Teorema de extensión de M. Riesz

El teorema de extensión de M. Riesz es un teorema en matemáticas , demostrado por Marcel Riesz ^[1] durante su estudio del problema de los momentos . ^[2]

Formulación

Sea un espacio vectorial real , un subespacio vectorial y un cono convexo . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F\subset E}$ ${\displaystyle K\subset E}$

Una función lineal se denomina positiva si sólo toma valores no negativos en el cono : ${\displaystyle \phi :F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.}$

Una función lineal se denomina extensión -positiva de , si es idéntica a en el dominio de , y también devuelve un valor de al menos 0 para todos los puntos en el cono : ${\displaystyle \psi :E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in K.}$

En general, una función lineal positiva en no se puede extender a una función lineal positiva en . Ya en dos dimensiones se obtiene un contraejemplo. Sea y el eje . La función positiva no se puede extender a una función positiva en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2},\ K=\{(x,y):y>0\}\cup \{(x,0):x>0\},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi (x,0)=x}$ ${\displaystyle E}$

Sin embargo, la extensión existe bajo el supuesto adicional de que, es decir, para cada existe un tal que ${\displaystyle E\subset K+F,}$ ${\displaystyle y\in E,}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y-x\in K.}$

Prueba

La prueba es similar a la prueba del teorema de Hahn-Banach (véase también más abajo).

Por inducción transfinita o lema de Zorn es suficiente considerar el caso dim  . ${\displaystyle E/F=1}$

Elija cualquiera . Establecer ${\displaystyle y\in E\setminus F}$

${\displaystyle a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ y-x\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x\in F,x-y\in K\,\}.}$

Demostraremos a continuación que . Por ahora, elijamos cualquier , y establezcamos , y luego extendamos a todos los de por linealidad. Necesitamos demostrar que es -positivo. Supongamos . Entonces o bien , o bien o para algunos y . Si , entonces . En el primer caso restante , y así sucesivamente . ${\displaystyle -\infty <a\leq b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\leq c\leq b}$ ${\displaystyle \psi (y)=c}$ ${\displaystyle \psi |_{F}=\phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle z\in K}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=p(x+y)}$ ${\displaystyle z=p(x-y)}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \psi (z)>0}$ ${\displaystyle x+y=y-(-x)\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)}$

por definición. Por lo tanto

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.}$

En el segundo caso, y de manera similar ${\displaystyle x-y\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)}$

por definición y así

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x-y)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.}$

En todos los casos, , y también es -positivo. ${\displaystyle \psi (z)>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$

Ahora demostramos que . Observemos que, por suposición, existe al menos uno para el cual , y por lo tanto . Sin embargo, puede darse el caso de que no haya ninguno para el cual , en cuyo caso y la desigualdad es trivial (en este caso observemos que el tercer caso anterior no puede darse). Por lo tanto, podemos suponer que y hay al menos uno para el cual . Para demostrar la desigualdad, basta con mostrar que siempre que y , y y , entonces . En efecto, ${\displaystyle -\infty <a\leq b}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y-x\in K}$ ${\displaystyle -\infty <a}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle x-y\in K}$ ${\displaystyle b=\infty }$ ${\displaystyle b<\infty }$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle x-y\in K}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y-x\in K}$ ${\displaystyle x'\in F}$ ${\displaystyle x'-y\in K}$ ${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x')}$

${\displaystyle x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K}$

ya que es un cono convexo, y por lo tanto ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)}$

ya que es -positivo. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K}$

Corolario: Teorema de extensión de Kerin

Sea E un espacio lineal real y sea K  ⊂  E un cono convexo . Sea x  ∈  E /(− K ) tal que R x  +  K  =  E . Entonces existe un funcional lineal K -positivo φ :  E  →  R tal que φ ( x ) > 0. 

Conexión con el teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach se puede deducir del teorema de extensión de M. Riesz.

Sea V un espacio lineal y sea N una función sublineal en V. Sea φ una función en un subespacio U  ⊂  V que está dominado por N :

${\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.}$

El teorema de Hahn-Banach afirma que φ puede extenderse a una funcional lineal en V que está dominada por N.

Para derivar esto del teorema de extensión de M. Riesz, defina un cono convexo K  ⊂  R × V mediante

${\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}$

Defina un φ ₁ funcional en R × U mediante

${\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}$

Se puede ver que φ ₁ es K -positivo, y que K  + ( R  ×  U ) =  R  ×  V . Por lo tanto, φ ₁ se puede extender a un funcional K -positivo ψ ₁ en R × V . Entonces

${\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}$

es la extensión deseada de φ . De hecho, si ψ ( x ) >  N ( x ), tenemos: ( N ( x ),  x ) ∈  K , mientras que

${\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,}$

lo que lleva a una contradicción.

Referencias

1. Riesz (1923)
2. Akhiezer (1965)

Fuentes

• Castillo, Reńe E. (2005), "Una nota sobre el teorema de Krein" (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , archivado desde el original (PDF) el 1 de febrero de 2014 , consultado el 18 de enero de 2014
• Riesz, M. (1923), "Sur le problème des moment. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (en francés), 17 (16), JFM  49.0195.01
• Akhiezer, NI (1965), El problema del momento clásico y algunas cuestiones relacionadas en el análisis , Nueva York: Hafner Publishing Co., MR  0184042