En matemáticas , el problema del momento de Hausdorff , llamado así por Felix Hausdorff , pide condiciones necesarias y suficientes para que una secuencia dada ( m 0 , m 1 , m 2 , ...) sea la secuencia de momentos.
de alguna medida de Borel μ apoyada en el intervalo unitario cerrado [0, 1] . En el caso m 0 = 1 , esto es equivalente a la existencia de una variable aleatoria X apoyada en [0, 1] , tal que E[ X n ] = m n .
La diferencia esencial entre este y otros problemas de momento bien conocidos es que este se encuentra en un intervalo acotado , mientras que en el problema del momento de Stieltjes se considera una semirrecta [0, ∞) y en el problema del momento de Hamburger se considera la recta completa (−∞, ∞) . Los problemas del momento de Stieltjes y los problemas del momento de Hamburger, si son solucionables, pueden tener infinitas soluciones (problema del momento indeterminado), mientras que un problema del momento de Hausdorff siempre tiene una solución única si es solucionable (problema del momento determinado). En el caso del problema del momento indeterminado, hay infinitas medidas correspondientes a los mismos momentos prescritos y consisten en un conjunto convexo. El conjunto de polinomios puede ser o no denso en los espacios de Hilbert asociados si el problema del momento es indeterminado, y depende de si la medida es extremal o no. Pero en el caso del problema del momento determinado, el conjunto de polinomios es denso en el espacio de Hilbert asociado.
En 1921, Hausdorff demostró que ( m 0 , m 1 , m 2 , ...) es una secuencia de momentos si y solo si la secuencia es completamente monótona, es decir, sus secuencias de diferencias satisfacen la ecuación
para todo n , k ≥ 0 . Aquí, Δ es el operador de diferencia dado por
La necesidad de esta condición se ve fácilmente por la identidad
que no es negativa ya que es la integral de una función no negativa . Por ejemplo, es necesario tener
