En álgebra universal , una variedad de álgebras o clase ecuacional es la clase de todas las estructuras algebraicas de una firma determinada que satisfacen un conjunto determinado de identidades . Por ejemplo, los grupos forman una variedad de álgebras, al igual que los grupos abelianos , los anillos , los monoides etc. Según el teorema de Birkhoff, una clase de estructuras algebraicas de la misma firma es una variedad si y sólo si es cerrada bajo el toma de imágenes homomórficas , subálgebras y productos (directos) . En el contexto de la teoría de categorías , una variedad de álgebras, junto con sus homomorfismos, forman una categoría ; éstas suelen denominarse categorías algebraicas finitas .
Una covariedad es la clase de todas las estructuras coalgebraicas de una firma determinada.
Una variedad de álgebras no debe confundirse con una variedad algebraica , que significa un conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones polinómicas . Son formalmente bastante distintos y sus teorías tienen poco en común.
El término "variedad de álgebras" se refiere a álgebras en el sentido general de álgebra universal ; También hay un sentido más específico de álgebra, es decir, como álgebra sobre un campo , es decir, un espacio vectorial equipado con una multiplicación bilineal .
Una firma (en este contexto) es un conjunto, cuyos elementos se llaman operaciones , a cada una de las cuales se le asigna un número natural (0, 1, 2,...) llamado aridad . Dada una firma σ y un conjunto V , cuyos elementos se llaman variables , una palabra es un árbol de raíz finita en el que cada nodo está etiquetado por una variable o una operación, de modo que cada nodo etiquetado por una variable no tiene ramas fuera de la raíz y cada nodo etiquetado por una operación o tiene tantas ramas alejadas de la raíz como la aridad de o . Una ley ecuacional es un par de esas palabras; el axioma que consta de las palabras v y w se escribe como v = w .
Una teoría consta de una firma, un conjunto de variables y un conjunto de leyes ecuacionales. Cualquier teoría proporciona una variedad de álgebras de la siguiente manera. Dada una teoría T , un álgebra de T consiste en un conjunto A junto con, para cada operación o de T con aridad n , una función o A : A n → A tal que para cada axioma v = w y cada asignación de elementos de A a las variables en ese axioma, se cumple la ecuación que se obtiene aplicando las operaciones a los elementos de A como lo indican los árboles que definen v y w . La clase de álgebras de una determinada teoría T se denomina variedad de álgebras .
Dadas dos álgebras de una teoría T , digamos A y B , un homomorfismo es una función f : A → B tal que
para cada operación o de aridad n . Cualquier teoría da una categoría donde los objetos son álgebras de esa teoría y los morfismos son homomorfismos.
La clase de todos los semigrupos forma una variedad de álgebras de firma (2), lo que significa que un semigrupo tiene una única operación binaria. Una ecuación definitoria suficiente es la ley asociativa:
La clase de grupos forma una variedad de álgebras de firma (2,0,1), siendo las tres operaciones respectivamente multiplicación (binaria), identidad (nullar, una constante) e inversión (unaria). Los conocidos axiomas de asociatividad, identidad e inverso forman un conjunto adecuado de identidades:
La clase de anillos también forma una variedad de álgebras. La firma aquí es (2,2,0,0,1) (dos operaciones binarias, dos constantes y una operación unaria).
Si fijamos un anillo R específico , podemos considerar la clase de módulos R izquierdos . Para expresar la multiplicación escalar con elementos de R , necesitamos una operación unaria para cada elemento de R . Si el anillo es infinito, tendremos infinitas operaciones, lo que permite la definición de estructura algebraica en álgebra universal. Entonces también necesitaremos infinitas identidades para expresar los axiomas del módulo, lo que permite la definición de una variedad de álgebras. Entonces los módulos R izquierdos forman una variedad de álgebras.
Los campos no forman una variedad de álgebras; el requisito de que todos los elementos distintos de cero sean invertibles no puede expresarse como una identidad universalmente satisfecha (ver más abajo).
Los semigrupos canceladores tampoco forman una variedad de álgebras, ya que la propiedad de cancelación no es una ecuación, es una implicación que no es equivalente a ningún conjunto de ecuaciones. Sin embargo, forman una cuasivariedad ya que la implicación que define la propiedad de cancelación es un ejemplo de cuasiidentidad .
Dada una clase de estructuras algebraicas de la misma firma, podemos definir las nociones de homomorfismo, subálgebra y producto . Garrett Birkhoff demostró que una clase de estructuras algebraicas de la misma firma es una variedad si y sólo si está cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas, subálgebras y productos arbitrarios. [1] Este es un resultado de fundamental importancia para el álgebra universal y se conoce como teorema de variedades de Birkhoff o como teorema HSP . H , S y P representan, respectivamente, las operaciones de homomorfismo, subálgebra y producto.
Una dirección de la equivalencia mencionada anteriormente, a saber, que una clase de álgebras que satisfacen algún conjunto de identidades debe ser cerrada bajo las operaciones HSP, se desprende inmediatamente de las definiciones. Demostrar lo contrario (las clases de álgebras cerradas bajo las operaciones HSP deben ser ecuacionales) es más difícil.
Utilizando la sencilla dirección del teorema de Birkhoff, podemos, por ejemplo, verificar la afirmación hecha anteriormente, de que los axiomas de campo no son expresables mediante ningún conjunto posible de identidades: el producto de campos no es un campo, por lo que los campos no forman una variedad.
Una subvariedad de una variedad de álgebras V es una subclase de V que tiene la misma firma que V y es en sí misma una variedad, es decir, está definida por un conjunto de identidades.
Observe que aunque todo grupo se convierte en un semigrupo cuando se omite la identidad como constante (y/o se omite la operación inversa), la clase de grupos no forma una subvariedad de la variedad de semigrupos porque las firmas son diferentes. De manera similar, la clase de semigrupos que son grupos no es una subvariedad de la variedad de semigrupos. La clase de monoides que son grupos contiene y no contiene su subálgebra (más precisamente, submonoide) .
Sin embargo, la clase de grupos abelianos es una subvariedad de la variedad de grupos porque consta de aquellos grupos que satisfacen xy = yx , sin cambio de firma. Los grupos abelianos finitamente generados no forman una subvariedad, ya que según el teorema de Birkhoff no forman una variedad, ya que un producto arbitrario de grupos abelianos finitamente generados no se genera finitamente.
Viendo una variedad V y sus homomorfismos como una categoría , una subvariedad U de V es una subcategoría completa de V , lo que significa que para cualquier objeto a , b en U , los homomorfismos de a a b en U son exactamente los de a a b en V.
Supongamos que V es una variedad no trivial de álgebras, es decir, que V contiene álgebras con más de un elemento. Se puede demostrar que para cada conjunto S , la variedad V contiene un álgebra libre F S en S. Esto significa que existe un mapa de conjunto inyectivo i : S → F S que satisface la siguiente propiedad universal : dada cualquier álgebra A en V y cualquier mapa k : S → A , existe un único homomorfismo V f : F S → A tal que f ∘ yo = k .
Esto generaliza las nociones de grupo libre , grupo abeliano libre , álgebra libre , módulo libre, etc. Tiene la consecuencia de que cada álgebra en una variedad es una imagen homomórfica de un álgebra libre.
Además de las variedades, los teóricos de categorías utilizan otros dos marcos que son equivalentes en términos de los tipos de álgebras que describen: las mónadas finitarias y las teorías de Lawvere . Podemos pasar de una mónada variedad a una finita de la siguiente manera. Una categoría con alguna variedad de álgebras como objetos y homomorfismos como morfismos se denomina categoría algebraica finita . Para cualquier categoría algebraica finita V , el funtor olvidadizo G : V → Set tiene un adjunto izquierdo F : Set → V , es decir, el funtor que asigna a cada conjunto el álgebra libre en ese conjunto. Esta adjunción es monádica , lo que significa que la categoría V es equivalente al conjunto de categorías T de Eilenberg-Moore para la mónada T = GF . Además, la mónada T es finita , lo que significa que conmuta con colimits filtrados .
La mónada T : Set → Set es, por tanto, suficiente para recuperar la categoría algebraica finita. De hecho, las categorías algebraicas finitarias son precisamente aquellas categorías equivalentes a las categorías de Eilenberg-Moore de mónadas finitarias. Ambas, a su vez, son equivalentes a categorías de álgebras de las teorías de Lawvere.
Trabajar con mónadas permite la siguiente generalización. Se dice que una categoría es una categoría algebraica si es monádica sobre Set . Esta es una noción más general que la "categoría algebraica finita" porque admite categorías como CABA (álgebras booleanas atómicas completas) y CSLat (semiredes completas) cuyas firmas incluyen operaciones infinitas. En esos dos casos la firma es grande, lo que significa que no forma un conjunto sino una clase propiamente dicha, porque sus operaciones son de aridad ilimitada. La categoría algebraica de álgebras sigma también tiene operaciones infinitas, pero su aridad es contable por lo que su firma es pequeña (forma un conjunto).
Cada categoría algebraica finita es una categoría localmente presentable .
Dado que las variedades son cerradas bajo productos directos arbitrarios, todas las variedades no triviales contienen álgebras infinitas. Se han hecho intentos de desarrollar un análogo finitario de la teoría de las variedades. Esto llevó, por ejemplo, a la noción de variedad de semigrupos finitos . Este tipo de variedad utiliza únicamente productos finitos. Sin embargo, utiliza un tipo de identidades más general.
Una pseudovariedad generalmente se define como una clase de álgebras de una firma determinada, cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas, subálgebras y productos directos finitos. No todos los autores suponen que todas las álgebras de una pseudovariedad sean finitas; si este es el caso, a veces se habla de una variedad de álgebras finitas . Para las pseudovariedades, no existe una contraparte finita general del teorema de Birkhoff, pero en muchos casos la introducción de una noción más compleja de ecuaciones permite derivar resultados similares. [2]
Las pseudovariedades son de particular importancia en el estudio de semigrupos finitos y, por tanto, en la teoría del lenguaje formal . El teorema de Eilenberg, a menudo denominado teorema de variedades , describe una correspondencia natural entre variedades de lenguas regulares y pseudovariedades de semigrupos finitos.
Dos monografías disponibles gratuitamente en línea:
