Subálgebra de Cartan

Subálgebra nilpotente de un álgebra de Lie

En matemáticas , una subálgebra de Cartan , a menudo abreviada como CSA , es una subálgebra nilpotente de un álgebra de Lie que se autonormaliza (si es para todos , entonces ). Fueron presentados por Élie Cartan en su tesis doctoral. Controla la teoría de representación de un álgebra de Lie semisimple sobre un campo de características . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$

En un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero (por ejemplo, ), una subálgebra de Cartan es lo mismo que una subálgebra abeliana máxima que consta de elementos x tales que el endomorfismo adjunto es semisimple (es decir, diagonalizable ). A veces esta caracterización se toma simplemente como la definición de una subálgebra de Cartan. ^{[1] página 231} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

En general, una subálgebra se llama toral si está formada por elementos semisimples. Sobre un campo algebraicamente cerrado, una subálgebra toral es automáticamente abeliana. Por tanto, sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, una subálgebra de Cartan también se puede definir como una subálgebra toral máxima.

Las álgebras de Kac-Moody y las álgebras de Kac-Moody generalizadas también tienen subálgebras que desempeñan el mismo papel que las subálgebras de Cartan de las álgebras de Lie semisimples (sobre un campo de característica cero).

Existencia y unicidad

Las subálgebras de Cartan existen para álgebras de Lie de dimensión finita siempre que el campo base sea infinito. Una forma de construir una subálgebra de Cartan es mediante un elemento regular . En un campo finito, la cuestión de la existencia sigue abierta. ^{[ cita necesaria ]}

Para un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, existe un enfoque más simple: por definición, una subálgebra toral es una subálgebra de que consta de elementos semisimples (un elemento es semisimple si el endomorfismo adjunto inducido por él es diagonalizable ). Una subálgebra de Cartan es entonces lo mismo que una subálgebra toral máxima y la existencia de una subálgebra toral máxima es fácil de ver. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, todas las subálgebras de Cartan son conjugadas bajo automorfismos del álgebra y, en particular, todas son isomorfas . La dimensión común de una subálgebra de Cartan se llama rango del álgebra.

Para un álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita, la existencia de una subálgebra de Cartan es mucho más sencilla de establecer, suponiendo la existencia de una forma real compacta. ^[2] En ese caso, puede tomarse como la complejización del álgebra de Lie de un toro máximo del grupo compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Si es un álgebra de Lie lineal (una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V ) sobre un campo algebraicamente cerrado, entonces cualquier subálgebra de Cartan de es el centralizador de una subálgebra toral máxima de . ^{[ cita necesaria ]} Si es semisimple y el campo tiene característica cero, entonces una subálgebra toral máxima se autonormaliza y, por lo tanto, es igual a la subálgebra de Cartan asociada. Si además es semisimple, entonces la representación adjunta se presenta como un álgebra de Lie lineal, de modo que una subálgebra de es Cartan si y sólo si es una subálgebra toral máxima. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos

• Cualquier álgebra de Lie nilpotente es su propia subálgebra de Cartan.
• Una subálgebra de Cartan de , el álgebra de Lie de matrices sobre un campo, es el álgebra de todas las matrices diagonales. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Para el álgebra especial de Lie de matrices sin trazas , tiene la subálgebra de Cartan ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$
  $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$$
  dónde
  $${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$$
  Por ejemplo, en la subálgebra de Cartan está la subálgebra de matrices. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$
  $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}}$$
  con soporte de mentira dado por el conmutador matricial.
• El álgebra de Lie de matrices de traza tiene dos subálgebras de Cartan no conjugadas. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 0}$
• La dimensión de una subálgebra de Cartan no es en general la dimensión máxima de una subálgebra abeliana, incluso para álgebras de Lie simples y complejas. Por ejemplo, el álgebra de Lie de matrices de traza tiene una subálgebra de Cartan de rango pero tiene una subálgebra abeliana máxima de dimensión que consta de todas las matrices de la forma con cualquiera de matriz. Se puede ver directamente que esta subálgebra abeliana no es una subálgebra de Cartan, ya que está contenida en el álgebra nilpotente de matrices triangulares estrictamente superiores (o, ya que está normalizada por matrices diagonales). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Subálgebras de Cartan de álgebras de Lie semisimples

Para álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0, una subálgebra de Cartan tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es abeliano ,
• Para la representación adjunta , la imagen consta de operadores semisimples (es decir, matrices diagonalizables). ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$

(Como se señaló anteriormente, una subálgebra de Cartan puede de hecho caracterizarse como una subálgebra que es máxima entre aquellas que tienen las dos propiedades anteriores).

Estas dos propiedades dicen que los operadores en son simultáneamente diagonalizables y que existe una descomposición suma directa de as ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

dónde

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

Dejar . Entonces es un sistema raíz y, además, ; es decir, el centralizador de coincide con . La descomposición anterior se puede escribir entonces como: ${\displaystyle \Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)}$

Resulta que para cada uno tiene dimensión uno y así: ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$.

Consulte también Álgebra de mentira semisimple#Estructura para obtener más información.

Descomponer representaciones con subálgebra dual de Cartan

Dada un álgebra de Lie sobre un campo de característica , ^{[ se necesita aclaración ]} y una representación de álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$$

$${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma (h))(v)=\lambda (h)v{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$$

espacio de peso para peso ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$$

peso. ${\displaystyle V_{\lambda }\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$

Clasificación de representaciones irreducibles mediante pesos.

Pero resulta que estos pesos se pueden utilizar para clasificar las representaciones irreducibles del álgebra de Lie . Para una representación irreducible de dimensión finita , existe un peso único con respecto a un orden parcial en . Además, dado que para cada raíz positiva , existe una representación irreducible única . Esto significa que el sistema raíz contiene toda la información sobre la teoría de representación de . ^{[1] página 240} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle L^{+}(\lambda )}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

División de la subálgebra de Cartan

En campos no algebraicamente cerrados, no todas las subálgebras de Cartan son conjugadas. Una clase importante son las subálgebras de Cartan divididas : si un álgebra de Lie admite una subálgebra de Cartan dividida, entonces se llama divisible, y el par se llama álgebra de Lie dividida ; sobre un campo algebraicamente cerrado, cada álgebra de Lie semisimple es divisible. Dos álgebras de Cartan de división cualesquiera son conjugadas y cumplen una función similar a las álgebras de Cartan en álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados, por lo que las álgebras de Lie semisimples divididas (de hecho, las álgebras de Lie reductivas divididas) comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados. . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$

Sin embargo, en un campo no algebraicamente cerrado, no todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles.

Subgrupo Cartan

Un subgrupo de Cartan de un grupo de Lie es uno de los subgrupos cuyo álgebra de Lie es una subálgebra de Cartan. El componente de identidad de un subgrupo tiene la misma álgebra de Lie. No existe una convención estándar sobre cuál de los subgrupos con esta propiedad se denomina subgrupo de Cartan, especialmente en el caso de grupos desconectados. Un subgrupo de Cartan de un grupo de Lie compacto y conectado es un subgrupo abeliano máximo conectado (un toro máximo ). Su álgebra de Lie es una subálgebra de Cartan.

Para grupos de Lie compactos desconectados existen varias definiciones no equivalentes de un subgrupo de Cartan. El más común parece ser el dado por David Vogan , quien define un subgrupo de Cartan como el grupo de elementos que normalizan un toro máximo fijo y fijan la cámara de Weyl fundamental . A esto a veces se le llama el gran subgrupo de Cartan . También hay un pequeño subgrupo de Cartan , definido como el centralizador de un toro máximo. Estos subgrupos de Cartan no necesitan ser abelianos en general.

Ejemplos de subgrupos de Cartan

• El subgrupo en GL ₂ ( R ) que consta de matrices diagonales.

Referencias

1. Hotta, R. (Ryoshi) (2008). Módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación. Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (edición en inglés). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4363-8. OCLC  316693861.
2. Salón 2015 Capítulo 7

Notas

• Álgebras de mentira y sus representaciones
• Álgebras de Lie de dimensión infinita

Referencias

• Borel, Armand (1991), Grupos algebraicos lineales , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 126 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, SEÑOR  1102012
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Jacobson, Nathan (1979), Álgebras de mentira , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63832-4, señor  0559927
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7
• Popov, VL (2001) [1994], "Cartan subalgebra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Antonio William Knapp; David A. Vogán (1995). Inducción cohomológica y representaciones unitarias . ISBN 978-0-691-03756-1.