módulo verma

Los módulos Verma , que llevan el nombre de Daya-Nand Verma , son objetos de la teoría de representación de las álgebras de Lie , una rama de las matemáticas .

Los módulos de Verma se pueden utilizar en la clasificación de representaciones irreducibles de un álgebra de Lie semisimple compleja. Específicamente, aunque los módulos Verma en sí son de dimensión infinita, sus cocientes se pueden usar para construir representaciones de dimensión finita con mayor peso , donde es dominante e integral. ^[1] Sus homomorfismos corresponden a operadores diferenciales invariantes sobre variedades de banderas . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

construcción informal

Pesos del módulo Verma para mayor peso ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Podemos explicar la idea de un módulo Verma de la siguiente manera. ^[2] Sea un álgebra de Lie semisimple (sobre , por simplicidad). Sea una subálgebra fija de Cartan y sea el sistema raíz asociado. Sea un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada uno , elija un elemento distinto de cero para el espacio raíz correspondiente y un elemento distinto de cero en el espacio raíz . Pensamos en los 's como "operadores que suben" y en los 'como "operadores que bajan". ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Ahora sea un funcional lineal arbitrario, no necesariamente dominante o integral. Nuestro objetivo es construir una representación de con mayor peso generada por un único vector distinto de cero con peso . El módulo Verma es uno de esos módulos de mayor peso en particular, uno que es máximo en el sentido de que todos los demás módulos de mayor peso con mayor peso son un cociente del módulo Verma. Resultará que los módulos Verma son siempre de dimensiones infinitas; Sin embargo, si es integral dominante, se puede construir un módulo de cociente de dimensión finita del módulo de Verma. Por lo tanto, los módulos Verma juegan un papel importante en la clasificación de representaciones de dimensión finita . Específicamente, son una herramienta importante en la parte difícil del teorema del peso más alto , es decir, mostrar que cada elemento integral dominante en realidad surge como el peso más alto de una representación irreducible de dimensión finita de . ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ahora intentamos comprender intuitivamente cómo debería verse el módulo Verma con mayor peso. Dado que va a ser un vector de mayor peso con peso , ciertamente queremos ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

y

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Luego se deben abarcar los elementos obtenidos al bajar por la acción de los 's: ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$.

Ahora imponemos sólo aquellas relaciones entre vectores de la forma anterior requeridas por las relaciones de conmutación entre los 's. En particular, el módulo Verma es siempre de dimensión infinita. Los pesos del módulo Verma con mayor peso consistirán en todos los elementos que se pueden obtener restando combinaciones enteras de raíces positivas. La figura muestra los pesos de un módulo Verma para . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Un simple argumento de reordenamiento muestra que sólo hay una forma posible en que el álgebra de Lie completa puede actuar en este espacio. Específicamente, si es cualquier elemento de , entonces, mediante la parte fácil del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt , podemos reescribir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}}$

como una combinación lineal de productos de elementos del álgebra de Lie con los operadores ascendentes actuando primero, los elementos de la subálgebra de Cartan y, al final, los operadores descendentes . Aplicando esta suma de términos a , cualquier término con un operador elevador es cero, cualquier factor en Cartan actúa como escalar y, por lo tanto, terminamos con un elemento de la forma original. ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle v}$

Para comprender un poco mejor la estructura del módulo Verma, podemos elegir un orden de las raíces positivas como y denotamos los operadores descendentes correspondientes con . Luego, mediante un simple argumento de reordenamiento, cada elemento del formulario anterior se puede reescribir como una combinación lineal de elementos con 's en un orden específico: ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$,

donde los 's son números enteros no negativos. En realidad, resulta que dichos vectores forman la base del módulo Verma. ${\displaystyle k_{j}}$

Aunque esta descripción del módulo Verma da una idea intuitiva de cómo se ve, aún queda por dar una construcción rigurosa del mismo. En cualquier caso, el módulo Verma proporciona, para cualquier , no necesariamente dominante o integral, una representación con mayor peso . El precio que pagamos por esta construcción relativamente simple es que siempre tiene dimensiones infinitas. En el caso de que sea dominante e integral, se puede construir un cociente irreducible de dimensión finita del módulo Verma. ^[3] ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

El caso de sl(2; C)

Sea la base habitual para : ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

siendo la subálgebra de Cartan el lapso de . Dejemos definir por para un número complejo arbitrario . Luego, el módulo Verma con mayor peso está abarcado por vectores linealmente independientes y la acción de los elementos base es la siguiente: ^[4] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (H)=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(Esto significa en particular eso y aquello .) Estas fórmulas están motivadas por la forma en que actúan los elementos básicos en las representaciones de dimensión finita de , excepto que ya no requerimos que la "cadena" de vectores propios de tenga que terminar. ${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$ ${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H}$

En esta construcción, es un número complejo arbitrario, no necesariamente real, positivo o entero. Sin embargo, el caso en el que es un número entero no negativo es especial. En ese caso, se ve fácilmente que el intervalo de los vectores es invariante, porque . El módulo cociente es entonces la representación irreducible de dimensión finita de la dimensión ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m+1.}$

Definición de módulos Verma

Hay dos construcciones estándar del módulo Verma, las cuales involucran el concepto de álgebra envolvente universal . Continuamos con la notación del apartado anterior: es un álgebra de Lie semisimple compleja, es una subálgebra de Cartan fija, es el sistema de raíces asociado con un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada uno , elegimos elementos distintos de cero y . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$

Como cociente del álgebra envolvente

La primera construcción ^[5] del módulo de Verma es un cociente del álgebra envolvente universal de . Dado que se supone que el módulo de Verma es un módulo, también será un módulo, por la propiedad universal del álgebra envolvente. Por lo tanto, si tenemos un módulo Verma con el vector de peso más alto , habrá un mapa lineal desde dentro dado por ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$.

Como se supone que es generado por , el mapa debe ser sobreyectivo. Dado que se supone que es un vector de mayor peso, el núcleo de debe incluir todos los vectores raíz de in . Dado que, además, se supone que es un vector de peso con peso , el núcleo de debe incluir todos los vectores de la forma ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Finalmente, el núcleo de debería ser un ideal de izquierda en ; al fin y al cabo, si entonces para todos . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$ ${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$

La discusión anterior motiva la siguiente construcción del módulo Verma. Definimos como el espacio vectorial cociente ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$,

¿Dónde está el ideal izquierdo generado por todos los elementos de la forma? ${\displaystyle I_{\lambda }}$

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

y

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Como es un ideal de izquierda, la acción natural de la izquierda sobre sí misma se traslada al cociente. Por tanto, es un módulo y, por tanto, también un módulo. ${\displaystyle I_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por extensión de escalares

El procedimiento de " extensión de escalares " es un método para cambiar un módulo izquierdo sobre un álgebra (no necesariamente conmutativa) en un módulo izquierdo sobre un álgebra más grande que contiene una subálgebra. Podemos considerarlo como un módulo derecho, donde actúa mediante multiplicación por la derecha. Dado que es un módulo izquierdo y un módulo derecho, podemos formar el producto tensorial de los dos sobre el álgebra : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Ahora, dado que es un módulo izquierdo sobre sí mismo, el producto tensorial anterior lleva una estructura de módulo izquierdo sobre el álgebra más amplia , determinada únicamente por el requisito de que ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

para todos y en . Por lo tanto, a partir del módulo izquierdo , hemos producido un módulo izquierdo . ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$

Ahora aplicamos esta construcción en el contexto de un álgebra de Lie semisimple. Sea la subálgebra de los vectores abarcados por y raíz con . (Por lo tanto, es una "subálgebra de Borel" de .) Podemos formar un módulo izquierdo sobre el álgebra envolvente universal de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$es el espacio vectorial unidimensional abarcado por un solo vector junto con una estructura de módulo tal que actúa como multiplicación por y los espacios de raíces positivas actúan de manera trivial: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

La motivación de esta fórmula es que describe cómo se supone que debe actuar sobre el vector de mayor peso en un módulo Verma. ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

Ahora bien, del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt se deduce que es una subálgebra de . Por lo tanto, podemos aplicar la técnica de extensión de escalares para convertir de un módulo izquierdo a un módulo izquierdo de la siguiente manera: ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$.

Dado que es un módulo izquierdo, es, en particular, un módulo (representación) para . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La estructura del módulo Verma.

Cualquiera que sea la construcción del módulo Verma que se utilice, hay que demostrar que no es trivial, es decir, que no es el módulo cero. En realidad, es posible utilizar el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt para demostrar que el espacio vectorial subyacente de es isomorfo a ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

¿Dónde está la subálgebra de Lie generada por los espacios de raíces negativas de (es decir, la 's)? ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Propiedades básicas

Los módulos Verma, considerados como módulos , son módulos de mayor peso , es decir , son generados por un vector de mayor peso . Este vector de mayor peso es (el primero es la unidad en y el segundo es la unidad en el campo , considerado como el módulo ) y tiene peso . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1\otimes 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Multiplicidades

Los módulos de Verma son módulos de peso , es decir, son una suma directa de todos sus espacios de peso . Cada espacio de peso es de dimensión finita y la dimensión del espacio de peso es el número de formas de expresarse como una suma de raíces positivas (esto está estrechamente relacionado con la llamada función de partición de Kostant ). Esta afirmación se deriva de la afirmación anterior de que el módulo de Verma es isomorfo como espacio vectorial para , junto con el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt para . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

propiedad universal

Los módulos de Verma tienen una propiedad muy importante: si cualquier representación es generada por un vector de peso más alto , hay un homomorfismo sobreyectivo . Es decir, todas las representaciones con peso más alto que son generadas por el vector de peso más alto (los llamados módulos de peso más alto ) son cocientes de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }.}$

Módulo de cociente irreducible

${\displaystyle W_{\lambda }}$contiene un submódulo máximo único, y su cociente es la representación irreducible única (hasta el isomorfismo ) con mayor peso ^[7] Si el peso más alto es dominante e integral, se prueba que este cociente irreducible es en realidad de dimensión finita. ^[8] ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda }$

Como ejemplo, consideremos el caso discutido anteriormente. Si el peso más alto es una "integral dominante", lo que significa simplemente que es un número entero no negativo, entonces y el intervalo de los elementos es invariante. La representación del cociente es entonces irreducible con la dimensión . La representación del cociente está abarcada por vectores linealmente independientes . La acción de es la misma que en el módulo Verma, excepto que en el cociente, en comparación con el módulo Verma. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Yv_{m}=0}$ ${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$

El módulo Verma en sí es irreducible si y sólo si es antidominante. ^[9] En consecuencia, cuando es integral, es irreducible si y sólo si ninguna de las coordenadas de la base de pesos fundamentales es del conjunto , mientras que en general, esta condición es necesaria pero insuficiente para ser irreducible. ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

Otras propiedades

El módulo Verma se llama regular si su peso más alto λ está en la órbita afín de Weyl de un peso dominante . En otras palabras, existe un elemento w del grupo Weyl W tal que ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

¿Dónde está la acción afín del grupo Weyl ? ${\displaystyle \cdot }$

El módulo Verma se llama singular si no hay un peso dominante en la órbita afín de λ. En este caso, existe un peso que está en la pared de la cámara de Weyl fundamental (δ es la suma de todos los pesos fundamentales ). ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Homomorfismos de módulos Verma.

Para dos pesos cualesquiera, un homomorfismo no trivial ${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

pueden existir sólo si y están vinculados con una acción afín del grupo Weyl del álgebra de Lie . Esto se desprende fácilmente del teorema de Harish-Chandra sobre caracteres centrales infinitesimales . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cada homomorfismo de los módulos de Verma es inyectivo y la dimensión

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

para cualquier . Entonces, existe un valor distinto de cero si y solo si es isomorfo a un submódulo (único) de . ${\displaystyle \mu ,\lambda }$ ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

La clasificación completa de los homomorfismos del módulo Verma fue realizada por Bernstein-Gelfand-Gelfand ^[10] y Verma ^[11] y se puede resumir en la siguiente declaración:

Existe un homomorfismo distinto de cero si y sólo si existe ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

una secuencia de pesos

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

tal que para algunas raíces positivas (y es la reflexión de la raíz correspondiente y es la suma de todos los pesos fundamentales ) y para cada una es un número natural ( es la coroot asociada a la raíz ). ${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ ${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

Si los módulos de Verma y son regulares, entonces existe un peso dominante único y elementos únicos w , w ′ del grupo Weyl W tales que ${\displaystyle M_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

y

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

¿Dónde está la acción afín del grupo Weyl? Si los pesos son integrales , entonces existe un homomorfismo distinto de cero. ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

si y solo si

${\displaystyle w\leq w'}$

en el ordenamiento Bruhat del grupo Weyl.

Serie Jordan-Hölder

Dejar

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

Sea una secuencia de -módulos de modo que el cociente B/A sea irreducible con mayor peso μ. Entonces existe un homomorfismo distinto de cero . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Una consecuencia fácil de esto es que para cualquier módulo de mayor peso , tal que ${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

existe un homomorfismo distinto de cero . ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Resolución Bernstein-Gelfand-Gelfand

Sea una representación irreducible de dimensión finita del álgebra de Lie con mayor peso λ. Sabemos por la sección sobre homomorfismos de los módulos Verma que existe un homomorfismo ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

si y solo si

${\displaystyle w\leq w'}$

en el ordenamiento Bruhat del grupo Weyl . El siguiente teorema describe una resolución en términos de módulos Verma (fue demostrado por Bernstein – Gelfand –Gelfand en 1975 ^[12] ): ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Existe una secuencia exacta de -homomorfismos ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

donde n es la longitud del elemento más grande del grupo Weyl.

También existe una resolución similar para los módulos Verma generalizados . Se denomina brevemente resolución BGG .

Ver también

• Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie
• Teorema del mayor peso.
• Módulo Verma generalizado
• módulo weyl

Notas

1. Por ejemplo, Hall 2015 Capítulo 9
2. Salón 2015 Sección 9.2
3. Salón 2015 Secciones 9.6 y 9.7
4. Salón 2015 Secciones 9.2
5. Salón 2015 Sección 9.5
6. Teorema 9.14 de Hall 2015
7. Salón 2015 Sección 9.6
8. Salón 2015 Sección 9.7
9. Humphreys, James (22 de julio de 2008). Representaciones de álgebras de mentira semisimples en la categoría BGG 𝒪. Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 94. Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/gsm/094. ISBN 978-0-8218-4678-0.
10. Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Estructura de representaciones generadas por vectores de mayor peso, Funcional. Anal. Aplica. 5 (1971)
11. Verma N., Estructura de ciertas representaciones inducidas de álgebras de Lie complejas semisimples, Bull. América. Matemáticas. Soc. 74 (1968)
12. Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Operadores diferenciales en el espacio afín de base y un estudio de módulos g, grupos de Lie y sus representaciones , IM Gelfand, Ed., Adam Hilger, Londres, 1975.

Referencias

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; diez Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensiones finitas e infinitas y su aplicación en física . Estudios de física matemática. vol. 7. Holanda Septentrional. Capítulo 20. ISBN 978-0-444-82836-1– vía ScienceDirect .
• Carter, R. (2005), Álgebras de mentira de tipo finito y afín , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
• Dixmier, J. (1977), Álgebras envolventes , Amsterdam, Nueva York, Oxford: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-11077-0.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, J. (1980), Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
• Knapp, AW (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción (2ª ed.), Birkhäuser, p. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6.
• Rocha, Alvany (2001) [1994], "Resolución BGG", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Roggenkamp, ​​K.; Stefanescu, M. (2002), Álgebra - Teoría de la representación , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.

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