En matemáticas , el problema del momento de Stieltjes , que lleva el nombre de Thomas Joannes Stieltjes , busca condiciones necesarias y suficientes para que una secuencia ( m 0 , m 1 , m 2 ,...) tenga la forma
![{\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para alguna medida μ . Si tal función μ existe, cabe preguntarse si es única.
La diferencia esencial entre este y otros problemas de momentos bien conocidos es que éste está en una media línea [0, ∞), mientras que en el problema de momentos de Hausdorff se considera un intervalo acotado [0, 1], y en el problema de momentos de Hamburgo se considera la línea completa (−∞, ∞).
Existencia
Dejar
![{\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{ 3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ser una matriz de Hankel , y
![{\displaystyle \Delta _{n}^{(1)}=\left[{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{ 2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{matrix}}\right].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces { m n : n = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de alguna medida con soporte infinito si y solo si para todo n , ambos![{\displaystyle [0,\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det(\Delta _ {n})>0\ \mathrm {y} \ \det \left(\Delta _ {n}^{(1)}\right)>0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
{ m n : n = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de alguna medida con soporte finito de tamaño m si y solo si para todos , ambos![{\displaystyle [0,\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\leq m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det(\Delta _ {n})>0\ \mathrm {y} \ \det \left(\Delta _ {n}^{(1)}\right)>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y para todos los más grandes![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det(\Delta _ {n})=0\ \mathrm {y} \ \det \left(\Delta _ {n}^{(1)}\right)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Unicidad
Existen varias condiciones suficientes para la unicidad, por ejemplo, la condición de Carleman , que establece que la solución es única si
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}m_{n}^{-1/(2n)}=\infty ~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- Caña, Michael; Simon, Barry (1975), Análisis de Fourier, Autoadjunción , Métodos de la física matemática moderna, vol. 2, Prensa académica, pág. 341 (ejercicio 25), ISBN 0-12-585002-6