Teoría de campos de Liouville

Teoría de campos conformes bidimensionales

En física , la teoría de campos de Liouville (o simplemente teoría de Liouville ) es una teoría de campos conforme bidimensional cuya ecuación clásica de movimiento es una generalización de la ecuación de Liouville .

La teoría de Liouville se define para todos los valores complejos de la carga central de su álgebra de simetría de Virasoro , pero es unitaria solo si ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c\in (1,+\infty ),}$

y su límite clásico es

${\displaystyle c\to +\infty .}$

Aunque se trata de una teoría interactuante con un espectro continuo , la teoría de Liouville ha sido resuelta. En particular, se ha determinado analíticamente su función de tres puntos sobre la esfera .

Introducción

La teoría de Liouville describe la dinámica de un campo llamado campo de Liouville, que se define en un espacio bidimensional. Este campo no es un campo libre debido a la presencia de un potencial exponencial. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V(\varphi )=e^{2b\varphi }\ ,}$

donde el parámetro se denomina constante de acoplamiento . En una teoría de campo libre, los vectores propios de energía son linealmente independientes y el momento se conserva en las interacciones. En la teoría de Liouville, el momento no se conserva. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Reflexión de un vector propio de energía con momento a partir del potencial exponencial de la teoría de Liouville ${\displaystyle \alpha }$

Además, el potencial refleja los vectores propios de energía antes de que alcancen , y dos vectores propios son linealmente dependientes si sus momentos están relacionados por la reflexión ${\displaystyle \varphi =+\infty }$

${\displaystyle \alpha \to Q-\alpha \ ,}$

donde esta la carga de fondo

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}\ .}$

Si bien el potencial exponencial rompe la conservación del momento, no rompe la simetría conforme, y la teoría de Liouville es una teoría de campo conforme con la carga central.

${\displaystyle c=1+6Q^{2}\ .}$

Bajo transformaciones conformes, un vector propio de energía con momento se transforma en un campo primario con la dimensión conforme por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .}$

La carga central y las dimensiones conformes son invariantes bajo la dualidad.

${\displaystyle b\to {\frac {1}{b}}\ ,}$

Las funciones de correlación de la teoría de Liouville son covariantes bajo esta dualidad y bajo las reflexiones de los momentos. Sin embargo, estas simetrías cuánticas de la teoría de Liouville no se manifiestan en la formulación lagrangiana ; en particular, el potencial exponencial no es invariante bajo la dualidad.

Funciones de espectro y correlación

Espectro

El espectro de la teoría de Liouville es una combinación diagonal de los módulos de Verma del álgebra de Virasoro , ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

donde y denotan el mismo módulo de Verma, visto como una representación del álgebra de Virasoro que se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha respectivamente. En términos de momentos , ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}$ ${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

corresponde a

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}.}$

La relación de reflexión es responsable de que el momento tome valores en una semilínea, en lugar de una línea completa para una teoría libre.

La teoría de Liouville es unitaria si y solo si . El espectro de la teoría de Liouville no incluye un estado de vacío . Se puede definir un estado de vacío, pero no contribuye a las expansiones del producto de operadores . ${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$

Relación entre campos y reflexión

En la teoría de Liouville, los campos primarios suelen parametrizarse por su momento en lugar de por su dimensión conforme y se denotan como . Ambos campos y corresponden al estado primario de la representación y están relacionados por la relación de reflexión ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,}$

donde el coeficiente de reflexión es ^[1]

${\displaystyle R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .}$

(El signo es si y en caso contrario, y el parámetro de normalización es arbitrario). ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \lambda }$

Funciones de correlación y fórmula DOZZ

Para , la constante de estructura de tres puntos se da mediante la fórmula DOZZ (para Dorn–Otto ^[2] y Zamolodchikov–Zamolodchikov ^[3] ), ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$

${\displaystyle C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

donde la función especial es un tipo de función gamma múltiple . ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$

Para , la constante de estructura de tres puntos es ^[1] ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[(ib)^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

dónde

${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .}$

${\displaystyle N}$Las funciones de puntos en la esfera se pueden expresar en términos de constantes de estructura de tres puntos y bloques conformes . Una función de puntos puede tener varias expresiones diferentes: que concuerden es equivalente a la simetría cruzada de la función de cuatro puntos, lo que se ha comprobado numéricamente ^{[3] [4]} y demostrado analíticamente. ^{[5] [6]} ${\displaystyle N}$

La teoría de Liouville existe no sólo en la esfera, sino también en cualquier superficie de Riemann de género . Técnicamente, esto es equivalente a la invariancia modular de la función de un punto del toro . Debido a las notables identidades de los bloques conformes y las constantes de estructura, esta propiedad de invariancia modular se puede deducir de la simetría cruzada de la función de cuatro puntos de la esfera. ^{[7] [4]} ${\displaystyle g\geq 1}$

Singularidad de la teoría de Liouville

Utilizando el enfoque bootstrap conforme , se puede demostrar que la teoría de Liouville es la única teoría de campo conforme tal que ^[1]

• El espectro es un continuo, sin multiplicidades mayores que uno,
• Las funciones de correlación dependen analíticamente de y de los momentos, ${\displaystyle b}$
• Existen campos degenerados.

Formulación lagrangiana

Acción y ecuación de movimiento

La teoría de Liouville se define por la acción local

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}$

donde es la métrica del espacio bidimensional en el que se formula la teoría, es el escalar de Ricci de ese espacio y es el campo de Liouville. El parámetro , que a veces se denomina constante cosmológica, está relacionado con el parámetro que aparece en las funciones de correlación por ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}$

La ecuación de movimiento asociada a esta acción es

${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}$

donde es el operador de Laplace-Beltrami . Si es la métrica euclidiana , esta ecuación se reduce a ${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

lo que es equivalente a la ecuación de Liouville .

Una vez compactada en un cilindro, la teoría de campos de Liouville puede formularse de manera equivalente como una teoría de línea de mundo. ^[8]

Simetría conforme

Utilizando un sistema de coordenadas complejo y una métrica euclidiana ${\displaystyle z}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}$

Los componentes del tensor de energía-momento obedecen

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

Los componentes que no desaparecen son

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}$

Cada uno de estos dos componentes genera un álgebra de Virasoro con la carga central

${\displaystyle c=1+6Q^{2}.}$

Para ambas álgebras de Virasoro, un campo es un campo primario con la dimensión conforme ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}$

Para que la teoría tenga invariancia conforme , el campo que aparece en la acción debe ser marginal , es decir, tener la dimensión conforme. ${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

${\displaystyle \Delta (b)=1.}$

Esto nos lleva a la relación

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

entre la carga de fondo y la constante de acoplamiento. Si se respeta esta relación, entonces es exactamente marginal y la teoría es conformemente invariante. ${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

Integral de trayectoria

La representación integral de trayectoria de una función de correlación de puntos de campos primarios es ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}$

Ha sido difícil definir y calcular esta integral de trayectoria. En la representación de la integral de trayectoria, no es obvio que la teoría de Liouville tenga una invariancia conforme exacta , y no es manifiesto que las funciones de correlación sean invariantes bajo la relación de reflexión y obedezcan la misma. Sin embargo, la representación de la integral de trayectoria se puede utilizar para calcular los residuos de las funciones de correlación en algunos de sus polos como integrales de Dotsenko-Fateev en el formalismo de los gases de Coulomb , y así es como se adivinó por primera vez la fórmula DOZZ en la década de 1990. Recién en la década de 2010 se encontró una construcción probabilística rigurosa de la integral de trayectoria, que condujo a una prueba de la fórmula DOZZ ^[9] y al bootstrap conforme. ^{[6] [10]} ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

Relaciones con otras teorías de campos conformes

Algunos límites de la teoría de Liouville

Cuando la carga central y las dimensiones conformes se envían a los valores discretos relevantes, las funciones de correlación de la teoría de Liouville se reducen a funciones de correlación de los modelos mínimos diagonales (serie A) de Virasoro . ^[1]

Por otra parte, cuando la carga central se envía a uno mientras las dimensiones conformes permanecen continuas, la teoría de Liouville tiende a la teoría de Runkel-Watts, una teoría de campos conforme (CFT) no trivial con un espectro continuo cuya función de tres puntos no es analítica como una función de los momentos. ^[11] Las generalizaciones de la teoría de Runkel-Watts se obtienen a partir de la teoría de Liouville tomando límites del tipo . ^[4] Entonces, para , se conocen dos CFT distintas con el mismo espectro: la teoría de Liouville, cuya función de tres puntos es analítica, y otra CFT con una función de tres puntos no analítica. ${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$ ${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$

Modelos WZW

La teoría de Liouville se puede obtener a partir del modelo de Wess-Zumino-Witten mediante una reducción cuántica de Drinfeld-Sokolov . Además, las funciones de correlación del modelo (la versión euclidiana del modelo WZW) se pueden expresar en términos de funciones de correlación de la teoría de Liouville. ^{[12] [13]} Esto también es cierto para las funciones de correlación del modelo de coset de agujero negro 2d. ^[12] Además, existen teorías que interpolan continuamente entre la teoría de Liouville y el modelo. ^[14] ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$

Teoría de Toda conforme

La teoría de Liouville es el ejemplo más simple de una teoría de campo de Toda , asociada a la matriz de Cartan . Las teorías de Toda conformes más generales pueden considerarse como generalizaciones de la teoría de Liouville, cuyos lagrangianos involucran varios bosones en lugar de un bosón , y cuyas álgebras de simetría son álgebras W en lugar del álgebra de Virasoro. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Teoría supersimétrica de Liouville

La teoría de Liouville admite dos extensiones supersimétricas diferentes llamadas teoría de Liouville supersimétrica y teoría de Liouville supersimétrica. ^[15] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Relaciones con modelos integrables

Modelo Sinh-Gordon

En el espacio plano, el modelo sinh-Gordon está definido por la acción local:

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}$

La ecuación clásica de movimiento correspondiente es la ecuación sinh-Gordon . El modelo puede considerarse como una perturbación de la teoría de Liouville. La matriz S exacta del modelo se conoce en el régimen de acoplamiento débil y es formalmente invariante bajo . Sin embargo, se ha argumentado que el modelo en sí no es invariante. ^[16] ${\displaystyle 0<b<1}$ ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

Aplicaciones

Gravedad de Liouville

En dos dimensiones, las ecuaciones de Einstein se reducen a la ecuación de Liouville , por lo que la teoría de Liouville proporciona una teoría cuántica de la gravedad que se denomina gravedad de Liouville. No debe confundirse ^{[17] [18]} con el modelo CGHS o la gravedad de Jackiw–Teitelboim .

Teoría de cuerdas

La teoría de Liouville aparece en el contexto de la teoría de cuerdas cuando se intenta formular una versión no crítica de la teoría en la formulación de la integral de trayectorias . ^[19] La teoría también aparece como la descripción de la teoría de cuerdas bosónica en dos dimensiones espacio-temporales con un dilatón lineal y un fondo de taquiones . La ecuación de movimiento del campo de taquiones en el fondo de dilatón lineal requiere que tome una solución exponencial. La acción de Polyakov en este fondo es entonces idéntica a la teoría del campo de Liouville, siendo el dilatón lineal responsable del término de carga de fondo mientras que el taquión contribuye con el potencial exponencial. ^[20]

Modelos de energía aleatorios

Existe una correspondencia exacta entre la teoría de Liouville con , y ciertos modelos de energía aleatoria log-correlacionada . ^[21] Estos modelos describen una partícula térmica en un potencial aleatorio que está correlacionado logarítmicamente. En dos dimensiones, dicho potencial coincide con el campo libre gaussiano . En ese caso, ciertas funciones de correlación entre campos primarios en la teoría de Liouville se asignan a funciones de correlación de la medida de Gibbs de la partícula. Esto tiene aplicaciones a las estadísticas de valores extremos del campo libre gaussiano bidimensional, y permite predecir ciertas propiedades universales de los modelos de energía aleatoria log-correlacionada (en dos dimensiones y más allá). ${\displaystyle c\geq 25}$

Otras aplicaciones

La teoría de Liouville está relacionada con otros temas de física y matemáticas, como la relatividad general tridimensional en espacios de curvatura negativa , el problema de uniformización de superficies de Riemann y otros problemas de mapeo conforme . También está relacionada con las funciones de partición de instantones en ciertas teorías de calibración superconformes de cuatro dimensiones mediante la correspondencia AGT .

Confusión de nombres parac ≤ 1

La teoría de Liouville apareció por primera vez como un modelo de teoría de cuerdas dependiente del tiempo bajo el nombre de teoría de Liouville temporal . ^[22] También se la ha llamado modelo mínimo generalizado . ^[23] Se la llamó por primera vez teoría de Liouville cuando se descubrió que realmente existía y que era espacial en lugar de temporal. ^[4] A partir de 2022, ninguno de estos tres nombres es universalmente aceptado. ${\displaystyle c\leq 1}$

Referencias

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Enlaces externos

• Los matemáticos demuestran que la versión 2D de la gravedad cuántica realmente funciona, artículo de la revista Quanta de Charlie Wood, junio de 2021.
• Introducción a la teoría de Liouville, charla en el Instituto de Estudios Avanzados por Antti Kupiainen , mayo de 2018.