En matemáticas , una subálgebra es un subconjunto de un álgebra , cerrado bajo todas sus operaciones y que lleva a cabo las operaciones inducidas.
" Álgebra ", cuando se refiere a una estructura, a menudo significa un espacio vectorial o módulo equipado con una operación bilineal adicional. Las álgebras en álgebra universal son mucho más generales: son una generalización común de todas las estructuras algebraicas . "Subálgebra" puede referirse a cualquiera de los dos casos.
Una subálgebra de un álgebra sobre un anillo o campo conmutativo es un subespacio vectorial que se cierra bajo la multiplicación de vectores. La restricción de la multiplicación del álgebra la convierte en un álgebra sobre el mismo anillo o campo. Esta noción también se aplica a la mayoría de las especializaciones, donde la multiplicación debe satisfacer propiedades adicionales, por ejemplo, a las álgebras asociativas o a las álgebras de Lie . Sólo para las álgebras unitales existe una noción más fuerte, la de subálgebra unital , para la cual también se requiere que la unidad de la subálgebra sea la unidad del álgebra mayor.
Las matrices de 2 × 2 sobre los reales forman un álgebra unital de la manera obvia. Las matrices de 2 × 2 para las cuales todas las entradas son cero, excepto la primera en la diagonal, forman una subálgebra. También es unital, pero no es una subálgebra unital.
En álgebra universal , una subálgebra de un álgebra A es un subconjunto S de A que también tiene la estructura de un álgebra del mismo tipo cuando las operaciones algebraicas están restringidas a S. Si los axiomas de un tipo de estructura algebraica se describen mediante leyes ecuacionales , como suele ser el caso en el álgebra universal, entonces lo único que hay que comprobar es que S es cerrado bajo las operaciones.
Algunos autores consideran álgebras con funciones parciales . Hay varias formas de definir subálgebras para estos. Otra generalización de las álgebras es permitir relaciones. Estas álgebras más generales suelen denominarse estructuras y se estudian en teoría de modelos y en informática teórica . Para estructuras con relaciones existen nociones de subestructuras débiles y de subestructuras inducidas .
Por ejemplo, la firma estándar para grupos en álgebra universal es (•, −1 , 1) . (Se necesitan inversión y unidad para obtener las nociones correctas de homomorfismo y para que las leyes de los grupos puedan expresarse como ecuaciones). Por lo tanto, un subgrupo de un grupo G es un subconjunto S de G tal que: