Problema del momento

Intentando mapear momentos a una medida que los genere

Ejemplo: Dados la media y la varianza (así como todos los cumulantes adicionales iguales a 0), la distribución normal es la distribución que resuelve el problema del momento. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

En matemáticas , un problema de momento surge como resultado de intentar invertir la aplicación que lleva una medida a la secuencia de momentos. ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,.}$

De manera más general, se puede considerar

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.}$

para una secuencia arbitraria de funciones . ${\displaystyle M_{n}}$

Introducción

En el contexto clásico, es una medida en la línea real y es la secuencia . En esta forma, la pregunta aparece en la teoría de la probabilidad , preguntando si existe una medida de probabilidad que tenga una media , una varianza , etc., específicas, y si es única. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{x^{n}:n=1,2,\dotsc \}}$

Hay tres problemas de momento clásicos: el problema del momento de Hamburger en el que se permite que el soporte de sea toda la línea real; el problema del momento de Stieltjes , para ; y el problema del momento de Hausdorff para un intervalo acotado, que sin pérdida de generalidad puede tomarse como . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle [0,1]}$

El problema del momento también se extiende al análisis complejo como el problema del momento trigonométrico en el que las matrices de Hankel se reemplazan por matrices de Toeplitz y el soporte de μ es el círculo unitario complejo en lugar de la línea real. ^[1]

Existencia

Una secuencia de números es la secuencia de momentos de una medida si y solo si se cumple una determinada condición de positividad; es decir, las matrices de Hankel . ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

debe ser semidefinida positiva . Esto se debe a que una matriz de Hankel positiva-semidefinida corresponde a una funcional lineal tal que y (no negativa para la suma de cuadrados de polinomios). Suponga que se puede extender a . En el caso univariante, un polinomio no negativo siempre se puede escribir como una suma de cuadrados. Por lo tanto, la funcional lineal es positiva para todos los polinomios no negativos en el caso univariante. Por el teorema de Haviland, la funcional lineal tiene una forma de medida, es decir . Una condición de forma similar es necesaria y suficiente para la existencia de una medida apoyada en un intervalo dado . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Una forma de demostrar estos resultados es considerar la función lineal que envía un polinomio ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}$

a

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

Si los momentos de alguna medida se apoyan en , entonces evidentemente ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Viceversa, si ( 1 ) se cumple, se puede aplicar el teorema de extensión de M. Riesz y extender a un funcional en el espacio de funciones continuas con soporte compacto ), de modo que ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{c}([a,b])}$

Por el teorema de representación de Riesz , ( 2 ) se cumple si y solo si existe una medida apoyada en , tal que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \varphi (f)=\int f\,d\mu }$

para cada . ${\displaystyle f\in C_{c}([a,b])}$

Por lo tanto, la existencia de la medida es equivalente a ( 1 ). Utilizando un teorema de representación para polinomios positivos en , se puede reformular ( 1 ) como una condición sobre matrices de Hankel. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Unicidad (o determinación)

La unicidad de en el problema del momento de Hausdorff se desprende del teorema de aproximación de Weierstrass , que establece que los polinomios son densos bajo la norma uniforme en el espacio de funciones continuas en . Para el problema en un intervalo infinito, la unicidad es una cuestión más delicada. ^[4] Hay distribuciones, como las distribuciones log-normales , que tienen momentos finitos para todos los números enteros positivos pero donde otras distribuciones tienen los mismos momentos. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,1]}$

Solución formal

Cuando la solución existe, se puede escribir formalmente utilizando derivadas de la función delta de Dirac como

${\displaystyle d\mu (x)=\rho (x)dx,\quad \rho (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)m_{n}}$.

La expresión se puede derivar tomando la transformada de Fourier inversa de su función característica .

Variaciones

Una variación importante es el problema del momento truncado, que estudia las propiedades de las medidas con primeros k momentos fijos (para un k finito ). Los resultados del problema del momento truncado tienen numerosas aplicaciones en problemas extremos, optimización y teoremas límite en teoría de la probabilidad . ^[3]

Probabilidad

El problema del momento tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad. Se utiliza comúnmente lo siguiente: ^[5]

Teorema (Fréchet-Shohat)  —  Si es una medida determinada (es decir, sus momentos la determinan de manera única), y las medidas son tales que entonces está distribuida. ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mu _{n}}$ $${\displaystyle \forall k\geq 0\quad \lim _{n\rightarrow \infty }m_{k}\left[\mu _{n}\right]=m_{k}[\mu ],}$$ ${\textstyle \mu _{n}\rightarrow \mu }$

Comprobando la condición de Carleman , sabemos que la distribución normal estándar es una medida determinada, por lo que tenemos la siguiente forma del teorema del límite central :

Corolario  :  Si una secuencia de distribuciones de probabilidad satisface entonces converge a en la distribución. ${\textstyle \nu _{n}}$ $${\displaystyle m_{2k}[\nu _{n}]\to {\frac {(2k)!}{2^{k}k!}};\quad m_{2k+1}[\nu _{n}]\to 0}$$ ${\textstyle \nu _{n}}$ ${\textstyle N(0,1)}$

Véase también

• La condición de Carleman
• Problema del momento de la hamburguesa
• Matriz de Hankel
• Problema del momento de Hausdorff
• Momento (matemáticas)
• Problema del momento de Stieltjes
• Problema de momento trigonométrico

Notas

1. Schmüdgen 2017, pág. 257.
2. Shohat y Tamarkin 1943.
3. Kreĭn y Nudel′man 1977.
4. Akhiezer 1965.
5. Sodin, Sasha (5 de marzo de 2019). "El problema del momento clásico" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 1 de julio de 2022.

Referencias

• Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. (1943). El problema de los momentos . Nueva York: American mathematics society. ISBN 978-1-4704-1228-9.
• Akhiezer, Naum I. (1965). El problema del momento clásico y algunas cuestiones relacionadas con el análisis . Nueva York: Hafner Publishing Co.(traducido del ruso por N. Kemmer)
• Kreĭn, MG; Nudel′man, AA (1977). El problema del momento de Markov y los problemas extremos . Traducciones de monografías matemáticas. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi :10.1090/mmono/050. ISBN 978-0-8218-4500-4. ISSN  0065-9282.
• Schmüdgen, Konrad (2017). El problema del momento . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 277. Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-64546-9. ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN  0072-5285.