe una, es una medida de densidad positiva μ, convirtiendo los polinomios secundarios asociados a los polinomios ortogonales para ρ en un sistema ortogonal.

Introducción

Bajo ciertos supuestos, es posible obtener la existencia de una medida secundaria e incluso expresarla.

Por ejemplo, esto se puede hacer cuando se trabaja en el espacio de Hilbert L ² ([0, 1], R , ρ)

${\displaystyle \forall x\in [0,1],\qquad \mu (x)={\frac {\rho (x)}{{\frac {\varphi ^{2}(x)}{4}}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)}}}$

con

${\displaystyle \varphi (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}2\int _{0}^{1}{\frac {(x-t)\rho (t)}{(x-t)^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,dt}$

en el caso general, o:

${\displaystyle \varphi (x)=2\rho (x){\text{ln}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)-2\int _{0}^{1}{\frac {\rho (t)-\rho (x)}{t-x}}\,dt}$

cuando ρ satisface una condición de Lipschitz .

Esta aplicación φ se llama reductor de ρ.

De manera más general, μ y ρ están vinculados mediante su transformación de Stieltjes con la siguiente fórmula:

${\displaystyle S_{\mu }(z)=z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }(z)}}}$

en donde c ₁ es el momento de orden 1 de la medida ρ.

Las medidas secundarias y la teoría que las rodea pueden utilizarse para derivar fórmulas tradicionales de análisis relativas a la función Gamma , la función zeta de Riemann y la constante de Euler-Mascheroni .

También han permitido la clarificación de diversas integrales y series, aunque esto tiende a ser difícil a priori.

Finalmente permiten resolver ecuaciones integrales de la forma

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt}$

donde g es la función desconocida, y conducen a teoremas de convergencia hacia las medidas de Chebyshev y Dirac .

Las líneas generales de la teoría

Sea ρ una medida de densidad positiva en un intervalo I y admitiendo momentos de cualquier orden. A partir de esto, se puede crear una familia { P _n } de polinomios ortogonales para el producto interno inducido por ρ.

Sea { Q _n } la sucesión de polinomios secundarios asociados a la familia P . Bajo ciertas condiciones existe una medida para la cual la familia Q es ortogonal. Esta medida, que se puede deducir a partir de ρ, se denomina medida secundaria asociada a la medida inicial ρ.

Cuando ρ es una función de densidad de probabilidad , una condición suficiente que permite que μ sea una medida secundaria asociada con ρ admitiendo momentos de cualquier orden es que su Transformación de Stieltjes esté dada por una igualdad del tipo

${\displaystyle S_{\mu }(z)=a\left(z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }(z)}}\right),}$

donde a es una constante arbitraria y c ₁ indica el momento de orden 1 de ρ.

Para a = 1, se puede obtener la medida denominada secundaria. Para n ≥ 1 la norma del polinomio P _n para ρ coincide exactamente con la norma del polinomio secundario asociado Q _n al utilizar la medida μ.

En este caso primordial, y si el espacio generado por los polinomios ortogonales es denso en L ² ( I , R , ρ ), el operador T _ρ definido por

${\displaystyle f(x)\mapsto \int _{I}{\frac {f(t)-f(x)}{t-x}}\rho (t)dt}$

La creación de polinomios secundarios se puede ampliar a una función lineal que conecta el espacio L ² ( I , R , ρ) con L ² ( I , R , μ) y se vuelve isométrica si se limita al hiperplano H _ρ de las funciones ortogonales con P ₀ = 1.

Para funciones no especificadas integrables al cuadrado para ρ se puede obtener una fórmula de covarianza más general:

${\displaystyle \langle f/g\rangle _{\rho }-\langle f/1\rangle _{\rho }\times \langle g/1\rangle _{\rho }=\langle T_{\rho }(f)/T_{\rho }(g)\rangle _{\mu }.}$

La teoría continúa introduciendo el concepto de medida reducible, es decir que el cociente ρ/μ es un elemento de L ² ( I , R , μ ). Se establecen entonces los siguientes resultados:

• El reductor φ de ρ es un antecedente de ρ/μ para el operador T _ρ . (De hecho, el único antecedente que pertenece a H _ρ ).

• Para cualquier función integrable al cuadrado para ρ, existe una igualdad conocida como fórmula reductora:

${\displaystyle \langle f/\varphi \rangle _{\rho }=\langle T_{\rho }(f)/1\rangle _{\rho }}$.

• El operador

${\displaystyle f\mapsto \varphi \times f-T_{\rho }(f)}$

definido sobre los polinomios se prolonga en una isometría S _ρ que une la clausura del espacio de estos polinomios en L ² ( I , R , ρ ² μ ⁻¹ ) al hiperplano H _ρ provisto de la norma inducida por ρ.

• Bajo ciertas condiciones restrictivas el operador S _ρ actúa como adjunto de T _ρ para el producto interno inducido por ρ.

Finalmente los dos operadores también están conectados, siempre que las imágenes en cuestión estén definidas, por la fórmula fundamental de composición:

${\displaystyle T_{\rho }\circ S_{\rho }\left(f\right)={\frac {\rho }{\mu }}\times (f).}$

Caso de la medida Lebesgue y algunos otros ejemplos

La medida de Lebesgue en el intervalo estándar [0, 1] se obtiene tomando la densidad constante ρ( x ) = 1.

Los polinomios ortogonales asociados se denominan polinomios de Legendre y se pueden aclarar mediante

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}(1-x)^{n}\right).}$

La norma de P _n vale

${\displaystyle {\frac {n!}{\sqrt {2n+1}}}.}$

La relación de recurrencia en tres términos se escribe:

${\displaystyle 2(2n+1)XP_{n}(X)=-P_{n+1}(X)+(2n+1)P_{n}(X)-n^{2}P_{n-1}(X).}$

El reductor de esta medida de Lebesgue está dado por

${\displaystyle \varphi (x)=2\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right).}$

La medida secundaria asociada se aclara entonces como

${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{\ln ^{2}\left({\frac {x}{1-x}}\right)+\pi ^{2}}}}$.

Si normalizamos los polinomios de Legendre, los coeficientes de Fourier del reductor φ relativo a este sistema ortonormal son nulos para un índice par y están dados por

${\displaystyle C_{n}(\varphi )=-{\frac {4{\sqrt {2n+1}}}{n(n+1)}}}$

para un índice impar n .

Los polinomios de Laguerre están ligados a la densidad ρ( x ) = e ^−x en el intervalo I = [0, ∞). Se aclaran mediante

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}}$

y están normalizados.

El reductor asociado se define por

${\displaystyle \varphi (x)=2\left(\ln(x)-\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ln |x-t|dt\right).}$

Los coeficientes de Fourier del reductor φ relacionados con los polinomios de Laguerre están dados por

${\displaystyle C_{n}(\varphi )=-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{\binom {n-1}{k}}}.}$

Este coeficiente C _n (φ) no es otro que el opuesto de la suma de los elementos de la recta de índice n en la tabla de los números triangulares armónicos de Leibniz .

Los polinomios de Hermite están vinculados a la densidad gaussiana.

${\displaystyle \rho (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}$

en I = R .

Se aclaran mediante

${\displaystyle H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)}$

y están normalizados.

El reductor asociado se define por

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }te^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ln |x-t|\,dt.}$

Los coeficientes de Fourier del reductor φ relacionados con el sistema de polinomios de Hermite son nulos para un índice par y están dados por

${\displaystyle C_{n}(\varphi )=(-1)^{\frac {n+1}{2}}{\frac {\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}{\sqrt {n!}}}}$

para un índice impar n .

La medida de Chebyshev de la segunda forma. Está definida por la densidad

${\displaystyle \rho (x)={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {x(1-x)}}}$

en el intervalo [0, 1].

Es la única que coincide con su medida secundaria normalizada en este intervalo estándar. En determinadas condiciones se presenta como límite de la secuencia de medidas secundarias normalizadas de una densidad dada.

Ejemplos de medidas no reducibles

Medida de Jacobi sobre (0, 1) de densidad

${\displaystyle \rho (x)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {1-x}{x}}}.}$

Medida de Chebyshev sobre (−1, 1) de la primera forma de densidad

${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}.}$

Secuencia de medidas secundarias

La medida secundaria μ asociada a una función de densidad de probabilidad ρ tiene su momento de orden 0 dado por la fórmula

${\displaystyle d_{0}=c_{2}-c_{1}^{2},}$

donde c ₁ y c ₂ indican los respectivos momentos de orden 1 y 2 de ρ.

Este proceso se puede iterar "normalizando" μ mientras se define ρ ₁ = μ/ d ₀ que se convierte a su vez en una densidad de probabilidad llamada naturalmente la medida secundaria normalizada asociada con ρ.

A partir de ρ ₁ , se puede crear una medida normalizada secundaria ρ _{2 . Esta se puede iterar para obtener ρ 3} a partir de ρ ₂ y así sucesivamente.

Por lo tanto, una secuencia de medidas secundarias sucesivas, creada a partir de ρ ₀ = ρ, es tal que ρ _{n +1} que es la medida secundaria normalizada deducida de ρ _n

Es posible aclarar la densidad ρ _n utilizando los polinomios ortogonales P _n para ρ, los polinomios secundarios Q _n y el reductor asociado φ. Esto da la fórmula

${\displaystyle \rho _{n}(x)={\frac {1}{d_{0}^{n-1}}}{\frac {\rho (x)}{\left(P_{n-1}(x){\frac {\varphi (x)}{2}}-Q_{n-1}(x)\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)P_{n-1}^{2}(x)}}.}$

El coeficiente se obtiene fácilmente a partir de los coeficientes principales de los polinomios P _{​​n −1} y P _n . También se puede clarificar el reductor φ _n asociado a ρ _n , así como los polinomios ortogonales correspondientes a ρ _n . ${\displaystyle d_{0}^{n-1}}$

La evolución de estas densidades cuando el índice tiende al infinito puede relacionarse con el apoyo de la medida en el intervalo estándar [0, 1]:

Dejar

${\displaystyle xP_{n}(x)=t_{n}P_{n+1}(x)+s_{n}P_{n}(x)+t_{n-1}P_{n-1}(x)}$

sea ​​la clásica relación de recurrencia en tres términos. Si

${\displaystyle \lim _{n\mapsto \infty }t_{n}={\tfrac {1}{4}},\quad \lim _{n\mapsto \infty }s_{n}={\tfrac {1}{2}},}$

entonces la secuencia {ρ _n } converge completamente hacia la densidad de Chebyshev de la segunda forma

${\displaystyle \rho _{tch}(x)={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {x(1-x)}}}$.

^{Estas condiciones sobre los límites se comprueban mediante una clase muy amplia de densidades tradicionales. En [1]} se puede encontrar una derivación de la secuencia de medidas secundarias y de convergencia.

Medidas equinormales

Se denominan dos medidas que conducen así a la misma densidad secundaria normalizada. Es notable que los elementos de una clase dada y que tienen el mismo momento de orden 1 estén conectados por una homotopía. Más precisamente, si la función de densidad ρ tiene su momento de orden 1 igual a c ₁ , entonces estas densidades equinormales con ρ están dadas por una fórmula del tipo:

${\displaystyle \rho _{t}(x)={\frac {t\rho (x)}{\left({\tfrac {1}{2}}(t-1)(x-c_{1})\varphi (x)-t\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)(t-1)^{2}(x-c_{1})^{2}}},}$

t describe un intervalo que contiene ]0, 1].

Si μ es la medida secundaria de ρ, la de ρ _t será t μ.

El reductor de ρ _t es

${\displaystyle \varphi _{t}(x)={\frac {2(x-c_{1})-tG(x)}{\left((x-c_{1})-t{\tfrac {1}{2}}G(x)\right)^{2}+t^{2}\pi ^{2}\mu ^{2}(x)}}}$

observando G ( x ) el reductor de μ.

Los polinomios ortogonales para la medida ρ _t se aclaran a partir de n = 1 mediante la fórmula

${\displaystyle P_{n}^{t}(x)={\frac {tP_{n}(x)+(1-t)(x-c_{1})Q_{n}(x)}{\sqrt {t}}}}$

con Q _n polinomio secundario asociado a P _n .

Es notable también que, en el sentido de las distribuciones, el límite cuando t tiende a 0 por cada valor mayor de ρ _t es la medida de Dirac concentrada en c ₁ .

Por ejemplo, las densidades equinormales con la medida de Chebyshev de la segunda forma se definen por:

${\displaystyle \rho _{t}(x)={\frac {2t{\sqrt {1-x^{2}}}}{\pi \left[t^{2}+4(1-t)x^{2}\right]}},}$

con t describiendo ]0, 2]. El valor t = 2 da la medida de Chebyshev de la primera forma.

Aplicaciones

En las fórmulas siguientes , G es la constante de Catalan , γ es la constante de Euler , β _{2 n} es el número de Bernoulli de orden 2 n , H _{2 n +1} es el número armónico de orden 2 n +1 y Ei es la función integral exponencial .

${\displaystyle {\frac {1}{\ln(p)}}={\frac {1}{p-1}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+p)(\ln ^{2}(x)+\pi ^{2})}}dx\qquad \qquad \forall p>1}$

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{x}})}{\ln ^{2}(x)+\pi ^{2}}}dx}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}{x+1}}dx}$

La notación que indica la función periódica 2 que coincide con (−1, 1). ${\displaystyle x\mapsto {\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}}$ ${\displaystyle x\mapsto (x+1)\cos(\pi x)}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\beta _{2k}}{2k}}-{\frac {\beta _{2n}}{\zeta (2n)}}\int _{1}^{\infty }\lfloor t\rfloor \cos(2\pi t)t^{-2n-1}dt}$

${\displaystyle \beta _{k}={\frac {(-1)^{k}k!}{\pi }}{\text{Im}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{x}}{(1+e^{x})(x-i\pi )^{k}}}dx\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln ^{2n}\left({\frac {x}{1-x}}\right)\,dx=(-1)^{n+1}(2^{2n}-2)\beta _{2n}\pi ^{2n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {\ln(t_{k})}{\prod _{i\neq k}(t_{k}-t_{i})}}\right)\,dt_{1}\cdots dt_{2n}={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n}\beta _{2n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\alpha x}}{\Gamma (x+1)}}dx=e^{e^{-\alpha }}-1+\int _{0}^{\infty }{\frac {1-e^{-x}}{(\ln(x)+\alpha )^{2}+\pi ^{2}}}{\frac {dx}{x}}\qquad \qquad \forall \alpha \in \mathbf {R} }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{\binom {n-1}{k}}}\right)^{2}={\tfrac {4}{9}}\pi ^{2}=\int _{0}^{\infty }4\left(\mathrm {Ei} (1,-x)+i\pi \right)^{2}e^{-3x}\,dx.}$

${\displaystyle {\frac {23}{15}}-\ln(2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+7)(4n+9)}}}$

${\displaystyle G=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k+1}}}\left({\frac {1}{(4k+3)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+2)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+1)^{2}}}\right)+{\frac {\pi }{8}}\ln(2)}$

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln(2)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {H_{2n+1}}{2n+1}}.}$

Si la medida ρ es reducible y sea φ el reductor asociado, se tiene la igualdad

${\displaystyle \int _{I}\varphi ^{2}(x)\rho (x)\,dx={\frac {4\pi ^{2}}{3}}\int _{I}\rho ^{3}(x)\,dx.}$

Si la medida ρ es reducible con μ, el reductor asociado, entonces si f es integrable al cuadrado para μ, y si g es integrable al cuadrado para ρ y es ortogonal con P ₀ = 1, se cumple la siguiente equivalencia:

${\displaystyle f(x)=\int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)dt\Leftrightarrow g(x)=(x-c_{1})f(x)-T_{\mu }(f(x))={\frac {\varphi (x)\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)-T_{\rho }\left({\frac {\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)\right)}$

c ₁ indica el momento de orden 1 de ρ y T _ρ el operador

${\displaystyle g(x)\mapsto \int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$

Además, la secuencia de medidas secundarias tiene aplicaciones en la mecánica cuántica, donde da lugar a la secuencia de densidades espectrales residuales para hamiltonianos de Pauli-Fierz especializados . Esto también proporciona una interpretación física para la secuencia de medidas secundarias. ^[1]

Véase también

• Polinomios ortogonales
• Probabilidad

Referencias

1. Mapeos de sistemas cuánticos abiertos sobre representaciones en cadena e incrustaciones markovianas, MP Woods, R. Groux, AW Chin, SF Huelga, MB Plenio. https://arxiv.org/abs/1111.5262

Enlaces externos

• Página personal de Roland Groux sobre la teoría de medidas secundarias