Fórmula del personaje de Weyl

Teoría de la representación

En matemáticas , la fórmula de carácter de Weyl en la teoría de la representación describe los caracteres de las representaciones irreducibles de los grupos de Lie compactos en términos de sus pesos más altos . ^[1] Fue demostrada por Hermann Weyl  (1925, 1926a, 1926b). Existe una fórmula estrechamente relacionada para el carácter de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple. ^[2] En el enfoque de Weyl para la teoría de la representación de los grupos de Lie compactos conexos , la prueba de la fórmula de carácter es un paso clave para demostrar que cada elemento integral dominante surge en realidad como el peso más alto de alguna representación irreducible. ^[3] Las consecuencias importantes de la fórmula de carácter son la fórmula de dimensión de Weyl y la fórmula de multiplicidad de Kostant .

Por definición, el carácter de una representación de G es la traza de , en función de un elemento del grupo . Las representaciones irreducibles en este caso son todas de dimensión finita (esto es parte del teorema de Peter-Weyl ); por lo que la noción de traza es la habitual del álgebra lineal. El conocimiento del carácter de proporciona mucha información sobre sí mismo. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

La fórmula de Weyl es una fórmula cerrada para el carácter , en términos de otros objetos construidos a partir de G y su álgebra de Lie . ${\displaystyle \chi }$

Formula de Weyl para el carácter

La fórmula del carácter se puede expresar en términos de representaciones de álgebras de Lie semisimples complejas o en términos de la teoría de representación (esencialmente equivalente) de grupos de Lie compactos .

Álgebras de Lie semisimples complejas

Sea una representación irreducible y finita-dimensional de un álgebra de Lie semisimple compleja . Supongamos que es una subálgebra de Cartan de . El carácter de es entonces la función definida por ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}$

El valor del carácter en es la dimensión de . Por consideraciones elementales, el carácter puede calcularse como ${\displaystyle H=0}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}}$,

donde la suma abarca todos los pesos de y donde es la multiplicidad de . (La expresión anterior se toma a veces como la definición del carácter). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

La fórmula del carácter establece ^[4] que también puede calcularse como ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

dónde

• ${\displaystyle W}$es el grupo de Weyl ;
• ${\displaystyle \Delta ^{+}}$es el conjunto de las raíces positivas del sistema radicular ; ${\displaystyle \Delta }$
• ${\displaystyle \rho }$es la mitad de la suma de las raíces positivas, a menudo llamada vector de Weyl ;
• ${\displaystyle \lambda }$es el peso más alto de la representación irreducible ; ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \varepsilon (w)}$es el determinante de la acción de sobre la subálgebra de Cartan . Esto es igual a , donde es la longitud del elemento del grupo de Weyl , definido como el número mínimo de reflexiones con respecto a raíces simples tales que es igual al producto de esas reflexiones. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}$ ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle w}$

Discusión

Usando la fórmula del denominador de Weyl (descrita a continuación), la fórmula del carácter puede reescribirse como

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$,

o, equivalentemente,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}$

El carácter es en sí mismo una gran suma de exponentes. En esta última expresión, multiplicamos el carácter por una suma alternada de exponentes, lo que aparentemente dará como resultado una suma de exponentes aún mayor. La parte sorprendente de la fórmula del carácter es que cuando calculamos este producto, solo queda realmente una pequeña cantidad de términos. Muchos más términos que estos aparecen al menos una vez en el producto del carácter y el denominador de Weyl, pero la mayoría de estos términos se cancelan a cero. ^[5] Los únicos términos que sobreviven son los términos que aparecen solo una vez, a saber (que se obtiene tomando el peso más alto de y el peso más alto del denominador de Weyl) y las cosas en la órbita del grupo de Weyl de . ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}$ ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$

Grupos de Lie compactos

Sea un grupo de Lie compacto y conexo y sea un toro maximalista en . Sea una representación irreducible de . Entonces definimos el carácter de como la función ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}$

Se ve fácilmente que el carácter es una función de clase en y el teorema de Peter-Weyl afirma que los caracteres forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado en . ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Dado que es una función de clase, está determinada por su restricción a . Ahora bien, en el álgebra de Lie de , tenemos ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})}$,

donde es la representación asociada del álgebra de Lie de . Por lo tanto, la función es simplemente el carácter de la representación asociada de , como se describe en la subsección anterior. La restricción del carácter de a se da entonces mediante la misma fórmula que en el caso del álgebra de Lie: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}$

La prueba de Weyl de la fórmula del carácter en el contexto del grupo compacto es completamente diferente de la prueba algebraica de la fórmula del carácter en el contexto de las álgebras de Lie semisimples. ^[7] En el contexto del grupo compacto, es común usar "raíces reales" y "pesos reales", que difieren en un factor de de las raíces y pesos utilizados aquí. Por lo tanto, la fórmula en el contexto del grupo compacto tiene factores de en el exponente en todo momento. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

El caso SU(2)

En el caso del grupo SU(2), consideremos la representación irreducible de dimensión . Si tomamos como el subgrupo diagonal de SU(2), la fórmula de caracteres en este caso se lee ^[8] ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(Tanto el numerador como el denominador en la fórmula del carácter tienen dos términos). Es instructivo verificar esta fórmula directamente en este caso, de modo que podamos observar el fenómeno de cancelación implícito en la fórmula del carácter de Weyl.

Como las representaciones se conocen de forma muy explícita, el carácter de la representación se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

El denominador de Weyl, por su parte, es simplemente la función . Multiplicando el carácter por el denominador de Weyl se obtiene ${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}$

Ahora podemos verificar fácilmente que la mayoría de los términos se cancelan entre los dos términos del lado derecho de arriba, dejándonos solo con

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}$

de modo que

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

El carácter en este caso es una serie geométrica con y el argumento precedente es una pequeña variante de la derivación estándar de la fórmula para la suma de una serie geométrica finita. ${\displaystyle R=e^{2i\theta }}$

Fórmula del denominador de Weyl

En el caso especial de la representación unidimensional trivial, el carácter es 1, por lo que la fórmula del carácter de Weyl se convierte en la fórmula del denominador de Weyl : ^[9]

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}$

Para grupos unitarios especiales, esto es equivalente a la expresión

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

para el determinante de Vandermonde . ^[10]

Fórmula de dimensión de Weyl

Al evaluar el carácter en , la fórmula del carácter de Weyl da la fórmula de dimensión de Weyl ${\displaystyle H=0}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

para la dimensión de una representación de dimensión finita con el mayor peso . (Como es habitual, ρ es la mitad de la suma de las raíces positivas y los productos se ejecutan sobre las raíces positivas α.) La especialización no es completamente trivial, porque tanto el numerador como el denominador de la fórmula del carácter de Weyl se desvanecen a un orden alto en el elemento identidad, por lo que es necesario tomar un límite de la traza de un elemento que tiende a la identidad, utilizando una versión de la regla de L'Hôpital . ^[11] En el caso SU(2) descrito anteriormente, por ejemplo, podemos recuperar la dimensión de la representación utilizando la regla de L'Hôpital para evaluar el límite cuando tiende a cero de . ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

Podemos considerar como ejemplo el álgebra de Lie semisimple compleja sl(3, C ), o equivalentemente el grupo compacto SU(3). En ese caso, las representaciones están etiquetadas por un par de números enteros no negativos. En este caso, hay tres raíces positivas y no es difícil verificar que la fórmula de dimensión toma la forma explícita ^[12] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

El caso es la representación estándar y, de hecho, la fórmula de dimensión da el valor 3 en este caso. ${\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}$

Fórmula de multiplicidad de Kostant

La fórmula de Weyl para el carácter da el carácter de cada representación como un cociente, donde el numerador y el denominador son cada uno una combinación lineal finita de exponentes. Si bien esta fórmula determina en principio el carácter, no resulta especialmente obvio cómo se puede calcular este cociente explícitamente como una suma finita de exponentes. Ya en el caso SU(2) descrito anteriormente, no resulta inmediatamente obvio cómo pasar de la fórmula de Weyl para el carácter, que da el carácter como a la fórmula para el carácter como una suma de exponentes: ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

En este caso, quizás no sea terriblemente difícil reconocer la expresión como la suma de una serie geométrica finita, pero en general necesitamos un procedimiento más sistemático. ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

En general, el proceso de división se puede lograr calculando un recíproco formal del denominador de Weyl y luego multiplicando el numerador en la fórmula del carácter de Weyl por este recíproco formal. ^[13] El resultado da el carácter como una suma finita de exponenciales. Los coeficientes de esta expansión son las dimensiones de los espacios de peso, es decir, las multiplicidades de los pesos. De este modo, obtenemos de la fórmula del carácter de Weyl una fórmula para las multiplicidades de los pesos, conocida como fórmula de multiplicidad de Kostant . En la siguiente sección se ofrece una fórmula alternativa, que es más manejable computacionalmente en algunos casos.

La fórmula de Freudenthal

La fórmula de Hans Freudenthal es una fórmula recursiva para las multiplicidades de peso que da la misma respuesta que la fórmula de multiplicidad de Kostant, pero a veces es más fácil de usar para los cálculos ya que puede haber muchos menos términos para sumar. La fórmula se basa en el uso del elemento de Casimir y su derivación es independiente de la fórmula del carácter. Establece ^[14]

${\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

dónde

• Λ es el peso más alto,
• λ es algún otro peso,
• m _Λ (λ) es la multiplicidad del peso λ en la representación irreducible V _Λ
• ρ es el vector de Weyl
• La primera suma es sobre todas las raíces positivas α.

Fórmula de caracteres de Weyl-Kac

La fórmula de carácter de Weyl también es válida para las representaciones integrables de mayor peso de las álgebras de Kac-Moody , cuando se la conoce como fórmula de carácter de Weyl-Kac . De manera similar, existe una identidad del denominador para las álgebras de Kac-Moody, que en el caso de las álgebras de Lie afines es equivalente a las identidades de Macdonald . En el caso más simple del álgebra de Lie afín de tipo A _1, esta es la identidad del triple producto de Jacobi.

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}$

La fórmula del carácter también se puede extender a representaciones integrables de mayor peso de álgebras generalizadas de Kac-Moody , cuando el carácter viene dado por

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Aquí S es un término de corrección dado en términos de las raíces simples imaginarias por

${\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}$

donde la suma recorre todos los subconjuntos finitos I de las raíces simples imaginarias que son ortogonales entre pares y ortogonales al peso más alto λ, y |I| es la cardinalidad de I y Σ I es la suma de los elementos de I .

La fórmula del denominador para el álgebra de Lie monstruosa es la fórmula del producto

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

para la función modular elíptica j .

Peterson dio una fórmula de recursión para las multiplicidades mult(β) de las raíces β de un álgebra de Kac-Moody simetrizable (generalizada), que es equivalente a la fórmula del denominador de Weyl-Kac, pero más fácil de usar para los cálculos:

${\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}$

donde la suma es sobre las raíces positivas γ, δ y

${\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}$

Fórmula del personaje Harish-Chandra

Harish-Chandra demostró que la fórmula de carácter de Weyl admite una generalización a representaciones de un grupo real reductivo . Supóngase que es una representación irreducible y admisible de un grupo real reductivo G con carácter infinitesimal . Sea el carácter de Harish-Chandra de ; se da por integración contra una función analítica en el conjunto regular. Si H es un subgrupo de Cartan de G y H' es el conjunto de elementos regulares en H, entonces ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Theta _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Aquí

• W es el grupo de Weyl complejo de con respecto a ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle W_{\lambda }}$es el estabilizador de en W ${\displaystyle \lambda }$

y el resto de la notación es como arriba.

Los coeficientes aún no se comprenden bien. Se pueden encontrar resultados sobre estos coeficientes en los artículos de Herb , Adams, Schmid y Schmid-Vilonen, entre otros. ${\displaystyle a_{w}}$

Véase también

• Teoría del carácter
• Carácter algebraico
• Fórmula del personaje Demazure
• Fórmula de integración de Weyl
• Fórmula del personaje de Kirillov

Referencias

1. Hall 2015 Sección 12.4.
2. Hall 2015 Sección 10.4.
3. Hall 2015 Sección 12.5.
4. Hall 2015 Teorema 10.14
5. Hall 2015 Sección 10.4.
6. Hall 2015 Sección 12.3
7. Véase Hall 2015, Sección 10.8 en el contexto del álgebra de Lie y Sección 12.4 en el contexto del grupo compacto
8. Hall 2015 Ejemplo 12.23
9. Hall 2015 Lema 10.28.
10. Hall 2015 Ejercicio 9 en el Capítulo 10.
11. Hall 2015 Sección 10.5.
12. Hall 2015 Ejemplo 10.23
13. Sala 2015 Sección 10.6
14. Humphreys 1972 Sección 22.3

• Fulton, William y Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN  0387974954 . OCLC 22861245. ^[1]
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Álgebras de Lie de dimensión infinita , VG Kac, ISBN 0-521-37215-1 
• Duncan J. Melville (2001) [1994], "Fórmula de caracteres de Weyl-Kac", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift , 23 , Springer Berlin / Heidelberg: 271–309, doi :10.1007/BF01506234, ISSN  0025-5874, S2CID  123145812
• Weyl, Hermann (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II", Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer  Berlin / Heidelberg: 328–376, doi :10.1007/BF01216788, ISSN  0025-5874, 186229448
• Weyl, Hermann (1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III", Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer  Berlin / Heidelberg: 377–395, doi :10.1007/BF01216789, ISSN  0025-5874, 186232780

1. Fulton, William, 1939- (1991). Teoría de la representación: un primer curso . Harris, Joe, 1951-. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954.OCLC 22861245  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)