En matemáticas , un álgebra de Kac-Moody generalizada es un álgebra de Lie similar a un álgebra de Kac-Moody , excepto que se le permite tener raíces imaginarias simples . Las álgebras de Kac-Moody generalizadas también se denominan a veces álgebras GKM , álgebras de Borcherds–Kac–Moody , álgebras BKM o álgebras de Borcherds . El ejemplo más conocido es el álgebra de Lie monstruosa .
Las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita tienen las siguientes propiedades:
Por ejemplo, para las álgebras de matrices n por n de traza cero, la forma bilineal es ( a , b ) = Traza( ab ), la involución de Cartan se da por menos la transpuesta, y la gradación se puede dar por "distancia desde la diagonal" de modo que el subálgebra de Cartan son los elementos de la diagonal.
A la inversa, se puede intentar encontrar todas las álgebras de Lie con estas propiedades (y que satisfagan algunas otras condiciones técnicas). La respuesta es que se obtienen sumas de álgebras de Lie afines y de dimensión finita .
El álgebra de Lie monstruosa satisface una versión ligeramente más débil de las condiciones anteriores: ( a , w(a) ) es positiva si a es distinto de cero y tiene un grado distinto de cero , pero puede ser negativa cuando a tiene grado cero. Las álgebras de Lie que satisfacen estas condiciones más débiles son álgebras de Kac-Moody más o menos generalizadas. Son esencialmente las mismas que las álgebras dadas por ciertos generadores y relaciones (descritos a continuación).
De manera informal, las álgebras de Kac-Moody generalizadas son las álgebras de Lie que se comportan como álgebras de Lie semisimples de dimensión finita. En particular, tienen un grupo de Weyl , una fórmula de caracteres de Weyl , una subálgebra de Cartan , raíces, pesos, etc.
Una matriz de Cartan simetrizada es una matriz cuadrada (posiblemente infinita) con entradas tales que
El álgebra universal generalizada de Kac-Moody con una matriz de Cartan simetrizada dada se define mediante generadores y relaciones y y
Estas se diferencian de las relaciones de un álgebra de Kac-Moody (simetrizable) principalmente en que permiten que las entradas diagonales de la matriz de Cartan no sean positivas. En otras palabras, permitimos que las raíces simples sean imaginarias, mientras que en un álgebra de Kac-Moody las raíces simples siempre son reales.
Un álgebra de Kac-Moody generalizada se obtiene a partir de una universal cambiando la matriz de Cartan, mediante las operaciones de matar algo en el centro, o tomar una extensión central , o agregar derivaciones externas.
Algunos autores dan una definición más general eliminando la condición de que la matriz de Cartan sea simétrica. No se sabe mucho sobre estas álgebras de Kac-Moody generalizadas no simetrizables y no parece haber ejemplos interesantes.
También es posible extender la definición a las superálgebras.
Un álgebra de Kac-Moody generalizada se puede calificar dando a e i grado 1, f i grado −1 y h i grado 0.
La pieza de grado cero es una subálgebra abeliana abarcada por los elementos h i y se llama subálgebra de Cartan .
La mayoría de las propiedades de las álgebras de Kac-Moody generalizadas son extensiones sencillas de las propiedades habituales de las álgebras de Kac-Moody (simetrizables).
Se cree que la mayoría de las álgebras de Kac-Moody generalizadas no tienen características distintivas. Las interesantes son de tres tipos:
Parece que solo hay un número finito de ejemplos del tercer tipo. Dos ejemplos son el álgebra de Lie monstruosa , aplicada por el grupo monstruoso y utilizada en las conjeturas de la luz de la luna monstruosa , y el álgebra de Lie monstruosa falsa. Hay ejemplos similares asociados a algunos de los otros grupos simples esporádicos .
Es posible encontrar muchos ejemplos de álgebras de Kac-Moody generalizadas utilizando el siguiente principio: cualquier cosa que parezca un álgebra de Kac-Moody generalizada es un álgebra de Kac-Moody generalizada. Más precisamente, si un álgebra de Lie está graduada por un retículo lorentziano y tiene una forma bilineal invariante y satisface algunas otras condiciones técnicas fácilmente comprobables, entonces es un álgebra de Kac-Moody generalizada. En particular, se pueden utilizar álgebras de vértices para construir un álgebra de Lie a partir de cualquier retículo par . Si el retículo es positivo definido, da un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita, si es positivo semidefinido, da un álgebra de Lie afín, y si es lorentziana, da un álgebra que satisface las condiciones anteriores y, por lo tanto, es un álgebra de Kac-Moody generalizada. Cuando la red es la red lorentziana unimodular de 26 dimensiones pares, la construcción da como resultado una falsa y monstruosa álgebra de Lie; todas las demás redes lorentzianas parecen dar como resultado álgebras poco interesantes.
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![{\displaystyle [e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]=[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a92b11842bc3cac6e7eebcfc6ab02ffeefb50d7)
![{\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[f_{i},f_{j}]=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d55d7f94a5a0ffdf2bec87399a7d5cc19d8341b)
