Peso (teoría de la representación)

En el campo matemático de la teoría de la representación , un peso de un álgebra A sobre un campo F es un homomorfismo de álgebra de A a F , o equivalentemente, una representación unidimensional de A sobre F. Es el análogo en álgebra del carácter multiplicativo de un grupo . La importancia del concepto, sin embargo, surge de su aplicación a representaciones de álgebras de Lie y, por tanto, también a representaciones de grupos algebraicos y de Lie . En este contexto, un peso de una representación es una generalización de la noción de valor propio , y el espacio propio correspondiente se denomina espacio de peso .

Motivación y concepto general.

Dado un conjunto S de matrices sobre el mismo campo, cada una de las cuales es diagonalizable y dos de las cuales conmutan , siempre es posible diagonalizar simultáneamente todos los elementos de S. ^{[nota 1]} De manera equivalente, para cualquier conjunto S de transformaciones lineales semisimples que se conmutan entre sí de un espacio vectorial de dimensión finita V , existe una base de V que consta de ${\displaystyle n\times n}$ vectores propios simultáneos de todos los elementos de S . Cada uno de estos vectores propios comunes v ∈ V define un funcional lineal en la subálgebra U de End( V  ) generada por el conjunto de endomorfismos S ; este funcional se define como el mapa que asocia a cada elemento de U su valor propio en el vector propio v . Este mapa también es multiplicativo y envía la identidad a 1; por tanto, es un homomorfismo de álgebra de U al campo base. Este "valor propio generalizado" es un prototipo de la noción de peso.

La noción está estrechamente relacionada con la idea de un carácter multiplicativo en la teoría de grupos , que es un homomorfismo χ de un grupo G al grupo multiplicativo de un campo F. Así χ : G → F ^× satisface χ ( e ) = 1 (donde e es el elemento identidad de G ) y

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$para todo g , h en G .

De hecho, si G actúa sobre un espacio vectorial V sobre F , cada espacio propio simultáneo para cada elemento de G , si existe, determina un carácter multiplicativo en G : el valor propio en este espacio propio común de cada elemento del grupo.

La noción de carácter multiplicativo se puede extender a cualquier álgebra A sobre F , reemplazando χ : G → F ^× por un mapa lineal χ : A → F con:

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

para todo a , b en A . Si un álgebra A actúa sobre un espacio vectorial V sobre F en cualquier espacio propio simultáneo, esto corresponde a un homomorfismo del álgebra de A a F asignando a cada elemento de A su valor propio.

Si A es un álgebra de Lie (que generalmente no es un álgebra asociativa ), entonces, en lugar de requerir la multiplicatividad de un carácter, se requiere que asigne cualquier corchete de Lie al conmutador correspondiente ; pero como F es conmutativa , esto simplemente significa que este mapa debe desaparecer entre corchetes de Lie: χ ([ a , b ]) = 0. Un peso en un álgebra de Lie g sobre un campo F es un mapa lineal λ: g → F con λ ([ x , y ]) = 0 para todo x , y en g . Cualquier peso en un álgebra de Lie g desaparece en el álgebra derivada [ g , g ] y, por lo tanto, desciende a un peso en el álgebra de Lie abeliana g /[ g , g ]. Por lo tanto, los pesos son principalmente de interés para las álgebras de Lie abelianas, donde se reducen a la simple noción de un valor propio generalizado para el espacio de transformaciones lineales conmutadas.

Si G es un grupo de Lie o un grupo algebraico , entonces un carácter multiplicativo θ: G → F ^× induce un peso χ = dθ: g → F en su álgebra de Lie por diferenciación. (Para los grupos de Lie, esto es una diferenciación en el elemento identidad de G , y el caso del grupo algebraico es una abstracción que utiliza la noción de derivación).

Pesos en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples

Sean un álgebra de Lie semisimple compleja y una subálgebra de Cartan de . En esta sección, describimos los conceptos necesarios para formular el "teorema de mayor peso" que clasifica las representaciones de dimensión finita de . En particular, explicaremos la noción de "elemento integral dominante". Las representaciones en sí se describen en el artículo vinculado anteriormente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Peso de una representación

Ejemplo de los pesos de una representación del álgebra de Lie sl(3,C)

Sea una representación de un álgebra de Lie en un espacio vectorial V sobre un campo de característica 0, digamos , y sea un funcional lineal en . Entonces el ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$el espacio de peso deVcon pesoλes el subespaciodado por ${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad (\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$.

Un peso de la representación V (la representación a menudo se denomina brevemente como el espacio vectorial V sobre el cual actúan elementos del álgebra de Lie en lugar del mapa ) es un funcional lineal λ tal que el espacio de peso correspondiente es distinto de cero. Los elementos distintos de cero del espacio de peso se denominan vectores de peso . Es decir, un vector de peso es un vector propio simultáneo para la acción de los elementos de , con los valores propios correspondientes dados por λ. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Si V es la suma directa de sus espacios de peso

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

entonces V se llamamódulo de peso ; esto corresponde a que haya unabase propia(una base de vectores propios simultáneos) para todos los elementos representados del álgebra, es decir, que haya matrices diagonalizables simultáneamente (vermatriz diagonalizable).

Si G es un grupo con álgebra de Lie , cada representación de dimensión finita de G induce una representación de . Un peso de la representación de G es entonces simplemente un peso de la representación asociada de . Existe una distinción sutil entre los pesos de las representaciones de grupo y las representaciones del álgebra de Lie, y es que existe una noción diferente de condición de integralidad en los dos casos; vea abajo. (La condición de integralidad es más restrictiva en el caso del grupo, lo que refleja que no toda representación del álgebra de Lie proviene de una representación del grupo). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Acción de los vectores raíz.

Para la representación adjunta de , el espacio sobre el que actúa la representación es el propio álgebra de Lie. Entonces los pesos distintos de cero se llaman raíces , los espacios de peso se llaman espacios de raíz y los vectores de peso, que por tanto son elementos de , se llaman vectores de raíz . Explícitamente, una funcional lineal on se llama raíz si y existe un valor distinto de cero tal que ${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

para todos dentro . La colección de raíces forma un sistema radicular . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Desde la perspectiva de la teoría de la representación, el significado de las raíces y los vectores raíz es el siguiente resultado elemental pero importante: si es una representación de , v es un vector de peso con peso y X es un vector raíz con raíz , entonces ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

para todo H en . Es decir, es el vector cero o un vector de peso con peso . Por lo tanto, la acción de mapea el espacio de peso con peso en el espacio de peso con peso . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \sigma (X)(v)}$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$

Por ejemplo, si , o complejizado, los vectores raíz abarcan el álgebra y tienen pesos , y respectivamente. La subálgebra de Cartan está abarcada por y la acción de clasifica los espacios de peso. La acción de asigna un espacio de peso de peso al espacio de peso de peso y la acción de asigna un espacio de peso de peso al espacio de peso de peso , y la acción de asigna los espacios de peso a sí mismos. En la representación fundamental, con pesos y espacios de peso , se asigna a cero y a , mientras que se asigna a cero y a , y asigna cada espacio de peso a sí mismo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {H,X,Y}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +1}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle H}$

elemento integral

Elementos algebraicamente integrales (red triangular), elementos integrales dominantes (puntos negros) y pesos fundamentales para sl(3,C)

Sea el subespacio real de generado por las raíces de , donde está el espacio de funcionales lineales , el espacio dual de . Para los cálculos, es conveniente elegir un producto interno que sea invariante bajo el grupo de Weyl, es decir, bajo reflexiones sobre los hiperplanos ortogonales a las raíces. Luego podemos usar este producto interno para identificarnos con un subespacio de . Con esta identificación, la coroot asociada a una raíz se da como ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$. ^{[ definición necesaria ]}

Ahora definimos dos nociones diferentes de integralidad para elementos de . La motivación para estas definiciones es simple: los pesos de las representaciones de dimensión finita de G satisfacen la primera condición de integralidad, mientras que si G es un grupo con álgebra de Lie , los pesos de las representaciones de dimensión finita de G satisfacen la segunda condición de integralidad. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un elemento es algebraicamente integral si ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle \langle \lambda ,H_{\alpha }\rangle =2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\in \mathbb {Z} }$

para todas las raíces . La motivación de esta condición es que la coroot puede identificarse con el elemento H en una base estándar para una subálgebra de . ^[1] Según resultados elementales para , los valores propios de en cualquier representación de dimensión finita deben ser un número entero. Concluimos que, como se indicó anteriormente, el peso de cualquier representación de dimensión finita de es algebraicamente integral. ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Los pesos fundamentales se definen por la propiedad de que forman una base dual al conjunto de raíces asociadas a las raíces simples . Es decir, los pesos fundamentales están definidos por la condición ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle 2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{i,j}}$

¿ Dónde están las raíces simples? Entonces, un elemento es algebraicamente integral si y sólo si es una combinación integral de los pesos fundamentales. ^[3] El conjunto de pesos totalmente integrales es una red llamada red de pesos para , denotada por . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$

La figura muestra el ejemplo del álgebra de Lie , cuyo sistema raíz es el sistema raíz. Hay dos raíces simples y . El primer peso fundamental, , debe ser ortogonal y proyectarse ortogonalmente a la mitad de , y de manera similar para . La red de pesos es entonces la red triangular. ${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Supongamos ahora que el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G. Entonces decimos que es analíticamente integral ( G-integral ) si para cada t en tal que tenemos . La razón para hacer esta definición es que si una representación de surge de una representación de G , entonces los pesos de la representación serán G -integral. ^[4] Para G semisimple, el conjunto de todos los pesos integrales de G es una subred P ( G ) ⊂ P ( ). Si G es simplemente conexo , entonces P ( G ) = P ( ). Si G no es simplemente conexo, entonces la red P ( G ) es más pequeña que P ( ) y su cociente es isomorfo al grupo fundamental de G. ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,t\rangle \in 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ordenamiento parcial en el espacio de pesos.

Si las raíces positivas son , y , la región sombreada es el conjunto de puntos superiores a ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Ahora introducimos un ordenamiento parcial en el conjunto de pesos, que se utilizará para formular el teorema del peso más alto que describe las representaciones de . Recordemos que R es el conjunto de raíces; Ahora fijamos un conjunto de raíces positivas . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R^{+}}$

Considere dos elementos y de . Nos interesa principalmente el caso en el que y son integrales, pero este supuesto no es necesario para la definición que estamos a punto de introducir. Luego decimos que es mayor que , lo que escribimos como , si es expresable como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos. ^[6] Esto significa, aproximadamente, que "superior" significa en las direcciones de las raíces positivas. De manera equivalente decimos que es "inferior" que , lo que escribimos como . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$ ${\displaystyle \mu -\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$

Éste es sólo un ordenamiento parcial ; puede suceder fácilmente que no sea ni mayor ni menor que . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

peso dominante

Un elemento integral λ es dominante si para cada raíz positiva γ . De manera equivalente, λ es dominante si es una combinación entera no negativa de los pesos fundamentales. En este caso, los elementos integrales dominantes viven en un sector de 60 grados. La noción de ser dominante no es lo mismo que ser superior a cero. Tenga en cuenta que el área gris en la imagen de la derecha es un sector de 120 grados, que contiene estrictamente el sector de 60 grados correspondiente a los elementos integrales dominantes. ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$ ${\displaystyle A_{2}}$

El conjunto de todos los λ (no necesariamente integrales) tales que se conoce como cámara de Weyl fundamental asociada al conjunto dado de raíces positivas. ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$

Teorema del mayor peso.

El peso de una representación de se denomina peso más alto si todos los demás pesos de son inferiores a . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$

La teoría que clasifica las representaciones irreductibles de dimensión finita se realiza mediante un "teorema de mayor peso". El teorema dice que ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(1) cada representación irreducible (de dimensión finita) tiene un peso máximo,

(2) el peso más alto es siempre un elemento dominante, algebraicamente integral,

(3) dos representaciones irreducibles con el mismo peso más alto son isomorfas, y

(4) cada elemento dominante, algebraicamente integral, es el peso más alto de una representación irreductible.

El último punto es el más difícil; las representaciones pueden construirse utilizando módulos Verma .

Módulo de mayor peso

Una representación (no necesariamente de dimensión finita) V de se llama módulo de mayor peso si es generada por un vector de peso v ∈ V que es aniquilado por la acción de todos los espacios de raíces positivas en . Cada módulo irreducible con un peso más alto es necesariamente un módulo de peso más alto, pero en el caso de dimensión infinita, un módulo de peso más alto no tiene por qué ser irreducible. Para cada uno , no necesariamente dominante o integral, existe un módulo único (hasta el isomorfismo) simple de mayor peso con mayor peso λ, que se denota L (λ), pero este módulo es de dimensión infinita a menos que λ sea integral dominante. Se puede demostrar que cada módulo de mayor peso con mayor peso λ es un cociente del módulo Verma M (λ). Esto es sólo una reformulación de la propiedad de universalidad en la definición de un módulo Verma. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cada módulo de mayor peso de dimensión finita es irreducible. ^[8]

Ver también

• Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conectado
• Categoría de mayor peso
• Sistema raíz

Notas

1. De hecho, dado un conjunto de matrices conmutadoras sobre un campo algebraicamente cerrado , son simultáneamente triangularizables , sin necesidad de asumir que son diagonalizables.

Referencias

1. Teorema 7.19 de Hall 2015 y ecuación. (7.9)
2. Propuesta 9.2 del Salón 2015
3. Propuesta 8.36 del Salón 2015
4. Propuesta 12.5 del Salón 2015
5. Salón 2015 Corolario 13.8 y Corolario 13.20
6. Salón 2015 Definición 8.39
7. Hall 2015 Teoremas 9.4 y 9.5
8. Esto se desprende de (la prueba de) la Proposición 6.13 en el Salón 2015 junto con el resultado general sobre la reducibilidad completa de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples.

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103..
• Buen hombre, huevas; Wallach, Nolan R. (1998), Representaciones e invariantes de los grupos clásicos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972a), Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Humphreys, James E. (1972b), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 21, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, señor  0396773
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción (2ª ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.