Representación proyectiva

En el campo de la teoría de la representación en matemáticas , una representación proyectiva de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un campo F es un homomorfismo de grupo de G al grupo lineal proyectivo

$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}$$

Vgrupo lineal general de transformaciones linealesVFF ^∗subgrupo normalTransformación escalar^[1]

En términos más concretos, una representación proyectiva de es una colección de operadores que satisfacen la propiedad de homomorfismo hasta una constante: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),}$

por alguna constante . De manera equivalente, una representación proyectiva de es una colección de operadores , tal que . Tenga en cuenta que, en esta notación, hay un conjunto de operadores lineales relacionados mediante multiplicación con algún escalar distinto de cero. ${\displaystyle c(g,h)\in F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)\in \mathrm {PGL} (V),g\in G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(gh)={\tilde {\rho }}(g){\tilde {\rho }}(h)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)}$

Si es posible elegir un representante particular en cada familia de operadores de tal manera que la propiedad de homomorfismo se cumpla en la nariz , en lugar de simplemente hasta una constante, entonces decimos que se puede "desproyectivizar", o que puede ser "elevado a una representación ordinaria". Más concretamente, decimos así que puede ser desproyectizado si existen para cada uno tales que . Esta posibilidad se analiza más adelante. ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}$

Representaciones lineales y representaciones proyectivas.

Una forma en que puede surgir una representación proyectiva es tomando una representación de grupo lineal de G en V y aplicando el mapa de cocientes.

${\displaystyle \operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)}$

que es el cociente del subgrupo F ^∗ de transformaciones escalares ( matrices diagonales con todas las entradas diagonales iguales). El interés del álgebra está en el proceso en la otra dirección: dada una representación proyectiva , intente "elevarla" a una representación lineal ordinaria . Una representación proyectiva general ρ : G → PGL( V ) no se puede elevar a una representación lineal G → GL( V ) , y la obstrucción a este levantamiento se puede entender mediante la cohomología de grupo , como se describe a continuación.

Sin embargo, se puede elevar una representación proyectiva de G a una representación lineal de un grupo H diferente , que será una extensión central de G. El grupo es el subgrupo de definido de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$

${\displaystyle H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}}$,

¿Dónde está el cociente del mapa de sobre ? Dado que es un homomorfismo, es fácil comprobar que , efectivamente, es un subgrupo de . Si la representación proyectiva original es fiel, entonces es isomorfa a la preimagen en of . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho (G)\subseteq \mathrm {PGL} (V)}$

Podemos definir un homomorfismo estableciendo . El núcleo de es: ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi ((g,A))=g}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}}$,

que está contenido en el centro de . Está claro también que es sobreyectivo, por lo que es una extensión central de . También podemos definir una representación ordinaria de mediante configuración . La representación ordinaria de es una elevación de la representación proyectiva de en el sentido de que: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma ((g,A))=A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))}$.

Si G es un grupo perfecto, existe una única extensión central perfecta universal de G que se puede utilizar.

Cohomología de grupo

El análisis de la cuestión del levantamiento implica la cohomología de grupo . De hecho, si se fija para cada g en G un elemento elevado L ( g ) en el levantamiento desde PGL( V ) de regreso a GL( V ) , los levantamientos entonces satisfacen

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

para algún escalar c ( g , h ) en F ^∗ . De ello se deduce que el 2-cociclo o multiplicador de Schur c satisface la ecuación del cociclo

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

para todos g , h , k en G . Esta c depende de la elección del ascensor L ; una elección diferente de elevación L′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) dará como resultado una cociclo diferente

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

cohomólogo de c . Por tanto, L define una clase única en H ² ( G , F ^∗ ) . Puede que esta clase no sea trivial. Por ejemplo, en el caso del grupo simétrico y el grupo alterno , Schur estableció que existe exactamente una clase no trivial de multiplicador de Schur y determinó por completo todas las representaciones irreducibles correspondientes. ^[2]

En general, una clase no trivial conduce a un problema de extensión para G. Si G se extiende correctamente , obtenemos una representación lineal del grupo extendido, que induce la representación proyectiva original cuando se retrocede a G. La solución es siempre una extensión central . Del lema de Schur se deduce que las representaciones irreducibles de extensiones centrales de G y las representaciones proyectivas irreducibles de G son esencialmente los mismos objetos.

Primer ejemplo: transformada discreta de Fourier

Considere el campo de números enteros mod , donde es primo, y sea el espacio dimensional de funciones con valores en . Para cada uno de ellos , defina dos operadores, y on de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}}$

Escribimos la fórmula para como si y fueran números enteros, pero se ve fácilmente que el resultado sólo depende del valor de y mod . El operador es una traducción, mientras que es un desplazamiento en el espacio de frecuencia (es decir, tiene el efecto de traducir la transformada discreta de Fourier de ). ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle f}$

Se puede verificar fácilmente que para any y in , los operadores y conmutan hasta la multiplicación por una constante: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$

${\displaystyle T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}}$.

Por lo tanto, podemos definir una representación proyectiva de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]}$,

donde denota la imagen de un operador en el grupo cociente . Dado que y conmutan hasta una constante, se considera fácilmente que es una representación proyectiva. Por otro lado, dado que y en realidad no conmutan (y ningún múltiplo distinto de cero de ellos conmutará) no puede elevarse a una representación ordinaria (lineal) de . ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

Dado que la representación proyectiva es fiel, la extensión central de obtenida por la construcción en la sección anterior es solo la preimagen de la imagen de . Explícitamente, esto significa que es el grupo de todos los operadores de la forma ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}}$

para . Este grupo es una versión discreta del grupo de Heisenberg y es isomorfo al grupo de matrices de la forma ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

con . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

Representaciones proyectivas de grupos de Lie.

El estudio de las representaciones proyectivas de los grupos de Lie lleva a considerar representaciones verdaderas de sus extensiones centrales (ver Extensión del grupo § Grupos de Lie ). En muchos casos de interés basta considerar representaciones de grupos de cobertura . Específicamente, supongamos que es una cubierta conectada de un grupo de Lie conectado , de modo que para un subgrupo central discreto de . (Tenga en cuenta que es un tipo especial de extensión central de ). Supongamos también que es una representación unitaria irreducible de (posiblemente de dimensión infinita). Luego, según el lema de Schur , el subgrupo central actuará mediante múltiplos escalares de la identidad. Así, a nivel proyectivo, descenderá a . Es decir, para cada uno , podemos elegir una preimagen de in y definir una representación proyectiva de configurando ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$,

donde denota la imagen en de un operador . Como está contenido en el centro de y el centro de actúa como escalares , el valor de no depende de la elección de . ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

La construcción anterior es una fuente importante de ejemplos de representaciones proyectivas. El teorema de Bargmann (que se analiza más adelante) proporciona un criterio según el cual toda representación unitaria proyectiva irreductible de surge de esta manera. ${\displaystyle G}$

Representaciones proyectivas de SO (3)

Un ejemplo físicamente importante de la construcción anterior proviene del caso del grupo de rotación SO(3) , cuya cubierta universal es SU(2) . Según la teoría de la representación de SU(2) , hay exactamente una representación irreducible de SU(2) en cada dimensión. Cuando la dimensión es impar (el caso del "espín entero"), la representación desciende a una representación ordinaria de SO(3). ^[3] Cuando la dimensión es par (el caso de "espín fraccionario"), la representación no desciende a una representación ordinaria de SO(3) pero (según el resultado analizado anteriormente) desciende a una representación proyectiva de SO(3) . Tales representaciones proyectivas de SO(3) (las que no provienen de representaciones ordinarias) se denominan "representaciones espinoriales", cuyos elementos (vectores) se denominan espinores .

Según un argumento que se analiza a continuación, cada representación proyectiva irreducible y de dimensión finita de SO(3) proviene de una representación ordinaria irreducible y de dimensión finita de SU(2).

Ejemplos de portadas que conducen a representaciones proyectivas.

Casos notables de grupos de cobertura que dan representaciones proyectivas interesantes:

• El grupo ortogonal especial SO( n , F ) está doblemente cubierto por el grupo Spin Spin( n , F ).
• En particular, el grupo SO(3) (el grupo de rotación en 3 dimensiones) está doblemente cubierto por SU(2) . Esto tiene importantes aplicaciones en la mecánica cuántica, ya que el estudio de las representaciones de SU(2) conduce a una teoría del espín no relativista (de baja velocidad) .
• El grupo SO ⁺ (3;1) , isomorfo al grupo de Möbius , también está doblemente cubierto por SL 2 ( C ). Ambos son supergrupos de los ya mencionados SO(3) y SU(2) respectivamente y forman una teoría de espín relativista .
• La cobertura universal del grupo Poincaré es una cobertura doble (el producto semidirecto de SL ₂ ( C ) con R ⁴ ). Las representaciones unitarias irreductibles de esta portada dan lugar a representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, como en la clasificación de Wigner . Es imprescindible pasar a la portada, para poder incluir el estuche de giro fraccionario.
• El grupo ortogonal O( n ) está doblemente cubierto por el grupo Pin Pin _± ( n ).
• El grupo simpléctico Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (no debe confundirse con la forma real compacta del grupo simpléctico, a veces también denotado por Sp( m )) está doblemente cubierto por el grupo metapléctico Mp(2 norte ). Una representación proyectiva importante de Sp(2 n ) proviene de la representación metapléctica de Mp(2 n ).

Representaciones unitarias proyectivas de dimensión finita

En física cuántica, la simetría de un sistema físico normalmente se implementa mediante una representación unitaria proyectiva de un grupo de Lie en el espacio cuántico de Hilbert, es decir, un homomorfismo continuo. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

donde es el cociente del grupo unitario por los operadores de la forma . La razón para tomar el cociente es que físicamente, dos vectores en el espacio de Hilbert que son proporcionales representan el mismo estado físico. [Es decir, el espacio de estados (puros) es el conjunto de clases de equivalencia de vectores unitarios , donde dos vectores unitarios se consideran equivalentes si son proporcionales.] Así, un operador unitario que es múltiplo de la identidad en realidad actúa como la identidad en el nivel de los estados físicos. ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle cI,\,|c|=1}$

Una representación proyectiva de dimensión finita de then da lugar a una representación unitaria proyectiva del álgebra de Lie de . En el caso de dimensión finita, siempre es posible "desproyectivizar" la representación del álgebra de Lie simplemente eligiendo un representante para cada uno que tenga traza cero. ^[4] A la luz del teorema de los homomorfismos , es entonces posible desproyectivizarse , pero a costa de pasar a la cobertura universal de . ^[5] Es decir, toda representación unitaria proyectiva de dimensión finita de surge de una representación unitaria ordinaria de mediante el procedimiento mencionado al principio de esta sección. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Específicamente, dado que la representación del álgebra de Lie se desproyectivizó al elegir un representante de traza cero, toda representación unitaria proyectiva de dimensión finita de surge de un determinante: una representación unitaria ordinaria de (es decir, una en la que cada elemento de actúa como un operador con determinante uno). Si es semisimple, entonces cada elemento de es una combinación lineal de conmutadores, en cuyo caso cada representación de es mediante operadores con traza cero. Entonces, en el caso semisimple, la representación lineal asociada de es única. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Por el contrario, si es una representación unitaria irreductible de la cobertura universal de , entonces, según el lema de Schur , el centro de actúa como múltiplos escalares de la identidad. Así, en el nivel proyectivo, se desciende a una representación proyectiva del grupo original . Por lo tanto, existe una correspondencia natural uno a uno entre las representaciones proyectivas irreducibles de y las representaciones ordinarias irreducibles y determinantes de . (En el caso semisimple, el calificativo "determinante-uno" puede omitirse, porque en ese caso, cada representación de es automáticamente determinante.) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Un ejemplo importante es el caso de SO(3) , cuya cobertura universal es SU(2) . Ahora bien, el álgebra de Lie es semisimple. Además, dado que SU(2) es un grupo compacto , toda representación de dimensión finita del mismo admite un producto interno respecto del cual la representación es unitaria. ^[6] Por lo tanto, las representaciones proyectivas irreducibles de SO(3) están en correspondencia uno a uno con las representaciones ordinarias irreducibles de SU(2). ${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

Representaciones unitarias proyectivas de dimensión infinita: el caso Heisenberg

Los resultados de la subsección anterior no son válidos en el caso de dimensión infinita, simplemente porque la traza de normalmente no está bien definida. De hecho, el resultado falla: considere, por ejemplo, las traslaciones en el espacio de posición y en el espacio de momento para una partícula cuántica que se mueve en , actuando sobre el espacio de Hilbert . ^[7] Estos operadores se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

para todos . Estos operadores son simplemente versiones continuas de los operadores y se describen en la sección "Primer ejemplo" anterior. Como en esa sección, podemos definir una representación unitaria proyectiva de : ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

porque los operadores conmutan hasta un factor de fase. Pero ninguna elección de los factores de fase conducirá a una representación unitaria ordinaria, ya que las traslaciones de posición no conmutan con las traslaciones de momento (y multiplicar por una constante distinta de cero no cambiará esto). Estos operadores, sin embargo, provienen de una representación unitaria ordinaria del grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional de . ^[8] (Véase también el teorema de Stone-von Neumann ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Representaciones unitarias proyectivas de dimensión infinita: teorema de Bargmann

Por otro lado, el teorema de Bargmann establece que si el segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie de es trivial, entonces toda representación unitaria proyectiva de puede ser desproyectivada después de pasar a la cobertura universal. ^{[9] [10]} Más precisamente, supongamos que comenzamos con una representación unitaria proyectiva de un grupo de Lie . Entonces el teorema establece que se puede elevar a una representación unitaria ordinaria de la cobertura universal de . Esto significa que asigna cada elemento del núcleo del mapa de cobertura a un múltiplo escalar de la identidad (de modo que, en el nivel proyectivo, desciende a ) y que la representación proyectiva asociada de es igual a . ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

El teorema no se aplica al grupo —como muestra el ejemplo anterior— porque el segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie conmutativa asociada no es trivial. Los ejemplos en los que se aplica el resultado incluyen grupos semisimples (por ejemplo, SL(2,R) ) y el grupo de Poincaré . Este último resultado es importante para la clasificación de Wigner de las representaciones unitarias proyectivas del grupo de Poincaré. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

La prueba del teorema de Bargmann pasa por considerar una extensión central de , construida de manera similar a la sección anterior sobre representaciones lineales y representaciones proyectivas, como un subgrupo del grupo de productos directos , donde es el espacio de Hilbert sobre el que actúa y es el grupo de operadores unitarios. en . El grupo se define como ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

Como en la sección anterior, el mapa dado por es un homomorfismo sobreyectivo cuyo núcleo es tal que es una extensión central de . Nuevamente, como en la sección anterior, podemos definir una representación lineal de estableciendo . Entonces es un levantamiento de en el sentido de que , ¿dónde está el cociente en el mapa desde hasta ? ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi (g,U)=g}$ ${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

Un punto técnico clave es demostrar que es un grupo de Lie . (Esta afirmación no es tan obvia, porque si es de dimensión infinita, el grupo es un grupo topológico de dimensión infinita). Una vez establecido este resultado, vemos que es una extensión central unidimensional del grupo de Lie , de modo que el álgebra de Lie of también es una extensión central unidimensional de (tenga en cuenta aquí que el adjetivo "unidimensional" no se refiere a y , sino al núcleo del mapa de proyección de esos objetos en y respectivamente). Pero el grupo de cohomología puede identificarse con el espacio de extensiones centrales unidimensionales (nuevamente, en el sentido antes mencionado) de ; Si es trivial, entonces toda extensión central unidimensional de es trivial. En ese caso, es solo la suma directa con una copia de la línea real. De ello se deduce que la portada universal de debe ser simplemente un producto directo de la portada universal de con una copia de la línea real. Luego podemos elevar desde hasta (componiendo con el mapa de cobertura) y finalmente restringir este ascenso a la cobertura universal de . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

Ver también

• Representación afín
• Acción grupal
• Ampliación central
• Física de partículas y teoría de la representación.
• Giro-½
• espinor
• Simetría en mecánica cuántica
• grupo heisenberg

Notas

1. Gannon 2006, págs. 176-179.
2. Schur 1911
3. Salón 2015 Sección 4.7
4. Propuesta 16.46 del Salón 2013
5. Teorema 16,47 de Hall 2013
6. Hall 2015 prueba del teorema 4.28
7. Salón 2013 Ejemplo 16.56
8. Hall 2013 Ejercicio 6 en el Capítulo 14
9. Bargmann 1954
10. Sims 1971

Referencias

• Bargmann, Valentine (1954), "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos", Annals of Mathematics , 59 (1): 1–46, doi :10.2307/1969831, JSTOR  1969831
• Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: el puente que conecta el álgebra, las formas modulares y la física , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Schur, I. (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Crelle's Journal , 139 : 155-250
• Simms, DJ (1971), "Una breve prueba del criterio de Bargmann para la elevación de representaciones proyectivas de grupos de Lie", Reports on Mathematical Physics , 2 (4): 283–287, Bibcode :1971RpMP....2..283S , doi :10.1016/0034-4877(71)90011-5