Teoría de la representación

Rama de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas abstractas.

La teoría de la representación estudia cómo las estructuras algebraicas "actúan" sobre los objetos. Un ejemplo sencillo es cómo las simetrías de los polígonos regulares , formadas por reflexiones y rotaciones, transforman el polígono.

La teoría de la representación es una rama de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas abstractas representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales , y estudia módulos sobre estas estructuras algebraicas abstractas. ^{[1] [2]} En esencia, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más concreto al describir sus elementos mediante matrices y sus operaciones algebraicas (por ejemplo, suma de matrices , multiplicación de matrices ). La teoría de matrices y operadores lineales se comprende bien, ^{[ cita necesaria ]} por lo que las representaciones de objetos más abstractos en términos de objetos familiares de álgebra lineal ayudan a obtener propiedades y, a veces, a simplificar los cálculos en teorías más abstractas.

Los objetos algebraicos susceptibles de tal descripción incluyen grupos , álgebras asociativas y álgebras de Lie . La más destacada de ellas (e históricamente la primera) es la teoría de la representación de grupos , en la que los elementos de un grupo están representados por matrices invertibles de modo que la operación del grupo es la multiplicación de matrices. ^{[3] [4]}

La teoría de la representación es un método útil porque reduce los problemas de álgebra abstracta a problemas de álgebra lineal , un tema que se comprende bien. ^{[5] Por ejemplo, representar un grupo mediante un} espacio de Hilbert de dimensión infinita permite aplicar métodos de análisis a la teoría de grupos. ^{[6] [7]} Además, la teoría de la representación es importante en física porque puede describir cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema. ^[8]

La teoría de la representación está omnipresente en todos los campos de las matemáticas. Las aplicaciones de la teoría de la representación son diversas. ^[9] Además de su impacto en el álgebra, la teoría de la representación

• generaliza el análisis de Fourier mediante análisis armónico , ^[10]
• está conectado a la geometría a través de la teoría invariante y el programa de Erlangen , ^[11]
• Tiene un impacto en la teoría de números a través de formas automórficas y el programa Langlands . ^[12]

Existen diversos enfoques de la teoría de la representación. Los mismos objetos se pueden estudiar utilizando métodos de geometría algebraica , teoría de módulos , teoría analítica de números , geometría diferencial , teoría de operadores , combinatoria algebraica y topología . ^[13]

El éxito de la teoría de la representación ha dado lugar a numerosas generalizaciones. Uno de los más generales es el de la teoría de categorías . ^[14] Los objetos algebraicos a los que se aplica la teoría de la representación pueden verse como tipos particulares de categorías, y las representaciones como funtores de la categoría de objeto a la categoría de espacios vectoriales . ^[4] Esta descripción apunta a dos generalizaciones obvias: primero, los objetos algebraicos pueden ser reemplazados por categorías más generales; en segundo lugar, la categoría objetivo de espacios vectoriales puede sustituirse por otras categorías bien entendidas.

Definiciones y conceptos

Sea un espacio vectorial sobre un campo . ^[5] Por ejemplo, supongamos que es o , el espacio estándar de n dimensiones de vectores de columna sobre números reales o complejos , respectivamente. En este caso, la idea de la teoría de la representación es hacer álgebra abstracta de forma concreta utilizando matrices de números reales o complejos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Hay tres tipos principales de objetos algebraicos para los que se puede hacer esto: grupos , álgebras asociativas y álgebras de Lie . ^{[15] [4]}

• El conjunto de todas las matrices invertibles es un grupo bajo multiplicación de matrices , y la teoría de representación de grupos analiza un grupo describiendo ("representando") sus elementos en términos de matrices invertibles. ${\displaystyle n\times n}$
• La suma y multiplicación de matrices convierten el conjunto de todas las matrices en un álgebra asociativa y, por lo tanto, existe una teoría de representación correspondiente de álgebras asociativas . ${\displaystyle n\times n}$
• Si reemplazamos la multiplicación de matrices por el conmutador de matrices , entonces las matrices se convierten en un álgebra de Lie, lo que lleva a una teoría de representación de álgebras de Lie . ${\displaystyle MN}$ ${\displaystyle MN-NM}$ ${\displaystyle n\times n}$

Esto se generaliza a cualquier campo y cualquier espacio vectorial sobre , con mapas lineales reemplazando a las matrices y composición reemplazando la multiplicación de matrices: hay un grupo de automorfismos de , un álgebra asociativa de todos los endomorfismos de y un álgebra de Lie correspondiente . ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V,\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{End}}_{\mathbb {F} }(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )}$

Definición

Acción

Hay dos formas de definir una representación. ^[16] El primero utiliza la idea de acción , generalizando la forma en que las matrices actúan sobre los vectores columna mediante la multiplicación de matrices.

Una representación de un grupo o álgebra (asociativa o de Lie) en un espacio vectorial es un mapa. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \Phi \colon G\times V\to V\quad {\text{or}}\quad \Phi \colon A\times V\to V}$$

1. Para cualquier en (o en ), el mapa ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (g)\colon V&\to V\\v&\mapsto \Phi (g,v)\end{aligned}}}$$
   es lineal (sobre ). ${\displaystyle \mathbb {F} }$
2. Si introducimos la notación g · v para ( g , v ), entonces para cualquier g ₁ , g ₂ en G y v en V : ${\displaystyle \Phi }$
   $${\displaystyle (2.1)\quad e\cdot v=v}$$
   $${\displaystyle (2.2)\quad g_{1}\cdot (g_{2}\cdot v)=(g_{1}g_{2})\cdot v}$$
   donde e es el elemento identidad de G y g ₁ g ₂ es el producto del grupo en G .

La definición de álgebras asociativas es análoga, excepto que las álgebras asociativas no siempre tienen un elemento identidad, en cuyo caso se omite la ecuación (2.1). La ecuación (2.2) es una expresión abstracta de la asociatividad de la multiplicación de matrices. Esto no es válido para el conmutador matricial y tampoco hay ningún elemento de identidad para el conmutador. Por lo tanto, para las álgebras de Lie, el único requisito es que para cualquier x ₁ , x ₂ en A y v en V :

$${\displaystyle (2.2')\quad x_{1}\cdot (x_{2}\cdot v)-x_{2}\cdot (x_{1}\cdot v)=[x_{1},x_{2}]\cdot v}$$

x ₁x ₂corchete de LieMNNM

Cartografía

La segunda forma de definir una representación se centra en el mapa φ enviando g en G a un mapa lineal φ ( g ): V → V , que satisface

${\displaystyle \varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{1})\circ \varphi (g_{2})\quad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G}$

y lo mismo en los demás casos. Este enfoque es a la vez más conciso y más abstracto. Desde este punto de vista:

• una representación de un grupo G en un espacio vectorial V es un homomorfismo de grupo φ : G → GL( V , F ); ^[7]
• una representación de un álgebra asociativa A en un espacio vectorial V es un homomorfismo de álgebra φ : A → End _F ( V ); ^[7]
• una representación de un álgebra de Lie en un espacio vectorial es un homomorfismo de álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi :{\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )}$

Terminología

El espacio vectorial V se llama espacio de representación de φ y su dimensión (si es finita) se llama dimensión de la representación (a veces grado , como en ^[17] ). También es una práctica común referirse a V en sí como la representación cuando el homomorfismo φ se desprende claramente del contexto; de lo contrario, se puede utilizar la notación ( V , φ ) para indicar una representación.

Cuando V es de dimensión finita n , se puede elegir una base para que V identifique V con F ⁿ y, por lo tanto, recuperar una representación matricial con entradas en el campo F.

Una representación efectiva o fiel es una representación ( V , φ ), para la cual el homomorfismo φ es inyectivo .

Mapas equivalentes e isomorfismos.

Si V y W son espacios vectoriales sobre F , equipados con representaciones φ y ψ de un grupo G , entonces una aplicación equivariante de V a W es una aplicación lineal α : V → W tal que

${\displaystyle \alpha (g\cdot v)=g\cdot \alpha (v)}$

para todo g en G y v en V . En términos de φ : G → GL( V ) y ψ : G → GL( W ), esto significa

${\displaystyle \alpha \circ \varphi (g)=\psi (g)\circ \alpha }$

para todo g en G , es decir, el siguiente diagrama conmuta :

Los mapas equivalentes para representaciones de un álgebra asociativa o de Lie se definen de manera similar. Si α es invertible, entonces se dice que es un isomorfismo , en cuyo caso V y W (o, más precisamente, φ y ψ ) son representaciones isomorfas , también expresadas como representaciones equivalentes . Un mapa equivariante a menudo se denomina mapa de representaciones entrelazadas . Además, en el caso de un grupo G , en ocasiones se le llama mapa G.

Las representaciones isomorfas son, a efectos prácticos, "lo mismo"; proporcionan la misma información sobre el grupo o álgebra que se representa. La teoría de la representación busca, por tanto, clasificar las representaciones hasta el isomorfismo .

Subrepresentaciones, cocientes y representaciones irreducibles

Si es una representación de (digamos) un grupo , y es un subespacio lineal de que se preserva por la acción de en el sentido de que para todos y , ( Serre los llama estables en ^[17] ), entonces se llama subrepresentación : por definiendo ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g\cdot w\in W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \phi :G\to {\text{Aut}}(W)}$$

espacio cocientesubespacio trivialirreduciblereducible^[18] ${\displaystyle \phi (g)}$ ${\displaystyle \psi (g)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (W,\phi )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W\hookrightarrow V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

La definición de representación irreductible implica el lema de Schur : un mapa equivariante

$${\displaystyle \alpha :(V,\psi )\to (V',\psi ')}$$

mapa ceronúcleoimagenendomorfismosálgebra de divisiónFFalgebraicamente cerrado ${\displaystyle V=V'}$ ${\displaystyle V}$

Las representaciones irreductibles son los pilares de la teoría de la representación para muchos grupos: si una representación no es irreducible, entonces se construye a partir de una subrepresentación y un cociente que son ambos "más simples" en algún sentido; por ejemplo, si es de dimensión finita, entonces tanto la subrepresentación como el cociente tienen una dimensión más pequeña. Hay contraejemplos en los que una representación tiene una subrepresentación, pero solo tiene un componente irreducible no trivial. Por ejemplo, el grupo aditivo tiene una representación bidimensional. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

$${\displaystyle \phi (a)={\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}}}$$

los grupos unipotentes^{[19] : 112}

Sumas directas y representaciones indescomponibles

Si ( V , φ ) y ( W , ψ ) son representaciones de (digamos) un grupo G , entonces la suma directa de V y W es una representación, de forma canónica, a través de la ecuación

${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$

La suma directa de dos representaciones no contiene más información sobre el grupo G que las dos representaciones individualmente. Si una representación es la suma directa de dos subrepresentaciones adecuadas no triviales, se dice que es descomponible. En caso contrario se dice que es indescomponible.

Reducibilidad completa

En circunstancias favorables, toda representación de dimensión finita es una suma directa de representaciones irreducibles: se dice que tales representaciones son semisimples . En este caso, basta con comprender sólo las representaciones irreductibles. Los ejemplos en los que ocurre este fenómeno de " reducibilidad completa " incluyen grupos finitos (ver teorema de Maschke ), grupos compactos y álgebras de Lie semisimples.

En los casos en los que no se cumple la reducibilidad completa, se debe comprender cómo se pueden construir representaciones indescomponibles a partir de representaciones irreducibles como extensiones de un cociente mediante una subrepresentación.

Productos tensoriales de representaciones.

Supongamos que y son representaciones de un grupo . Entonces podemos formar una representación de G actuando sobre el espacio vectorial producto tensorial de la siguiente manera: ^[20] ${\displaystyle \phi _{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{1}\otimes \phi _{2}}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(g)=\phi _{1}(g)\otimes \phi _{2}(g)}$.

Si y son representaciones de un álgebra de Lie, entonces la fórmula correcta a utilizar es ^[21] ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(X)=\phi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \phi _{2}(X)}$.

Este producto puede reconocerse como el coproducto de una coalgebra . En general, el producto tensorial de representaciones irreducibles no es irreducible; El proceso de descomposición de un producto tensorial como suma directa de representaciones irreducibles se conoce como teoría de Clebsch-Gordan .

En el caso de la teoría de la representación del grupo SU(2) (o equivalentemente, de su álgebra de Lie compleja ), la descomposición es fácil de resolver. ^[22] Las representaciones irreducibles están etiquetadas por un parámetro que es un número entero no negativo o un medio entero; la representación entonces tiene dimensión . Supongamos que tomamos el producto tensorial de la representación de dos representaciones, con etiquetas y donde asumimos . Luego, el producto tensorial se descompone como una suma directa de una copia de cada representación con etiqueta , donde varía de a en incrementos de 1. Si, por ejemplo, , entonces los valores de que ocurren son 0, 1 y 2. Por lo tanto, el La representación del producto tensorial de la dimensión se descompone como una suma directa de una representación unidimensional, una representación tridimensional y una representación quintodimensional . ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 2l+1}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2},}$ ${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l_{1}-l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}=l_{2}=1}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (2l_{1}+1)\times (2l_{2}+1)=3\times 3=9}$ ${\displaystyle (l=0),}$ ${\displaystyle (l=1),}$ ${\displaystyle (l=2)}$

Ramas y temas

La teoría de la representación se destaca por la cantidad de ramas que tiene y la diversidad de enfoques para estudiar representaciones de grupos y álgebras. Aunque todas las teorías tienen en común los conceptos básicos ya discutidos, difieren considerablemente en los detalles. Las diferencias son al menos triples:

1. La teoría de la representación depende del tipo de objeto algebraico que se representa. Hay varias clases diferentes de grupos, álgebras asociativas y álgebras de Lie, y todas sus teorías de representación tienen un sabor individual.
2. La teoría de la representación depende de la naturaleza del espacio vectorial en el que se representa el objeto algebraico. La distinción más importante es entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, las estructuras adicionales son importantes (por ejemplo, si el espacio es o no un espacio de Hilbert , un espacio de Banach , etc.). También se pueden imponer estructuras algebraicas adicionales en el caso de dimensión finita.
3. La teoría de la representación depende del tipo de campo sobre el cual se define el espacio vectorial. Los casos más importantes son el campo de números complejos, el campo de números reales, los campos finitos y los campos de números p-ádicos . Surgen dificultades adicionales para campos de característica positiva y para campos que no son algebraicamente cerrados .

grupos finitos

Las representaciones de grupos son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. ^[23] También surgen en las aplicaciones de la teoría de grupos finitos a la geometría y la cristalografía . ^[24] Las representaciones de grupos finitos exhiben muchas de las características de la teoría general y señalan el camino hacia otras ramas y temas de la teoría de la representación.

Sobre un campo de característica cero , la representación de un grupo finito G tiene una serie de propiedades convenientes. Primero, las representaciones de G son semisimples (completamente reducibles). Esto es una consecuencia del teorema de Maschke , que establece que cualquier subrepresentación V de una representación G W tiene un complemento invariante G. Una prueba es elegir cualquier proyección π de W a V y reemplazarla por su promedio π _G definido por

${\displaystyle \pi _{G}(x)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot x).}$

π _G es equivariante y su núcleo es el complemento requerido.

Las representaciones G de dimensión finita se pueden entender usando la teoría de caracteres : el carácter de una representación φ : G → GL( V ) es la función de clase χ _φ : G → F definida por

${\displaystyle \chi _{\varphi }(g)=\mathrm {Tr} (\varphi (g))}$

¿ Dónde está el rastro ? Una representación irreductible de G está completamente determinada por su carácter. ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$

El teorema de Maschke es válido de manera más general para campos de característica positiva p , como los campos finitos , siempre que el primo p sea coprimo del orden de G. Cuando p y | GRAMO | tienen un factor común , existen representaciones G que no son semisimples, las cuales se estudian en una subrama llamada teoría de representaciones modulares .

Las técnicas de promedio también muestran que si F son los números reales o complejos, entonces cualquier representación G conserva un producto interno en V en el sentido de que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle g\cdot v,g\cdot w\rangle =\langle v,w\rangle }$

para todo g en G y v , w en W . Por tanto, cualquier representación G es unitaria .

Las representaciones unitarias son automáticamente semisimples, ya que el resultado de Maschke se puede probar tomando el complemento ortogonal de una subrepresentación. Al estudiar representaciones de grupos que no son finitos, las representaciones unitarias proporcionan una buena generalización de las representaciones reales y complejas de un grupo finito.

Resultados como el teorema de Maschke y la propiedad unitaria que se basan en el promedio se pueden generalizar a grupos más generales reemplazando el promedio con una integral, siempre que se pueda definir una noción adecuada de integral. Esto se puede hacer para grupos topológicos compactos (incluidos los grupos compactos de Lie), utilizando la medida de Haar , y la teoría resultante se conoce como análisis armónico abstracto .

Sobre campos arbitrarios, otra clase de grupos finitos que tienen una buena teoría de representación son los grupos finitos de tipo Lie . Ejemplos importantes son los grupos algebraicos lineales sobre campos finitos. La teoría de la representación de grupos algebraicos lineales y grupos de Lie extiende estos ejemplos a grupos de dimensión infinita, estando estos últimos íntimamente relacionados con las representaciones del álgebra de Lie . La importancia de la teoría de caracteres para grupos finitos tiene un análogo en la teoría de pesos para representaciones de grupos de Lie y álgebras de Lie.

Las representaciones de un grupo finito G también están vinculadas directamente a las representaciones de álgebra a través del álgebra de grupo F [ G ], que es un espacio vectorial sobre F con los elementos de G como base, equipado con la operación de multiplicación definida por la operación de grupo, linealidad. , y el requisito de que la operación de grupo y la multiplicación escalar conmuten.

Representaciones modulares

Las representaciones modulares de un grupo finito G son representaciones de un campo cuya característica no es coprima con | G |, de modo que el teorema de Maschke ya no se cumple (porque | G | no es invertible en F y por lo tanto no se puede dividir por él). ^[25] Sin embargo, Richard Brauer extendió gran parte de la teoría de los caracteres a las representaciones modulares, y esta teoría jugó un papel importante en los primeros avances hacia la clasificación de grupos finitos simples , especialmente para grupos simples cuya caracterización no era susceptible de métodos puramente teóricos de grupos porque sus subgrupos Sylow 2 eran "demasiado pequeños". ^[26]

Además de tener aplicaciones en la teoría de grupos, las representaciones modulares surgen de forma natural en otras ramas de las matemáticas , como la geometría algebraica , la teoría de la codificación , la combinatoria y la teoría de números .

Representaciones unitarias

Una representación unitaria de un grupo G es una representación lineal φ de G en un espacio de Hilbert V real o (generalmente) complejo tal que φ ( g ) es un operador unitario para cada g ∈ G . Estas representaciones se han aplicado ampliamente en la mecánica cuántica desde los años 1920, gracias en particular a la influencia de Hermann Weyl , ^[27] y esto ha inspirado el desarrollo de la teoría, en particular a través del análisis de las representaciones del grupo de Poincaré por Eugene Wigner. . ^[28] Uno de los pioneros en la construcción de una teoría general de representaciones unitarias (para cualquier grupo G y no solo para grupos particulares útiles en aplicaciones) fue George Mackey , y Harish-Chandra y otros desarrollaron una teoría extensa en los años 1950 y Década de 1960. ^[29]

Un objetivo importante es describir el " dual unitario ", el espacio de representaciones unitarias irreducibles de G. ^[30] La teoría está mejor desarrollada en el caso de que G sea un grupo topológico localmente compacto (Hausdorff) y las representaciones sean fuertemente continuas . ^[10] Para Gabeliano , el dual unitario es solo el espacio de caracteres , mientras que para G compacto, el teorema de Peter-Weyl muestra que las representaciones unitarias irreducibles son de dimensión finita y el dual unitario es discreto. ^[31] Por ejemplo, si G es el grupo circular S ¹ , entonces los caracteres están dados por números enteros y el dual unitario es Z.

Para G no compacto , la cuestión de qué representaciones son unitarias es sutil. Aunque las representaciones unitarias irreducibles deben ser "admisibles" (como los módulos de Harish-Chandra ) y es fácil detectar qué representaciones admisibles tienen una forma sesquilineal invariante no degenerada , es difícil determinar cuándo esta forma es positiva definida. Una descripción eficaz del dual unitario, incluso para grupos con un comportamiento relativamente bueno, como los grupos de Lie reductivos reales (que se analizan más adelante), sigue siendo un importante problema abierto en la teoría de la representación. Se ha resuelto para muchos grupos particulares, como SL(2, R ) y el grupo de Lorentz . ^[32]

Análisis armónico

La dualidad entre el grupo circular S ¹ y los números enteros Z , o más generalmente, entre un toro T ⁿ y Z ⁿ es bien conocida en el análisis como la teoría de las series de Fourier , y la transformada de Fourier expresa de manera similar el hecho de que el espacio de caracteres en un espacio vectorial real es el espacio vectorial dual . Así, la teoría de la representación unitaria y el análisis armónico están íntimamente relacionados, y el análisis armónico abstracto explota esta relación, desarrollando el análisis de funciones en grupos topológicos localmente compactos y espacios relacionados. ^[10]

Un objetivo importante es proporcionar una forma general de la transformada de Fourier y el teorema de Plancherel . Esto se hace construyendo una medida en el dual unitario y un isomorfismo entre la representación regular de G en el espacio L ² ( G ) de funciones cuadradas integrables en G y su representación en el espacio de funciones L 2 en el dual unitario. La dualidad de Pontrjagin y el teorema de Peter-Weyl logran esto para G abeliano y compacto respectivamente. ^{[31] [33]}

Otro enfoque implica considerar todas las representaciones unitarias, no sólo las irreductibles. Estos forman una categoría , y la dualidad Tannaka-Krein proporciona una manera de recuperar un grupo compacto a partir de su categoría de representaciones unitarias.

Si el grupo no es ni abeliano ni compacto, no se conoce ninguna teoría general con un análogo del teorema de Plancherel o la inversión de Fourier, aunque Alexander Grothendieck extendió la dualidad Tannaka-Krein a una relación entre grupos algebraicos lineales y categorías tannakianas .

El análisis armónico también se ha ampliado desde el análisis de funciones en un grupo G a funciones en espacios homogéneos para G. La teoría está particularmente bien desarrollada para espacios simétricos y proporciona una teoría de formas automórficas (que se analiza a continuación).

grupos de mentiras

Un grupo de Lie es un grupo que también es una variedad suave . Muchos grupos clásicos de matrices sobre números reales o complejos son grupos de Lie. ^[34] Muchos de los grupos importantes en física y química son grupos de Lie, y su teoría de representación es crucial para la aplicación de la teoría de grupos en esos campos. ^[8]

La teoría de la representación de grupos de Lie se puede desarrollar primero considerando los grupos compactos, a los que se aplican los resultados de la teoría de la representación compacta. ^[30] Esta teoría se puede extender a representaciones de dimensión finita de grupos de Lie semisimples usando el truco unitario de Weyl : cada grupo de Lie real semisimple G tiene una complejización, que es un grupo de Lie complejo G ^c , y este grupo de Lie complejo tiene un compacto máximo. subgrupo K. _ Las representaciones de dimensión finita de G corresponden estrechamente a las de K.

Un grupo de Lie general es un producto semidirecto de un grupo de Lie soluble y un grupo de Lie semisimple (la descomposición de Levi ). ^[35] La clasificación de representaciones de grupos de Lie solubles es intratable en general, pero a menudo fácil en casos prácticos. Las representaciones de productos semidirectos pueden luego analizarse mediante resultados generales llamados teoría de Mackey , que es una generalización de los métodos utilizados en la clasificación de Wigner de las representaciones del grupo de Poincaré.

Álgebras de mentira

Un álgebra de Lie sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F equipado con una operación bilineal simétrica sesgada llamada corchete de Lie , que satisface la identidad de Jacobi . Las álgebras de Lie surgen en particular como espacios tangentes a grupos de Lie en el elemento identidad , lo que lleva a su interpretación como "simetrías infinitesimales". ^[35] Un enfoque importante para la teoría de la representación de grupos de Lie es estudiar la correspondiente teoría de representación de las álgebras de Lie, pero las representaciones de las álgebras de Lie también tienen un interés intrínseco. ^[36]

Las álgebras de Lie, como los grupos de Lie, tienen una descomposición de Levi en partes semisimples y resolubles, siendo la teoría de representación de las álgebras de Lie resolubles intratables en general. Por el contrario, las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie semisimples se comprenden completamente, según el trabajo de Élie Cartan . Una representación de un álgebra de Lie semisimple 𝖌 se analiza eligiendo una subálgebra de Cartan , que es esencialmente una subálgebra máxima genérica 𝖍 de 𝖌 en la que el corchete de Lie es cero ("abeliano"). La representación de 𝖌 se puede descomponer en espacios de peso que son espacios propios para la acción de 𝖍 y el análogo infinitesimal de los caracteres. La estructura de las álgebras de Lie semisimples reduce el análisis de las representaciones a una combinatoria fácilmente comprensible de los posibles pesos que pueden ocurrir. ^[35]

Álgebras de Lie de dimensión infinita

Hay muchas clases de álgebras de Lie de dimensión infinita cuyas representaciones se han estudiado. Entre ellas, una clase importante son las álgebras de Kac-Moody. ^[37] Llevan el nombre de Victor Kac y Robert Moody , quienes los descubrieron de forma independiente. Estas álgebras forman una generalización de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita y comparten muchas de sus propiedades combinatorias. Esto significa que tienen una clase de representaciones que pueden entenderse de la misma manera que las representaciones de álgebras de Lie semisimples.

Las álgebras de Lie afines son un caso especial de las álgebras de Kac-Moody, que tienen particular importancia en matemáticas y física teórica , especialmente en la teoría de campos conforme y la teoría de modelos exactamente resolubles . Kac descubrió una elegante prueba de ciertas identidades combinatorias, las identidades de Macdonald , que se basa en la teoría de la representación de álgebras afines de Kac-Moody.

mentira superalgebras

Las superálgebras de Lie son generalizaciones de las álgebras de Lie en las que el espacio vectorial subyacente tiene una clasificación Z ₂ , y las propiedades de simetría sesgada y de identidad de Jacobi del corchete de Lie se modifican mediante signos. Su teoría de representación es similar a la teoría de representación de las álgebras de Lie. ^[38]

Grupos algebraicos lineales

Los grupos algebraicos lineales (o más generalmente, esquemas de grupos afines ) son análogos en geometría algebraica de los grupos de Lie , pero en campos más generales que solo R o C. En particular, sobre campos finitos, dan lugar a grupos finitos de tipo Lie . Aunque los grupos algebraicos lineales tienen una clasificación muy similar a la de los grupos de Lie, su teoría de representación es bastante diferente (y mucho menos comprendida) y requiere técnicas diferentes, ya que la topología de Zariski es relativamente débil y las técnicas de análisis ya no son válidas. disponible. ^[39]

teoría invariante

La teoría invariante estudia las acciones sobre variedades algebraicas desde el punto de vista de su efecto sobre funciones que forman representaciones del grupo. Clásicamente, la teoría abordaba la cuestión de la descripción explícita de funciones polinomiales que no cambian, o son invariantes , bajo las transformaciones de un grupo lineal dado . El enfoque moderno analiza la descomposición de estas representaciones en irreductibles. ^[40]

La teoría invariante de grupos infinitos está indisolublemente ligada al desarrollo del álgebra lineal , especialmente, a las teorías de formas cuadráticas y determinantes . Otro tema con fuerte influencia mutua es la geometría proyectiva , donde la teoría invariante se puede utilizar para organizar el tema, y ​​durante la década de 1960, David Mumford insufló nueva vida al tema en la forma de su teoría geométrica invariante . ^[41]

La teoría de la representación de grupos de Lie semisimples tiene sus raíces en la teoría invariante ^[34] y los fuertes vínculos entre la teoría de la representación y la geometría algebraica tienen muchos paralelos en la geometría diferencial, comenzando con el programa Erlangen de Felix Klein y las conexiones de Élie Cartan , que colocan Grupos y simetría en el corazón de la geometría. ^[42] Los desarrollos modernos vinculan la teoría de la representación y la teoría invariante con áreas tan diversas como la holonomía , los operadores diferenciales y la teoría de varias variables complejas .

Formas automorfas y teoría de números.

Las formas automórficas son una generalización de formas modulares a funciones analíticas más generales , quizás de varias variables complejas , con propiedades de transformación similares. ^[43] La generalización implica reemplazar el grupo modular PSL ₂ ( R ) y un subgrupo de congruencia elegido por un grupo de Lie semisimple G y un subgrupo discreto Γ . Así como las formas modulares pueden verse como formas diferenciales en un cociente del medio espacio superior H = PSL ₂ ( R )/SO(2), las formas automórficas pueden verse como formas diferenciales (u objetos similares) en Γ \ G / K , donde K es (típicamente) un subgrupo compacto máximo de G . Sin embargo, se requiere cierto cuidado, ya que el cociente normalmente tiene singularidades. El cociente de un grupo de Lie semisimple por un subgrupo compacto es un espacio simétrico y por eso la teoría de formas automórficas está íntimamente relacionada con el análisis armónico en espacios simétricos.

Antes del desarrollo de la teoría general, se trabajaron en detalle muchos casos especiales importantes, incluidas las formas modulares de Hilbert y las formas modulares de Siegel . Los resultados importantes de la teoría incluyen la fórmula de la traza de Selberg y la comprensión de Robert Langlands de que el teorema de Riemann-Roch podría aplicarse para calcular la dimensión del espacio de formas automórficas. La noción posterior de "representación automórfica" ha demostrado ser de gran valor técnico para tratar el caso de que G sea un grupo algebraico , tratado como un grupo algebraico adélico . Como resultado, se ha desarrollado toda una filosofía, el programa Langlands, en torno a la relación entre la representación y las propiedades teóricas de números de las formas automórficas. ^[44]

Álgebras asociativas

En cierto sentido, las representaciones de álgebra asociativa generalizan tanto las representaciones de grupos como las álgebras de Lie. Una representación de un grupo induce una representación de un anillo de grupo correspondiente o álgebra de grupo , mientras que las representaciones de un álgebra de Lie corresponden biyectivamente a representaciones de su álgebra envolvente universal . Sin embargo, la teoría de la representación de las álgebras asociativas generales no tiene todas las buenas propiedades de la teoría de la representación de grupos y las álgebras de Lie.

Teoría del módulo

Al considerar las representaciones de un álgebra asociativa, uno puede olvidar el campo subyacente y simplemente considerar el álgebra asociativa como un anillo y sus representaciones como módulos. Este enfoque es sorprendentemente fructífero: muchos resultados de la teoría de la representación pueden interpretarse como casos especiales de resultados sobre módulos sobre un anillo.

Álgebras de Hopf y grupos cuánticos.

Las álgebras de Hopf proporcionan una manera de mejorar la teoría de la representación de las álgebras asociativas, manteniendo al mismo tiempo la teoría de la representación de grupos y las álgebras de Lie como casos especiales. En particular, el producto tensorial de dos representaciones es una representación, al igual que el espacio vectorial dual.

Las álgebras de Hopf asociadas a grupos tienen una estructura de álgebra conmutativa, por lo que las álgebras de Hopf generales se conocen como grupos cuánticos , aunque este término suele restringirse a ciertas álgebras de Hopf que surgen como deformaciones de grupos o sus álgebras envolventes universales. La teoría de la representación de grupos cuánticos ha aportado conocimientos sorprendentes a la teoría de la representación de los grupos de Lie y a las álgebras de Lie, por ejemplo a través de la base cristalina de Kashiwara.

Generalizaciones

Representaciones de teoría de conjuntos

Una representación teórica de conjuntos (también conocida como acción de grupo o representación de permutación ) de un grupo G en un conjunto X está dada por una función ρ de G a X ^X , el conjunto de funciones de X a X , tal que para todo g ₁ , g ₂ en G y todo x en X :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].}$

Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ ( g ) es una biyección (o permutación ) para todo g en G. Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente una representación de permutación como un homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico S _X de X .

Representaciones en otras categorías

Cada grupo G puede verse como una categoría con un solo objeto; Los morfismos en esta categoría son solo los elementos de G. Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en C es un functor de G a C. Tal funtor selecciona un objeto X en C y un homomorfismo de grupo de G a Aut( X ), el grupo de automorfismo de X .

En el caso de que C sea Vect _F , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo F , esta definición equivale a una representación lineal. Asimismo, una representación teórica de conjuntos es solo una representación de G en la categoría de conjuntos .

Para otro ejemplo, considere la categoría de espacios topológicos , Top . Las representaciones en Top son homomorfismos de G al grupo de homeomorfismos de un espacio topológico X.

Tres tipos de representaciones muy relacionadas con las representaciones lineales son:

• Representaciones proyectivas : en la categoría de espacios proyectivos . Estas pueden describirse como "representaciones lineales hasta transformaciones escalares".
• representaciones afines : en la categoría de espacios afines . Por ejemplo, el grupo euclidiano actúa de forma afín sobre el espacio euclidiano .
• Correpresentaciones de grupos unitarios y antiunitarios : en la categoría de espacios vectoriales complejos con morfismos que son transformaciones lineales o antilineales .

Representaciones de categorías

Dado que los grupos son categorías, también se puede considerar la representación de otras categorías. La generalización más simple es a monoides , que son categorías con un objeto. Los grupos son monoides para los cuales cada morfismo es invertible. Los monoides generales tienen representaciones en cualquier categoría. En la categoría de conjuntos, se trata de acciones monoides , pero se pueden estudiar representaciones monoides en espacios vectoriales y otros objetos.

De manera más general, se puede relajar la suposición de que la categoría que se representa tiene un solo objeto. En general, esto es simplemente la teoría de functores entre categorías, y poco se puede decir.

Un caso especial ha tenido un impacto significativo en la teoría de la representación: la teoría de la representación de los carcaj. ^[14] Un carcaj es simplemente un gráfico dirigido (se permiten bucles y múltiples flechas), pero se puede convertir en una categoría (y también en un álgebra) considerando las rutas en el gráfico. Las representaciones de tales categorías/álgebras han iluminado varios aspectos de la teoría de la representación, por ejemplo, al permitir que las preguntas de la teoría de la representación no semisimples sobre un grupo se reduzcan en algunos casos a preguntas de la teoría de la representación semisimples sobre un carcaj.

Ver también

• Representación de Galois
• Glosario de teoría de la representación.
• Representación del grupo
• teorema de itô
• Lista de temas de teoría de la representación.
• Lista de temas de análisis armónicos.
• Análisis numérico
• Filosofía de las formas cúspides
• Representación (matemáticas)
• Teorema de representación
• álgebra universal

Notas

1. Los textos clásicos sobre teoría de la representación incluyen Curtis & Reiner (1962) y Serre (1977). Otras fuentes excelentes son Fulton y Harris (1991) y Goodman y Wallach (1998).
2. "teoría de la representación en nLab". ncatlab.org . Consultado el 9 de diciembre de 2019 .
3. Para conocer la historia de la teoría de la representación de grupos finitos, consulte Lam (1998). Para grupos algebraicos y de Lie, consulte Borel (2001).
4. , Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastián; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (10 de enero de 2011). «Introducción a la teoría de la representación» (PDF) . www-math.mit.edu . Consultado el 9 de diciembre de 2019 .
5. Hay muchos libros de texto sobre espacios vectoriales y álgebra lineal . Para un tratamiento avanzado, consulte Kostrikin y Manin (1997).
6. Sally y Vogan 1989.
7. Teleman, Constantin (2005). "Teoría de la representación" (PDF) . math.berkeley.edu . Consultado el 9 de diciembre de 2019 .
8. Sternberg 1994.
9. Lam 1998, pag. 372.
10. Folland 1995.
11. Goodman y Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997.
12. Borel y Casselman 1979, Gelbart 1984.
13. Véanse las notas a pie de página anteriores y también Borel (2001).
14. Simson, Skowronski y Assem 2007.
15. Fulton y Harris 1991, Simson, Skowronski y Assem 2007, Humphreys 1972a.
16. Este material se puede encontrar en libros de texto estándar, como Curtis & Reiner (1962), Fulton & Harris (1991), Goodman & Wallach (1998), James & Liebeck (1993), Humphreys (1972a), Jantzen (2003), Knapp (2001) y Serre (1977).
17. Serre 1977.
18. La representación {0} de la dimensión cero no se considera ni reducible ni irreducible, al igual que el número 1 no se considera ni compuesto ni primo .
19. Humphreys, James E. (1975). Grupos algebraicos lineales. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. ISBN 978-1-4684-9443-3. OCLC  853255426.
20. Salón 2015 Sección 4.3.2
21. Salón 2015 Proposición 4.18 y Definición 4.19
22. Salón 2015 Apéndice C
23. Alperin 1986, Lam 1998, Serre 1977.
24. Kim 1999.
25. Serre 1977, Parte III.
26. Alperín 1986.
27. Véase Weyl 1928.
28. Wigner 1939.
29. Borel 2001.
30. Knapp 2001.
31. Peter y Weyl 1927.
32. Bargmann 1947.
33. Pontrjagin 1934.
34. Weyl 1946.
35. Fulton y Harris 1991.
36. Humphreys 1972a.
37. Kac 1990.
38. Kac 1977.
39. Humphreys 1972b, Jantzen 2003.
40. Olver 1999.
41. Mumford, Fogarty y Kirwan 1994.
42. Sharpe 1997.
43. Borel y Casselman 1979.
44. Gelbart 1984.

Referencias

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enlaces externos

• "Teoría de la representación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Alexander Kirillov Jr. , Introducción a los grupos de Lie y las álgebras de Lie (2008). Libro de texto, versión preliminar pdf descargable desde la página de inicio del autor.
• Kevin Hartnett, (2020), artículo sobre teoría de la representación en la revista Quanta