Teoría de la representación de SU(2)

Primer caso de un grupo de Lie que es compacto y no abeliano

En el estudio de la teoría de la representación de grupos de Lie , el estudio de las representaciones de SU(2) es fundamental para el estudio de las representaciones de grupos de Lie semisimples . Es el primer caso de un grupo de Lie que es a la vez un grupo compacto y un grupo no abeliano . La primera condición implica que la teoría de la representación es discreta: las representaciones son sumas directas de una colección de representaciones básicas irreducibles (regidas por el teorema de Peter-Weyl ). La segunda significa que habrá representaciones irreductibles en dimensiones mayores que 1.

SU(2) es el grupo de cobertura universal de SO(3) , por lo que su teoría de representación incluye la de este último, a fuerza de un homomorfismo sobreyectivo . Esto subyace a la importancia de SU(2) para la descripción del espín no relativista en la física teórica ; consulte a continuación otros contextos físicos e históricos.

Como se muestra a continuación, las representaciones irreducibles de dimensión finita de SU(2) están indexadas por un número entero no negativo y tienen dimensión . En la literatura de física, las representaciones están etiquetadas por la cantidad , donde entonces es un número entero o un semientero, y la dimensión es . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle l=m/2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 2l+1}$

Representaciones de álgebra de mentiras

Las representaciones del grupo se encuentran considerando representaciones de , el álgebra de Lie de SU(2) . Dado que el grupo SU(2) es simplemente conexo, cada representación de su álgebra de Lie se puede integrar en una representación de grupo; ^[1] daremos una construcción explícita de las representaciones a nivel de grupo a continuación. ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Álgebras de Lie reales y complejas

El álgebra de Lie real tiene una base dada por ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}},\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}},\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&~~0\\0&-i\end{bmatrix}}~,}$

(Estas matrices base están relacionadas con las matrices de Pauli por y ) ${\displaystyle u_{1}=+i\ \sigma _{1}\;,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}\;,}$ ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Las matrices son una representación de los cuaterniones :

${\displaystyle u_{1}\,u_{1}=-I\,,~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,,~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,,}$

${\displaystyle u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,,\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,,\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,,}$

${\displaystyle u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,,\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,,\quad u_{1}\,u_{3}=-u_{2}~.}$

donde I es la matriz identidad convencional 2×2: ${\displaystyle ~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~.}$

En consecuencia, los soportes del conmutador de las matrices satisfacen

${\displaystyle [u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,,\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,,\quad [u_{3},u_{1}]=2u_{2}~.}$

Conviene entonces pasar al álgebra de Lie complejizada

${\displaystyle \mathrm {su} (2)+i\,\mathrm {su} (2)=\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )~.}$

(Sesgar matrices autoadjuntas con traza cero más matrices autoadjuntas con traza cero da todas las matrices con traza cero). Mientras trabajemos con representaciones sobre este pasaje del álgebra de Lie real a complejizada es inofensivo. ^[3] La razón para pasar a la complejización es que nos permite construir una buena base de un tipo que no existe en el álgebra de Lie real . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

El álgebra de Lie complejada está compuesta por tres elementos , y , dados por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H={\frac {1}{i}}u_{3},\qquad X={\frac {1}{2i}}\left(u_{1}-iu_{2}\right),\qquad Y={\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2})~;}$

o, explícitamente,

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&~~0\\0&-1\end{bmatrix}},\qquad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\qquad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.}$

La parte no trivial/no idéntica de la tabla de multiplicar del grupo es

${\displaystyle H\,X~=~~~~X,\qquad H\,Y~=-Y,\qquad X\,Y~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I+H\right),}$

${\displaystyle X\,H~=-X,\qquad Y\,H~=~~~~Y,\qquad Y\,X~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I-H\right),}$

${\displaystyle H\,H~=~~~I~,\qquad X\,X~=~~~~O,\qquad Y\,Y~=~~O~~;}$

donde O es la matriz todo cero de 2 × 2. Por tanto, sus relaciones de conmutación son

${\displaystyle [H,X]=2\,X\,,\qquad [H,Y]=-2\,Y\,,\qquad [X,Y]=H~.}$

Hasta un factor de 2, los elementos , y pueden identificarse con los operadores de momento angular , y , respectivamente. El factor 2 es una discrepancia entre las convenciones en matemáticas y física; Intentaremos mencionar ambas convenciones en los resultados que siguen. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{+}}$ ${\displaystyle J_{-}}$

Pesos y estructura de la representación.

En este contexto, los valores propios de se denominan pesos de la representación. El siguiente resultado elemental ^[4] es un paso clave en el análisis. Supongamos que es un vector propio con valor propio , es decir, que Entonces ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \;\alpha \;;}$ ${\displaystyle \;H\,v=\alpha \,v~.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H\,(X\,v)~=~(\,X\,H+[H,X]\,)\,v~&=~(\alpha +2)\,X\,v\;,\\[3pt]H\,(Y\,v)~=~(\,Y\,H+\,[H,Y]\,)\,v~&=~(\alpha -2)\,Y\,v~.\end{aligned}}}$

En otras palabras, es el vector cero o un vector propio para con valor propio y es cero o un vector propio para con valor propio. Por lo tanto, el operador actúa como un operador que aumenta , aumentando el peso en 2, mientras que actúa como un operador que baja . ${\displaystyle \,X\,v\,}$ ${\displaystyle \,H\,}$ ${\displaystyle \,\alpha +2\,}$ ${\displaystyle \,Y\,v\,}$ ${\displaystyle \,H\,}$ ${\displaystyle \,\alpha -2~.}$ ${\displaystyle \,X\,}$ ${\displaystyle \,Y\,}$

Supongamos ahora que se trata de una representación irreducible y de dimensión finita del álgebra de Lie complejada . Entonces sólo puede tener un número finito de valores propios. En particular, debe haber algún valor propio final con la propiedad que no sea un valor propio. Sea un vector propio para con ese valor propio ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle \,H\,}$ ${\displaystyle \;\lambda \in \mathbb {C} \;}$ ${\displaystyle \,\lambda +2\,}$ ${\displaystyle \,v_{0}\,}$ ${\displaystyle \,H\,}$ ${\displaystyle \,\lambda \;:}$

${\displaystyle H\,v_{0}=\lambda \,v_{0}\;,}$

entonces debemos tener

${\displaystyle X\,v_{0}=0\;,}$

o de lo contrario la identidad anterior nos diría que es un vector propio con valor propio ${\displaystyle \,X\,v_{0}\,}$ ${\displaystyle \,\lambda +2\;.}$

Ahora defina una "cadena" de vectores por ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots }$

${\displaystyle v_{k}=Y^{k}\,v_{0}}$.

Un simple argumento por inducción ^[5] muestra entonces que

${\displaystyle X\,v_{k}=k\,(\lambda -(k-1))\,v_{k-1}}$

para todos Ahora, si no es el vector cero, es un vector propio para con valor propio Dado que, nuevamente, solo tiene un número finito de vectores propios, concluimos que debe ser cero para algunos (y luego para todos ). ${\displaystyle k=1,2,\ldots ~.}$ ${\displaystyle \,v_{k}\,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \,\lambda -2k~.}$ ${\displaystyle \,H\,}$ ${\displaystyle \,v_{\ell }\,}$ ${\displaystyle \,\ell \,}$ ${\displaystyle v_{k}=0}$ ${\displaystyle \,k>\ell \,}$

Sea el último vector distinto de cero de la cadena; es decir, pero entonces por supuesto y por la identidad anterior con tenemos ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle \;v_{m}\neq 0\;}$ ${\displaystyle \;v_{m+1}=0~.}$ ${\displaystyle \;X\,v_{m+1}=0\;}$ ${\displaystyle k=m+1\;,}$

${\displaystyle \;0=X\,v_{m+1}=(m+1)\,(\lambda -m)\,v_{m}~.}$

Dado que es al menos uno y concluimos que debe ser igual al número entero no negativo ${\displaystyle \,m+1\,}$ ${\displaystyle \,v_{m}\neq 0\;,}$ ${\displaystyle \,\lambda \,}$ ${\displaystyle \,m\;.}$

Obtenemos así una cadena de vectores, tal que actúa como ${\displaystyle \,m+1\,}$ ${\displaystyle \;v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}\;,}$ ${\displaystyle \,Y\,}$

${\displaystyle Y\,v_{m}=0,\quad Y\,v_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)}$

y actúa como ${\displaystyle \,X\,}$

${\displaystyle X\,v_{0}=0,\quad X\,v_{k}=k\,(m-(k-1))\,v_{k-1}\quad (k\geq 1)}$

y actúa como ${\displaystyle \,H\,}$

${\displaystyle H\,v_{k}=(m-2k)\,v_{k}~.}$

(Hemos reemplazado con su valor actualmente conocido de en las fórmulas anteriores). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \,m\,}$

Dado que los vectores son vectores propios con valores propios distintos, deben ser linealmente independientes. Además, el lapso de es claramente invariante bajo la acción del álgebra de Lie compleja. Dado que se supone irreducible, este lapso debe ser todo. Obtenemos así una descripción completa de cómo debe ser una representación irreducible; es decir, una base para el espacio y una descripción completa de cómo actúan los generadores del álgebra de Lie. Por el contrario, para cualquiera podemos construir una representación simplemente usando las fórmulas anteriores y verificando que se cumplan las relaciones de conmutación. Entonces se puede demostrar que esta representación es irreductible. ^[6] ${\displaystyle \,v_{k}\,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \;v_{0},\ldots ,v_{m}\;}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \,V\;.}$ ${\displaystyle \;m\geq 0\;}$

Conclusión : Para cada número entero no negativo existe una representación irreducible única con mayor peso. Cada representación irreducible es equivalente a una de estas. La representación con mayor peso tiene una dimensión con pesos, cada uno de los cuales tiene multiplicidad uno. ${\displaystyle \,m\,,}$ ${\displaystyle \,m\;.}$ ${\displaystyle \,m\,}$ ${\displaystyle \,m+1\,}$ ${\displaystyle \;m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m\;,}$

El elemento Casimiro

Introducimos ahora el elemento Casimir (cuadrático) , dado por ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)}$.

Podemos verlo como un elemento del álgebra envolvente universal o como un operador en cada representación irreducible. Viéndolo como un operador en la representación con mayor peso , podemos calcular fácilmente que conmuta con cada uno. Por lo tanto, según el lema de Schur , actúa como un múltiplo escalar de la identidad para cada uno . Podemos escribir en términos de la base de la siguiente manera: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,m\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,u_{i}\;.}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle c_{m}}$ ${\displaystyle \,m\;.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \,\{H,X,Y\}\,}$

${\displaystyle C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2}\;,}$

que se puede reducir a

${\displaystyle C=4YX+H^{2}+2H~.}$

El valor propio de en la representación con mayor peso se puede calcular aplicando al vector de mayor peso, que es aniquilado por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,m\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,X\;;}$

${\displaystyle c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2)~.}$

En la literatura de física, el Casimir se normaliza como Etiquetar cosas en términos del valor propio de luego se calcula como ${\textstyle \;C'={\frac {1}{4}}\,C~.}$ ${\textstyle \;\ell ={\frac {1}{2}}\,m\;,}$ ${\displaystyle \,d_{\ell }\,}$ ${\displaystyle \,C'\,}$

${\displaystyle d_{\ell }={\frac {1}{4}}\,(2\ell )\,(2\ell +2)=\ell \,(\ell +1)~.}$

Las representaciones del grupo.

Acción sobre polinomios

Dado que SU(2) es simplemente conexo, un resultado general muestra que cada representación de su álgebra de Lie (complejada) da lugar a una representación de SU(2) misma. Es deseable, sin embargo, dar una realización explícita de las representaciones a nivel de grupo. Las representaciones de grupos se pueden realizar en espacios de polinomios en dos variables complejas. ^[7] Es decir, para cada número entero no negativo , denotamos el espacio de polinomios homogéneos de grado en dos variables complejas. Entonces la dimensión de es . Hay una acción natural de SU(2) en cada , dada por ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle [U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},\,U\in \mathrm {SU} (2)}$.

La representación del álgebra de Lie asociada es simplemente la descrita en la sección anterior. (Consulte aquí una fórmula explícita para la acción del álgebra de Lie en el espacio de polinomios).

Los caracteres

El carácter de una representación es la función dada por ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (g)=\operatorname {trace} (\Pi (g))}$.

Los personajes juegan un papel importante en la teoría de la representación de grupos compactos . Se ve fácilmente que el carácter es una función de clase, es decir, invariante bajo conjugación.

En el caso SU(2), el hecho de que el carácter sea una función de clase significa que está determinado por su valor en el toro máximo que consiste en las matrices diagonales en SU(2), ya que los elementos son ortogonalmente diagonalizables con el teorema espectral. ^[8] Dado que la representación irreducible con mayor peso tiene pesos , es fácil ver que el carácter asociado satisface ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

Esta expresión es una serie geométrica finita que se puede simplificar a

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

Esta última expresión es sólo el enunciado de la fórmula del carácter de Weyl para el caso SU(2). ^[9]

En realidad, siguiendo el análisis original de Weyl de la teoría de la representación de grupos compactos, se pueden clasificar las representaciones completamente desde la perspectiva del grupo, sin utilizar representaciones del álgebra de Lie en absoluto. En este enfoque, la fórmula del carácter de Weyl juega un papel esencial en la clasificación, junto con el teorema de Peter-Weyl . El caso SU(2) de esta historia se describe aquí .

Relación con las representaciones de SO(3)

Tenga en cuenta que todos los pesos de la representación son pares (si es par) o todos los pesos son impares (si es impar). En términos físicos, esta distinción es importante: las representaciones con pesos pares corresponden a representaciones ordinarias del grupo de rotación SO(3) . ^[10] Por el contrario, las representaciones con pesos impares corresponden a representaciones de doble valor (espinorial) de SO(3), también conocidas como representaciones proyectivas . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

En las convenciones de la física, ser par corresponde a ser un número entero, mientras que ser impar corresponde a ser un semientero. Estos dos casos se describen como espín entero y espín semientero , respectivamente. Las representaciones con valores impares y positivos de son representaciones fieles de SU(2), mientras que las representaciones de SU(2) con valores pares no negativos no son fieles. ^[11] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Otro enfoque

Véase el ejemplo del teorema de Borel-Weil-Bott .

Representaciones irreductibles más importantes y sus aplicaciones

Las representaciones de SU(2) describen un espín no relativista , debido a que es una doble cobertura del grupo de rotación del espacio tridimensional euclidiano . El espín relativista se describe mediante la teoría de representación de SL ₂ ( C ) , un supergrupo de SU(2), que de manera similar cubre SO ⁺ (1;3) , la versión relativista del grupo de rotación. La simetría SU(2) también respalda los conceptos de espín isobárico e isospin débil , conocidos colectivamente como isospin .

La representación con (es decir, en la convención de física) es la representación 2 , la representación fundamental de SU(2). Cuando un elemento de SU(2) se escribe como una matriz compleja de 2 × 2 , es simplemente una multiplicación de columnas de 2 vectores . Se conoce en física como espín-½ e, históricamente, como multiplicación de cuaterniones (más precisamente, multiplicación por un cuaternión unitario ). Esta representación también puede verse como una representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO (3). ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle l=1/2}$

La representación con (es decir, ) es la representación 3 , la representación adjunta . Describe rotaciones tridimensionales , la representación estándar de SO(3), por lo que los números reales son suficientes. Los físicos lo utilizan para la descripción de partículas masivas de espín 1, como los mesones vectoriales , pero su importancia para la teoría del espín es mucho mayor porque ancla los estados de espín a la geometría del espacio 3 físico . Esta representación surgió simultáneamente con la 2 cuando William Rowan Hamilton introdujo versores , su término para los elementos de SU(2). Tenga en cuenta que Hamilton no utilizó la terminología estándar de la teoría de grupos ya que su trabajo precedió al desarrollo de los grupos de Lie. ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle l=1}$

La representación (ie ) se utiliza en física de partículas para ciertos bariones , como el Δ . ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle l=3/2}$

Ver también

• Operador de rotación (espacio vectorial)
• Operador de rotación (mecánica cuántica)
• Teoría de la representación de SO (3)
• Conexión entre SO(3) y SU(2)
• teoría de la representación de SL ₂ ( R )
• Interacción electrodébil
• Grupo de rotación SO (3) § Una nota sobre las álgebras de Lie

Referencias

1. Teorema 5.6 de Hall 2015
2. (Salón 2015), Sección 4.6
3. Salón 2015, Sección 3.6
4. Salón 2015 Lema 4.33
5. Salón 2015, Ecuación (4.15)
6. Salón 2015, prueba de la Proposición 4.11
7. Salón 2015 Sección 4.2
8. Travis Willse (https://math.stackexchange.com/users/155629/travis-willse), Clases de conjugación en $SU_2$, URL (versión: 2021-01-10): https://math.stackexchange.com /q/967927
9. Salón 2015 Ejemplo 12.23
10. Salón 2015 Sección 4.7
11. Ma, Zhong-Qi (28 de noviembre de 2007). Teoría de grupos para físicos. Compañía editorial científica mundial. pag. 120.ISBN​ 9789813101487.

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Gerard 't Hooft (2007), Grupos de mentiras en Física, Capítulo 5 "Operadores de escalera"
• Iachello, Francesco (2006), Álgebras y aplicaciones de Lie , Lecture Notes in Physics, vol. 708, Springer, ISBN 3540362363